Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Таврический Национальный Университет им. В.И. Вернадского

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Algebra_10kl_RU

.pdf

Скачиваний:

127

Добавлен:

20.03.2015

Размер:

5.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4542 43 44 45 > Следующая >>>

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

Для второго случая значение t = 0 исследуем отдельно.

При t = 0 из уравнения (2) получаем a = 0. При a = 0 уравнение (2) имеет корни t1 = 0, t2 = 1. Таким образом, условие задачи при a = 0 выполняется.

Остается еще один случай — корни уравнения (2) имеют разные знаки (рас% положены по разные стороны от нуля). Это будет тогда и только тогда, когда будет выполняться условие f (0) < 0 (где f (t) = t2 – t – a), то есть условие

–a < 0, тогда a > 0. Объединяя все результаты, получаем ответ.

Ответ: при a = − 1 или a l0 данное уравнение имеет единственный корень.

Вопросы для контроля

1.Объясните на примерах, как можно применить свойства функций к реше% нию показательных и логарифмических уравнений.

Упражнения

Решите уравнение (1–5).

1.	1)	22x = 5 – x;			2) (		2		)x +	(	3	)x = 1;	3) 3x + 4x = 5x;			4) 2x + 2−x = 2cos			x	;
1.	1)	22x = 5 – x;			2) (				)x +	(		)x = 1;	3) 3x + 4x = 5x;			4) 2x + 2−x = 2cos				;
						5				5						3
	5)	log3 (x + 5) = log1 x + 4;										6) log2 (3x + 4) = 2 – 5x;					7) log2 \| x \| = 5 – x2;
					2
	8) log		2	(1 + x2) = log		2		x + 2x – x2;					9) log x = 1 − x2 .
			2			2							5
2.	1) ( 4 − 15 )x + ( 4 + 15 )x = 8;												2) ( 3 + 8 )x + ( 3 − 8 )x = 6;
	3) ( 2 − 3 )x + ( 2 + 3 )x = 2x.
3.	1)	log22 x + (x − 1)log2 x = 6 − 2x;											2) x2 + (x – 3) log2 x = 4x – 3;
	3)	2 lg2 (2x – 1) = lg2 (2x + 1) – lg (2x – 1)ælg (2x + 1).
4.	1)	2\| x + 2 \| – \| 2x + 1 – 1 \| = 2x + 1 + 1;											2)	2 + log1 x	+ 3 =		1 + log5 x	.
4.	1)	2\| x + 2 \| – \| 2x + 1 – 1 \| = 2x + 1 + 1;											2)	2 + log1 x	+ 3 =		1 + log5 x	.
														5

5.1) 25x – (a – 1)æ5x + 2a + 3 = 0;

6.Решите систему уравнений:

x + 2x = y + 2y, 1)

x2 + 3y = 10;

2)4x − 6 2x + 1 = 2x − a.

log2 x − log2 y = y − x, 2) x3 + y3 = 54.

7.Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 4x + aæ2x + 1 – а = 0 не имеет корней.

8.Найдите все значения параметра a, при которых неравенство aæ9x + 4(a – 1)æ3x + a > 1 выполняется при всех x.

412

Дополнительные упражнения к разделу 4

9.Найдите все значения параметра a, при которых уравнение 3x + 3–x = 2 cos x + a + 4 имеет единственный корень.

10.Найдите все значения параметра a, при которых уравнение log3 (9x + a) = x имеет единственный корень.

11.Для каждого значения параметра a определите число корней уравнения

				\| lg x \| = –(x – 1)2 + a.
12.	Сколько корней имеет уравнение (log2 (x +1) − 3) x − a = 0 в зависимости
	от значения параметра a?
13.	Найдите все значения параметра a, при которых система уравнений
	lg(4 + y) = lgx,
				имеет решения.
			(x + a)2	имеет решения.
	a − y = 1		(x + a)2
		2

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ К РАЗДЕЛУ 4

Вычислите (1–4).

