Лабораторная работа №5

Лабораторная работа № 5

Релаксационные процессы в RC - цепях

Цель работы.Изучить релаксационные процессы при заряде и разряде конденсатора.

Приборы, которые должны быть выставлены на рабочем столе.

Приборы и оборудование. Осциллограф С1-117/1, звуковой генератор С1-112/1, магазины емкостей и сопротивлений, преобразователь импульсов, источник питания.

1. Процессы заряда и разряда конденсатора

Если конденсатор соединить проводниками с источником питания, то по проводам потечёт ток, и конденсатор будет разряжаться. Путь Q – заряд конденсатора, U – разность потенциалов между его пластинами, С – электроёмкость, а R – сопротивление проводника. Тогда для мгновенных значений заряда Q, силы тока I и напряжения U можно записать:

Мы полагаем, что ток, текущий в электрической цепи, является квазистационарным, т.е. во всех поперечных сечениях проводника, замыкающего конденсатор, его мгновенное значение напряжённости электрического поля между обкладками конденсатора такое же, как и при тех же, но неизменных зарядах на обкладках конденсатора¹. Исключая силу тока и напряжение из уравнений, получаем

(5.1)

В уравнении (5.1) скорость уменьшения заряда dQ/dt пропорциональна величине этого заряда Q. Естественно ожидать, что по мере уменьшения заряда скорость dQ/dt будет падать. Функция (5.2), являющаяся решением уравнения (5.1), называется экспоненциальной функцией² (рис. 5.1, кривая 1).

. (5.2)

Решение (5.2) получено при условии, что в начальный момент времени t= 0 заряд конденсатора равен Q₀. По экспоненциальному закону изменяется и напряжение на обкладках конденсатора:

(5.2а)

где U₀ – напряжение в начальный момент времени.

За время τ заряд конденсатора уменьшается в е раз, где е – основание натуральных логарифмов. Величина τ=RC имеет размерность времени.

Вприроде встречается много примеров, когда физические законы описываются выражением типа (5.2). Как правило, такого рода зависимости наблюдаются при так называемых релаксационных процессах. Релаксацией называется самопроизвольный процесс перехода в устойчивое равновесное состояние³. В данной электрической цепи это процесс разряда конденсатора. Для характеристики скорости, с которой происходит процесс релаксации, вводится характерное время,  которое называется временем релаксации.

Очевидно, что для экспоненциальной зависимости в качестве такого времени  надо взять время в течение, которого некая физическая величина уменьшиться в е раз⁴. Отсюда следует, что при процессах релаксации в RC- цепях время релаксации τ=RC. ⁵

Время релаксации можно определить, измерив интервал времени для которого начальный заряд уменьшился до уровня 0.368 (рис. 5.1). Однако для практического измерения времени релаксации удобно измерять время t_1/2, за которое заряд уменьшается до половины первоначальной величины⁶ (рис. 5.1):

, (5.3)

здесь t_1/2 – «половинное» время.

Разделив (5.3) на Q₀ и прологарифмировав полученное выражение, найдём

(5.4)

Формула (5.4) связывает время релаксации τ и «половинное» время t_1/2. При разряде конденсатора по экспоненциальному закону изменяется и сила тока в проводнике:

(5.5)

Рассмотрим процесс заряда конденсатора от источника тока, имеющего постоянную электродвижущую силу Е. При соблюдении условий, при которых наблюдается квазистационарность можно записать:

.

Здесь dQ – увеличение заряда конденсатора за время dt; R – полное сопротивление электрической цепи, включая внутреннее сопротивление источника тока. Исключая из уравнений I и U, придём к уравнению

(5.6)

которое можно свети к (5.1) если использовать новую переменную

Q - EC:

. (5.6a)

Решением уравнения (5.6а) является экспоненциальная функция

.

В начальный момент времени t = 0 конденсатор ещё не заряжен, т.е. Q=0. Это позволяет найти постоянную А = ЕС; следовательно

(5.7)

При , а заряд стремится к своему максимальному значению, равномуQ₀ = EC. (рис. 5.1, кривая 2, когда t  t₂). Напряжение U на обкладках конденсатора также увеличивается от нуля до максимального значения, равного Е:

. (5.7a)

Зависимость силы тока заряда от времени, так же как и в случае заряда, - убывающая функция времени:

. (5.8)