3. Действие магнитного поля на заряды и токи

Рассмотрим силы, действующие на заряженную частицу, или элемент проводника с током dl во внешнем однородном магнитном поле с индукцией В.

На элементарную частицу, имеющую заряд q и скорость v, действует сила

F = q[v, B] (9.15)

F =qvBsim, (9.16)

где  — угол между векторами v и В.

Найдем траекторию движения частицы под действием силы (9.15). Из (9.16) следует, что сила (9.15) изменяет только составляющую скорости частицы v₁ = v sin, перпендикулярную вектору индукции В. В плоскости, перпендикулярной индукции В, сила постоянна и перпендикулярна вектору скорости. По второму закону Ньютона имеем

am = F,

но a = v²_/R, тогда mv²_/R =qv_B, откуда радиус кривизны траектории

(9.17)

Период обращения частицы

. (9.18)

Из (9.18) следует, что период обращения частицы не зависит от ее скорости. Однако надо помнить, что этот вывод справедлив только при условии v << с, где с - скорость света.

Составляющая скорости v_|| = vcos, параллельная вектору В, постоянна, и поэтому частица движется, равномерно вдоль направления индукции магнитного поля. В целом движение частицы осуществляется по спирали (по окружности в плоскости, перпендикулярной В, и равномерно вдоль В). Спираль может быть как правой, так и левой в зависимости от знака заряда q.

Если движение частицы происходит как в магнитном поле с индукцией В, так и в электрическом поле с напряженностью Е, то на нее действует сила

F = q[v,B]+qE, (9.19)

которую называют силой Лоренца².

Рассмотрим теперь элемент проводника dl с током I во внешнем магнитном поле с индукцией В. Если концентрация заряженных частиц в проводнике п, а его объем dv равен Sdl (S — площадь поперечного сечения), то результирующая сила, действующая на все заряженные частицы в элементе dl, равна

dF = q[v, B]nSdl , (9.20)

подставляя в (9.20) v из (9.2), получаем

dF =I[dl, В]. (9.21)

Выражение (9.18) описывает закон Ампера³ и определяет силу, действующую на элемент проводника с током во внешнем магнитном поле. Для нахождения силы, действующей на проводник конечных размеров, необходимо разбить его на элементы dl, вычислить элементарные силы с помощью (9.18) и затем векторно сложить все dF:

. (9.22)

Расчет силы по формуле (9.22) существенно упрощается, если все элементарные силы dF оказываются параллельны другу.

4. Эффект Холла

Для экспериментального исследования индукции магнитного поля на оси соленоида используют метод, основанный на явлении Холла⁴.

Рассмотрим проводящую пластину с поперечным сечением ah_Д и плотностью тока j, поместив ее в поперечное магнитное поле с индукцией В (рис. 9.3). Явление Холла состоит в том, что в проводящей пластинке по которой протекает ток и которая находится в магнитном поле перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы В и j, образуется электрическое поле с напряженностью Е. В результате между боковыми гранями возникает разность потенциалов, равная _х= Еа, которая и называется ЭДС Холла. Физическая природа явления Холла может быть сведена к действию силы Лоренца (9.19), а точнее, ее магнитной составляющей q[v, В]. Под действием этой силы носители тока смещаются к боковой грани пластинки. У противоположной грани образуется избыточный заряд противоположного знака, связанный с решеткой. Между положительным и отрицательным зарядами, т. е. между боковыми гранями пластины, и образуется ЭДС Холла _х. Ее значение можно найти из условия равновесия между силой Лоренца и возникающей электрической силой: F_Л = F_E, или qvВ=qЕ, откуда

E = vB, _х = aE = avB.

Учитывая (9.2), где I = jS = jah_Д, находим

_{х =} . (9.23)

Здесь R_x = 1/(qn₀) – постоянная Холла. В работе используется полупроводниковый датчик Холла, поскольку у полупроводников концентрация n₀ носителей заряда на несколько порядков меньше, чем в металлах, и соответственно во столько же раз больше возникающая ЭДС Холла. Это существенно облегчает измерения. Типичные значения концентрации носителей тока в металлах полуметаллах и полупроводниках иллюстрируются графиком на рис. 9.5. Как можно оценить из представленного рисунка величина ЭДС Холла будет очень малой в чистых металлах. Благодаря своей простоте эффект Холла часто используется для определения концентрации носителей тока. Кроме того, можно легко определять знак носителей тока и соответственно определять имеет ли данный материал электронную или дырочную проводимость.

Практически датчик Холла устроен очень просто (рис. 9.4). На диэлектрической подложке находится тонкая (~ 0.1 мм) пластинка из полупроводника (показано темным цветом). К пластике подведены печатные электроды (показаны серым цветом). Два электрода с узкими контактами предназначены для измерения ЭДС Холла. По двум широким пропускают ток. Размер датчика не превышает 2х2 мм. Датчики Холла широко применяются для измерения магнитных полей или для разного рода датчиков срабатывающих при наличии магнитного поля.

Рис. 9.5 Концентрация носителей тока (электронов) в различных веществах (горизонтальная ось введена для наглядности и не имеет физического смысла).

При отсутствии поля ЭДС Холла равна нулю в том случае если измерительные электроды присоединены строго на одной эквипотенциальной поверхности, что часто затруднительно реализовать на практике.

Поэтому для разных образцов датчика может иметь место небольшая остаточная разность потенциалов, которую надо учитывать при точных измерениях. Кроме того, концентрация носителей в полупроводниках сильно зависит от температуры. Соответственно от температуры будет зависеть и ЭДС Холла, что тоже является одним из недостатков этого метода. Однако подбором полупроводникового материала эту погрешность можно свести к минимуму.

Следует учесть, что величина ЭДС Холла сильно зависит от ориентации датчика относительно силовых линий поля. Максимальная ЭДС будет при строго перпендикулярной ориентации датчика относительно силовых линий поля. Так как линии индукции магнитного поля на оси соленоида направлены вдоль оси, то датчик Холла располагается на торце специального штока.