																										9 log162+log3 5;						3) 81 0,5log97;									10 2+		1
1.	1)	10 log						2	log				2						2 ;				2)			9 log162+log3 5;						3) 81 0,5log97;							4)		10 2+		2 lg16 .
																														4				−	20
2.		4		25		−3log				0,1		+		64			log			5	;									4		5		−	3	+ log4 9			log3 4		− 7	log	3	;
	1)								5										4											2)													7
	1)																		4											2)
																														5 25
	3)	16(log						9	45 − 1)						log						9 log					5	121;			4) (15		+		3 1+ log3 4 ) log 3 log 4;
								9											11							5													2		3
	5)	(30 −5 1+log5 4 ) log																2		5 log						5	4.
																		2								5
3.	1)		log2 66				− log				2		3;																	2) log	7,3			5 8 :log				20	8;
3.	1)						− log						3;																	2) log				5 8 :log					8;
			log6 66																																	7,3
			log6 66
	3)	log				27 − 2log									3 + log									2	;					4) log			34 – log					17 + log			18.
	3)	log			2	27 − 2log								2	3 + log								2 3		;					4) log	6		34 – log				6	17 + log		6	18.
					2									2									2 3								6						6			6
						1																											1	1
																		1												2) (81 4 − 2 log9 4 + 25log125 8 ) 49log7 2;
4.	1)	202 log81 5 (0,25)																1				;
4.	1)	202 log81 5 (0,25)														2 log81 5						;
	3)	490,5(log7 9−log7 6)												−16 5− log 5 4.
5.																	a		4											b = –5.
	1)	Найдите log													1		a			, если log
	1)	Найдите log													1					, если log
													b−		4 b6													a
	2)	Найдите log												5 (a5b5 ), если log															a	b = 5.
													b																a
																														413

РАЗДЕЛ 4. Показательная и логарифмическая функции

3)Найдите logb6 (a6b6 ), если loga b = 6.

4)Найдите lg 800, если lg 2 = 0,301.

6.1) Найдите log15 81, если log75 3 9 = a.

2)Найдите log4 20, если lg 2 = a.

3)Найдите log70 32, если log70 5 = a, log70 7 = b.

4)Найдите log30 12, если log24 3 = a, log24 5 = b.

Сравните значения данных числовых выражений (7–8).

7.	1) log0,5			7	и log0,125											7			;	2) log0,25			5		и log0,5								5		;
7.	1) log0,5				и log0,125										164				;	2) log0,25			256		и log0,5										;
			4												164								256									16
					1	log					1+		1 3			log			2					1					1													2log25+ log1 9
	3)	11 и 9 2								3	(		9 ) 2					8	;	4)	15 и 8 3 log2(1− 32 )											2log27 3;					5)	8 и 2				2 .
8.	1)	7 log52 − 0,1 и 2 log57;																		2) 5 log37 + 0,1 и 7 log35;																	3) 2 log7 3 + 0,1 и 3 log7 2.
	Найдите область определения функции (9–10).
9.	1)	y =			(		x		2										)	2) y =		log4			(	2	− 4x −							)
9.	1)	y =	log2				x				− 2x − 2 ;									2) y =		log4			x		− 4x −							4 ;
	3)	y =			(						2					)				4) y =						(		x		2				)
	3)	y =	log1				3x					− 2x ;								4) y =		1 − log4						x			− 3x .
					2
10.	1)	f (x) =			2 31−x + 1− 3x ;															2) f (x) = lg((1,25)1−x2														− (0,4096)1+ x );
	3) f (x) =				27			x		−		9		x2	+0,5			;		4) f (x) =			(	4− x				)(			x			)
	3) f (x) =				27					−		9						;		4) f (x) =				4− x						3		− 9 .
11.	Найдите множество значений функции:																																				+ log24 x
													300																			30		+ 4			+ log24 x
	1)	y = log																		;	2)		y = log																;
	1)	y = log																		;	2)		y = log																;
					0,1 1 + lg (100 + x2 )																						0,25							2
														24											4) y = log1 (											10 + log7 (7 +				x	)		).
														24
	3)	y = log0,5																		;


					11 +									1 +			ln x																	7				77
					11 +									1 +																				7
	Решите уравнение (12–13).
12.	1)	25х – 1æ34x + 1æ73x + 3 = 504х –2; 2) 29х + 9æ37x + 3æ56x = 720x + 3;

3)213 – хæ311 – 2xæ59 – 3x = 360x + 2;4) 32х + 3æ33x + 1æ625x + 2 = 600x + 7.

13.1) 3log6 (3 − 2x3+ 3 )= 4log6 (2 + x 1+ 1)+ 3;

2)2 log12 (x + x 6− 5 )= 3 log12 (x 3− 2 − x 2− 3 )+ 5;

	33 +	8	(	3	2 )	4) 7 −	1	= 2log4	(		)
3)	33 +	logx 4	= 3log4	4 x	;	4) 7 −	logx 4	= 2log4		0,5	x .
		logx 4					logx 4

414

Дополнительные упражнения к разделу 4

14.При каких значениях а выражение (1 − x )log5 (1− x )− a−1 больше выраже% ния 0,24−a2−log25(1+x2−2 x ) при всех допустимых значениях х?

