Лабораторная работа № 12
Лабораторная работа № 12 исследование затухающих колебаний
Ц ель работы. Изучение затухающих колебаний в колебательном контуре при различных величинах параметров L, С, R, расчет логарифмического декремента затухания.
Приборы и оборудование. Установка для изучения законов переменного тока в составе: магазин индуктивностей, магазин емкостей, магазин сопротивлений, коммутатор, источник питания, осциллограф С1-65.
1.Электромагнитные колебания
1.1. Колебательный контур
Рассмотрим процессы, протекающие в электрической цепи, состоящей из последовательно соединенных конденсатора С, катушки индуктивности L и омического сопротивления R (рис. 12.1). Такая цепь называется колебательным контуром1.
Внешняя электродвижущая сила создает в цепи переменное напряжение, изменяющееся по косинусоидальному закону:
. (12.1)
Ток, текущий в колебательном контуре, считается квазистационарным, т. е. таким, когда во всех элементах последовательной электрической цепи его значение в данный момент одинаково2. Мгновенное значение напряжения на конденсаторе такое же, как и при тех же, но неизменных во времени зарядах на его пластинах. Для мгновенных значений квазистационарных токов справедливы законы, установленные для цепей постоянного тока. Пусть Q — заряд конденсатора в данный момент времени, U — разность потенциалов на его пластинах. Тогда
, (12.2)
так как положительному направлению тока (рис. 12.1) соответствует убывание заряда конденсатора. По закону Ома имеем
, (12.3)
где — электродвижущая сила самоиндукции в катушке:
. (12.4)
Подставляя (12.1), (12.2) и (12.4) в (12.3)·, имеем
(12.5)
Разделим уравнение (12.5) на LC и введем обозначения
Тогда после преобразований получим дифференциальное уравнение (12.6), являющееся уравнением колебательного контура:
. (12.6)
1.2. Гармонические колебания
При отсутствии в контуре омического сопротивления (R = 0) и внешней электродвижущей силы процесс разряда конденсатора через катушку индуктивностью L описывается уравнением3 (12.7), в которое переходит (12.6) при 0 = 0 и = 0:
. (12.7)
Для его решения умножим уравнение (12.7) на U и в результате преобразований придем к уравнению (12.8) :
. (12.8)
Из (12.8) следует, что при разряде конденсатора в колебательном контуре величина U2+02U2 остается неизменной. Пусть в начальный момент времени сила тока в контуре I =CU =0, напряжение на конденсаторе равно U0. Тогда равенство (12.8) может быть записано в виде
, (12.9)
или
, (12.10)
где LI2/2— энергия магнитного поля катушки, CU2/2 — энергия электрического поля конденсатора. Уравнение (12.10) представляет собой закон сохранения энергии в колебательном контуре. После разделения переменных
(12.11)
уравнение (12.9) может быть проинтегрировано.
В результате получим
,
или
- уравнение гармонических колебаний4. Постоянные U0 и определяются из начальных условий, -циклическая частота колебаний. Промежуток времени, через который напряжение периодически повторяется, называется периодом колебаний Т.
Из уравнения (12.12) следует, что. T0 = 2. Тогда
(12.13)
- формула Томсона5 6.
1.3. Затухающие колебания
Реальный контур обладает сопротивлением R. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на джоулево тепло, поэтому свободные колебания затухают7. Дифференциальное уравнение свободных колебаний в колебательном контуре получается из (12.6) при отсутствии внешней электродвижущей силы:
. (12.14)
Для его решения введем новую переменную x(t):
. (12.15)
В результате подстановки (12.15) в (12.14) получим уравнение (12.16), которое совпадает с дифференциальным уравнением гармонических колебаний при 2 - 2 > 0:
. (12.16)
Его решение [см. (12.12)] имеет вид
, (12.17)
где ; U0 и — постоянные, определяемые начальными условиями.
Зависимость напряжения на конденсаторе колебательного контура от времени получается подстановкой (12.17) в (12.15):
. (12.18)
График зависимости U(t) изображен на рис. 12.2. Из рисунка видно, что кривая U(t) периодически проходит через нуль и максимальные значения. Описываемый уравнением (12.18) процесс называется затухающими колебаниями8. Промежуток времени Т называется периодом затухающих колебаний:
(12.19)
а величина
(12.20)
называется амплитудой затухающих колебаний. За время амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Степень затухания принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания , равным натуральному логарифму от отношения двух последовательных максимумов или минимумов:
. (12.21)
Он связан с числом полных колебаний N, совершаемых за время,зависимостью
. (12.22)
Величина называется добротностью колебательного контура. При малом затухании добротность Q можно вычислить по формуле (5.23)9:
. (12.23)
Добротность Q связана с относительной убылью энергии контура за один период колебаний зависимостью
(12.24)
Здесь W — энергия, запасенная в контуре, W — уменьшение энергии за один период. Действительно,
, (12.25)
так как энергия контура пропорциональна квадрату амплитуд напряжение на конденсаторе:
.