15. При каких значениях а сумма log

4 + 3

6 + 5

и log

будет больше

1 +

единицы при всех х?

16.При каких значениях а сумма loga (sin x + 2) и loga (sin x + 3) будет равна единице хотя бы при одном значении х?

17.При каких значениях а сумма loga (cos2 x + 1) и loga (cos2 x + 5) будет равна единице хотя бы при одном значении х?

18.При каких значениях а выражение (sinx)lg( sin x)−a2 больше выражения 10log100(1−cos2 x)+log7 a при всех допустимых значениях х?

19.При каких значениях а выражение (cosx)log3 ( cos x)− a больше выражения

3log9(1−sin2 x)+a(a−2) при всех допустимых значениях х?

20. При каких значениях а выражение (1 − x2 )log4 (1−x2 )− a больше выражения

0,251− a −log2 1−x2 при всех допустимых значениях х?

21.При каких значениях а выражение (1 − 2x )log2 (1−2x )−2a больше выражения 0,53− a −log4(1+4x −2x+1) при всех допустимых значениях х?

22.Найдите все положительные, не равные 1, значения а, при которых об% ласть определения функции y = (ax+3 a2 + a4+5loga x − x5+ xlogx a − ( 3 a )27 )0,5 не содержит двузначних натуральных чисел.

23.Найдите все значения а, при которых область определения функции

y = lg (ax+2 x3logx a + a4 x5 − ( x )10+2xlogx a − (	a )18 ) содержит только одно
целое число.	(aa − a		) взяли все целые по%
24. Из области определения функции y = log3		5x+2
		x+2

ложительные числа и сложили их. Найдите все положительные значе% ния а, при которых такая сумма будет больше 9, но меньше 13.

25. Из области определения функции y = log7 (a − 7x+ 4 ) взяли все целые по%

a a x+ 4

ложительные числа и сложили их. Найдите все положительные значе% ния а, при которых такая сумма будет больше 7, но меньше 11.

415

СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Т а б л и ц а 1

Формулы сокращенного умножения. Разложение алгебраических выражений на множители

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

a2 – b2 = (a – b) (a + b)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)	a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3	(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)	(a – b)3 = a3 – b3 – 3ab (a – b)

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Основные приемы разложения многочлена на множители

Вынесение общего множителя за	8a3 + 10a2b3 – 6ab = 2a (4a2 + 5ab3 – 3b)
скобки

	xy + 3yz – x2 – 3xz =
Способ группировки	= y (x + 3z) – x (x + 3z) =
	= (x + 3z) (y – x)

Применение формул сокращенного	a4 – 64 = (a2)2 – 82 = (a2 – 8) (a2 + 8)
умножения

Разложение на множители квадратного трехчлена ax2 + bx + c (а ≠ 0)

ax2 + bc + c = a (x – x1) (x – x2), где x1 и x2 — корни квадратного

трехчлена, то есть корни уравнения ax2 + bc + c = 0

Поскольку 2x2 + 3x – 5 = 0 при x1 = 1 и x2 = − 52 , то

2x2 + 3x − 5 = 2(x − 1)(x + 52)= (x − 1)(2x + 5)

Обобщение некоторых формул сокращенного умножения

an – bn = (a – b) (an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + ... + a2bn – 3 + abn – 2 + bn – 1)

П р и м е р ы.	a4 – b4 = (a – b) (a3 + a2b + ab2 + b3)
	a5 – b5 = (a – b) (a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)
При b =1	an – 1 = (a – 1) (an – 1 + an – 2 + an – 3 + ... + a2 + a + 1)
	Для нечетных натуральных п
an + bn = (a + b) (an – 1 – an – 2b + an – 3b2 – ... + a2bn – 3 – abn – 2 + bn – 1)
П р и м е р ы.	a5 + b5 = (a + b) (a4 – a3b + a2b2 – ab3 + b4)

При b = 1 (и n = 2k + 1)

a2k + 1 + 1 = (a + 1) (a2k – a2k – 1 + a2k – 2 – ... + a2 – a + 1)

416

		Т а б л и ц а 2

Системы уравнений

Понятия системы и ее решений		Примеры

Если ставится задача найти все	x − y = 4,
общие решения двух (или больше)		— система двух уравне%
уравнений с одной или нескольки%	2x + y = 11
уравнений с одной или нескольки%	ний с двумя переменными.
ми переменными, то говорят, что	ний с двумя переменными.
требуется решить систему уравне%	Пара чисел (5; 1), то есть
ний. Записывают систему уравне%	x = 5,
ний, объединяя их фигурной скоб%	y = 1	— решение системы.
кой.
Решением системы называется	x2 − y + z = 0,
такое значение переменной или	x2 − y + z = 0,
такое значение переменной или
такой упорядоченный набор значе	xy + xz + yz = 19, — система трех
ний переменных (если переменных		− z = 2
ний переменных (если переменных	x + y	− z = 2
несколько), которые удовлетворя	уравнений с тремя переменными.
ют всем уравнениям системы.	уравнений с тремя переменными.
ют всем уравнениям системы.		x = 1,
Решить систему уравнений —		x = 1,
значит найти все ее решения или
значит найти все ее решения или	Тройка (1; 4; 3), то есть y = 4, —
доказать, что решений нет.
Если система не имеет решения,		z = 3
Если система не имеет решения,	одно из решений системы.
то ее называют несовместной.	одно из решений системы.

Равносильность систем уравнений

Две системы уравнений называ
ются равносильными на некото
ром множестве, если на этом мно
жестве они имеют одинаковые ре	Областью допустимых значе
шения (то есть каждое решение	Областью допустимых значе
шения (то есть каждое решение	ний (ОДЗ) системы называется об
первой системы на этом множестве	ний (ОДЗ) системы называется об
первой системы на этом множестве	щая область определения всех фун
является решением второй и, наобо	щая область определения всех фун
является решением второй и, наобо	кций, входящих в запись этой сис
рот, каждое решение второй систе	кций, входящих в запись этой сис
рот, каждое решение второй систе	темы.
мы является решением первой).	темы.
мы является решением первой).	Все равносильные преобразова%
Если изменить порядок уравне%	Все равносильные преобразова%
Если изменить порядок уравне%	ния систем выполняются на ОДЗ
ний заданной системы, то получим	ния систем выполняются на ОДЗ
ний заданной системы, то получим	исходной системы.
систему, равносильную заданной.	исходной системы.
систему, равносильную заданной.
Если одно из уравнений системы
заменить на равносильное ему урав
нение, то получим систему, равно
сильную заданной.

417

П р о д о л ж . т а б л. 2

Основные способы решения систем уравнений

Способ подстановки

Выражаем из одного уравнения системы одну переменную через дру гую (или через другие) и подставляем полученное выражение вместо со ответствующей переменной во все другие уравнения системы (затем ре% шаем полученное уравнение или систему и подставляем результат в выра% жение для первой переменной).

Пример. Решить систему 2x − y = 3,

x + y = 3.

Р е ш е н и е. Из первого уравнения системы у = 2х – 3. Подставляем во второе уравнение системы и получаем х + 2х – 3 = 3. Отсюда х = 2. Тогда у = 2х – 3 = 1.

Ответ: (2; 1).

Способ сложения

Если первое уравнение системы заменить суммой первого уравнения, умноженного на число α ≠ 0, и второго уравнения, умноженного на число β ≠ 0 (а все остальные уравнения оставить без изменения), то получим систему, равносильную заданной.

5x − 3y = 9,		2
5x − 3y = 9,		2
Пример. Решить систему 3x + 2y = 13.		3

Р е ш е н и е. Умножим обе части первого уравнения системы на 2, а вто% рого — на 3 (чтобы получить как коэффициенты при переменной у противо% положные числа) и почленно сложим полученные уравнения. Из получен% ного уравнения находим значение х, подставляем результат в любое урав% нение системы и находим значение у.

10x − 6y = 18,

+ = +

9x 6y 39.

19x = 57, x = 3.

Тогда 3æ3 + 2у = 13, 2у = 4, у = 2.

Ответ: (3; 2).

418

П р о д о л ж . т а б л. 2

Графическое решение систем уравнений с двумя переменными

Выполняем равносильные преобразования заданной системы так, что бы удобно было строить графики всех уравнений, входящих в систему. Затем строим соответствующие графики и находим координаты точек пересечения построенных линий — эти координаты и являются реше ниями системы.

Примеры

1. Решить графически систему 2x − y = 3,

x + y = 3.

Р е ш е н и е. Заданная система равносильна системе y = 2x − 3,

y = 3 − x.

Графиком каждого из уравнений системы является прямая. Для построения прямой достаточно построить две ее точки.