При условии, что (малое затухание), , поэтому
,
откуда .
При период T затухающих колебаний устремляется в бесконечность.
В этом предельном случае уравнение (12.16) переходит в уравнение
(12.25)
имеет решение
,
где а и b — постоянные интегрирования.
Уравнение U(t), описывающее процесс изменения напряжения на конденсаторе, в этом случае имеет вид
.
Процесс изменения напряжения на конденсаторе будет апериодическим. Графики U(t) при разных значениях а и b приведены на рис. 12.3. Сопротивление Rкр, при котором колебательный процесс в контуре переходит в апериодический, называется критическим. Критическое сопротивление10 Rкр определяется из условия , откуда (12.26)
При R > Rкр апериодический характер процессов в колебательном контуре сохраняется.
2. Установка для наблюдения затухающих колебаний
Наиболее простой способ возбуждения собственных колебаний в колебательном контуре реализован в установке принципиальная схема, которой приведена на рис. 12.4.
Коммутатор К представляет собой переключатель, который с частотой 50 Гц подключает конденсатор попеременно то к источнику питания то к индуктивности. На выходе коммутатора формируется импульсы напряжения в форме меандра длительность tком = 0.02. В течение времени tком конденсатор подключен к источнику и заряжается до напряжения питания. Потом в течение следующих tиком = 0.02 с конденсатор разряжается через контур и в колебательном контуре возникают затухающие колебания (рис. 12.5).
В колебательном контуре происходит непрерывный процесс преобразования электрической энергии конденсатора в магнитную энергию катушки и на оборот. В первый момент времени, как только коммутатор замкнет цепь колебательного контура, конденсатор начнет разряжаться и по цепи потечет ток.
Р ис. 12.4. Принципиальная схема установки
Ток, текущий по виткам катушки вызовет появление магнитного поля и ЭДС самоиндукции в катушке. В начале самоиндукция будет препятствовать нарастанию тока. Так будет продолжаться до того момента пока конденсатор полностью не разрядиться, а магнитное поле в катушке не достигнет максимума. Теперь ЭДС самоиндукции поменяет направление, стремясь подержать ток на неизменном уровне. По мере уменьшения магнитного поля движение зарядов в контуре будет продолжаться, но ток будет течь уже в обратном направлении. Этот ток приведет к зарядке конденсатора с противоположной полярностью. В момент, когда магнитное поле катушки станет равным нулю, напряжение на конденсаторе достигнет максимума и все процессы повторятся вновь. Напряжение с конденсатора поступает на вход Y осциллографа. При включенной развертке на экране можно наблюдать кривую затухающих колебаний (рис. 12.5).
Когда R > Rкр колебательный процесс переходит в апериодический. Основные причины затухания колебаний в реальном контуре следующие: наличие омического сопротивления проводников, потери на излучение, потери в конденсаторе11.
В ряде случаев колебательный процесс удобно изучать в системе координат I – U , где U – напряжение на конденсаторе, а I – ток в контуре. Плоскость I – U называют фазовой плоскостью, а кривую изображающая зависимость силы тока от напряжения – фазовой кривой. Для наблюдения на экране осциллографа сигнала пропорционального току, текущему в контуре на вход (← X) подается напряжение снимаемое с сопротивления R. Осциллограф включается в режим наблюдения фигур Лиссажу. Рассмотрим вид фазовой кривой для случая R=0. Уравнение гармонических колебаний в этом случае
U = U0 cos(0t + ). (12.27)
Сила тока в контуре равна
I = − C•dU/dt = CU00sin(0t+) (12.28)
Исключив из уравнений (12.27) и (12.28) время, получим уравнение фазовой кривой:
Это уравнение эллипса. В случае затухающих колебаний напряжение и сила тока в контуре непрерывно убывают, а фазовая кривая превращается спираль, непрерывно приближающуюся к фокусу О (рис. 12.6). При R > Rкр колебательный процесс в контуре прекращается, и спираль переходит в кривую, изображенную на рис. 12.7.