Например, для

у = 2х – 3:	x	0	1

	y	–3	–1
	y	–3	–1

у = 3 – х:	x	0	1
у = 3 – х:	y	3	2
	y	3	2

Графики пересекаются в единственной точке М (2; 1). Итак, пара чисел (2; 1) — единственное решение заданной системы.

Ответ: (2; 1).

x2 = 2 − y2, 2. Решить графически систему

x3 − y = 0.

Р е ш е н и е. Заданная система равносильна

x2 + y2 = 2, системе y = x3.

График первого уравнения — окружность ра%

диуса 2 с центром в начале координат, а гра%
диуса 2 с центром в начале координат, а гра%
фик второго — кубическая парабола у = х3.
Эти два графика пересекаются в двух точках								2
Эти два графика пересекаются в двух точках								2
с координатами (–1; –1) и (1; 1).
Ответ: (–1; –1), (1; 1) — решение системы.

419

Т а б л и ц а 3

Квадратные неравенства

Квадратным неравенством называется неравенство вида ax2 + bx + c > 0 (< 0, l 0, m 0), если а ≠ 0

Ориентир

Для решения квадратного неравенства достаточно найти корни квад ратного трехчлена ax2 + bx + c и построить эскиз его графика (параболу).

Как ответ записывают промежутки оси Ох, для которых точки парабо% лы расположены выше оси Ох (для случая ax2 + bx + c > 0) и ниже оси Ох (для случая ax2 + bx + c < 0).

Если квадратный трехчлен имеет два разных корня х1 и х2, то для реше% ния неравенства можно также использовать метод интервалов или равно% сильные преобразования неравенства.

Разные случаи решения неравенства ax2 + bx + c > 0 (а ≠ 0, D = b2 – 4ac)

a > 0	a > 0	a > 0
D > 0	D = 0	D < 0

x (–×; x1) (х2; +×) x (–×; x0) (х0; +×)

x R (x (–×; +×)

a < 0

D > 0

D = 0

D < 0

x (x1; х2)

Решений нет

420

П р о д о л ж . т а б л. 3

Пример

Решите неравенство х2 – 5х + 6 < 0

	І способ	ІІ способ (метод интервалов)

1. х2 – 5х + 6 = 0, х1 = 2, х2 = 3.		Обозначим f (x) = х2 – 5х + 6.
2. Строим эскиз графика функции		1. Область определения: x R.
у = х2 – 5х + 6.		2. Нули функции: х2 – 5х + 6 = 0,
		х1 = 2, х2 = 3.
		3. Отмечаем нули на области опре%
		деления (на всей числовой пря%
		мой) и находим знак в каждом
		промежутке, на которые разби%
		промежутке, на которые разби%
		вается область определения (см.
		рисунок).
Ответ: (2 ; 3)



		Для нахождения знаков функ%
		ции f (x) удобно разложить квадрат%
		ный трехчлен на множители и запи%
		сать заданное неравенство так:
		(x – 2) (x – 3) < 0.
		Ответ: (2; 3).

ІІІ способ (равносильные преобразования)

Поскольку х2 – 5х + 6 = 0 при х1 = 2, х2 = 3, то заданное неравенство равносильно неравенству (x – 2) (x – 3) < 0, которое равносильно совокуп%

	x − 2 > 0,		x − 2 < 0,
ности систем: x − 3 < 0 или			x − 3 > 0.
	x > 2,	x < 2,
Тогда	x < 3	или x > 3.

Из первой системы получаем 2 < x < 3, а вторая система не имеет реше% ния.

Ответ: (2; 3).

421

<<< < Предыдущая 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 4142 / 4542 43 44 45 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
11.11.2019364.54 Кб2ajm_project_description_form_2012_en.doc
#
01.03.2025763.39 Кб1akimova_m_k_kozlova_v_t_psihologicheskaya_korre...doc
#
01.07.2025128.13 Кб0akushery.docx
#
08.05.20191.03 Mб158ALEXANDER KAMENSK1.doc
#
02.12.20181.91 Mб10ALFRED.doc
#
20.03.20155.2 Mб127Algebra_10kl_RU.pdf
#
20.07.201940.96 Кб3AMERICAN%20VALUES.doc
#
20.03.2015574.46 Кб237anatomia.doc
#
01.03.2025219.65 Кб5Animatsia.doc
#
20.03.201531.23 Кб30Antonyme.doc
#
30.04.201583.34 Кб27Arduino Uno Rev.3.pdf