3_Zakony Nyutona

Розділ 3

ЗАКОНИ НЬЮТОНА – ОСНОВА КЛАСИЧНОЇ МЕХАНIКИ

У попередньому розділі, присвяченому кінематиці, було введено поняття і фізичні величини,

що дозволяють кількісно описати механічний рух, але питання про причини зміни або сталості таких величин як, наприклад, радіус-вектор частинки, її швидкість або прискорення, не розглядались. Ці причини з’ясовуються в розділі механіки, що називається динамікою (від грецького dýnamis – сила).

В основі динаміки і всієї класичної механіки Ньютона лежать три закони сформульовані Ісаком Ньютоном у 1687 р., з яких можна отримати всі рівняння та теореми, необхідні для розв’язання задач механіки. Закони Ньютона з’явились як наслідок узагальнення численних спостережень, дослідів та теоретичних досліджень Ґалілео Ґалілея, Х. Ґюйгенса, самого Ньютона та інших.

У наступних параграфах ми покажемо, як на підставі узагальнення дослідних фактів можна прийти до понять інерціальної системи відліку, сили та маси, необхідних для формулювання законів Ньютона відповідно до сучасних уявлень та термінології. Також будуть наведені приклади застосування законів Ньютона до розв’язання різноманітних задач динаміки матеріальної точки та окреслені межі їх застосування.

3.1. Перший закон Ньютона та інерцiальнi системи вiдлiку

З точки зору кінематики, де мова йде лише про опис рухів і не порушується питання про причини, що їх викликають, немає ніякої принципової різниці між різними системами відліку і всі вони є рівноправними. Якщо ж звернутися до причин, що зумовлюють той чи інший характер руху,

то виявляється, що така рівноправність вже не має місця. Розглянемо для прикладу прискорений рух частинки відносно деякої системи відліку. У чому полягає причина виникнення прискорення? Досвід показує, що прискорення частинки відносно якоїсь системи відліку може бути зумовлене як дією на частинку інших матеріальних об’єктів, так і властивостями самої системи відліку.

Дійсно, прискорення однієї і тієї ж частинки відносно різних систем відліку може бути різним.

У принципі, існує можливість відповідним вибором системи відліку задати будь-яке, в тому числі і нульове прискорення відносно цієї системи. Це дає підстави припустити, що існують такі системи

55

відліку, в яких прискорення матеріальної точки зумовлене лише її взаємодією з іншими матеріальними об’єктами (частинками, тілами, полями). Якщо взаємодія частинки з іншими матеріальними об’єктами відсутня, тобто має місце вільний рух частинки або рух по інерції, то в таких системах відліку відсутнє і прискорення. Відсутність прискорення означає, що вектор швидкості частинки відносно обраної системи відліку є сталим, тобто частинка рухається прямолінійно і рівномірно. Системи відліку, що мають вказану властивість називають інерціальними.

Системи відліку, в яких вільний рух частинки відбувається прямолінійно та рівномірно

називаються інерціальними.

Твердження про те, що інерціальні системи відліку (ІСВ) існують, становить зміст першого закону Ньютона, або, як іноді кажуть, закону інерції Ґалілея-Ньютона. Ґалілей прийшов до формулювання закону інерції на підставі проведених ним спостережень, а Ньютон поклав цей закон в основу своєї механіки. Ньютон формулював закон інерції так:

Будь-яке тіло перебуває в стані спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, поки

дія на нього з боку інших тіл не змінить цей стан.

Одразу можна помітити, що в наведеному формулюванні нічого не говориться про систему відліку,

відносно якої розглядається рух. Розглянемо дві системи відліку, які рухаються з прискоренням одна відносно одної. Якщо в одній з них закон інерції за Ньютоном виконується, то в тій, що рухається прискорено він напевно не буде виконуватись. Для правильного розуміння ньютонівського формулювання закону інерції необхідно згадати, що Ньютон розглядав рух відносно так званої абсолютної системи відліку, існування якої спирається на введені ним постулати про існування абсолютного простору та абсолютного часу. Саме в такій системі відліку, хоч про неї прямо нічого не сказано, і справедливе формулювання Ньютона наведене вище. Ця абсолютна система відліку фактично має властивості інерціальної системи відліку. Таким чином, обидва формулювання еквівалентні.

Існує безліч інерціальних систем відліку: будь-яка система відліку, яка рухається відносно деякої ІСВ рівномірно та прямолінійно, є також інерціальною.

Можливість існування інерціальних систем відліку підтверджується спостереженнями. При цьому треба мати на увазі, що ІСВ - це деяке граничне поняття, певна ідеалізована модель, до якої більшою чи меншою мірою наближаються ті чи інші реальні системи відліку. На практиці в різних ситуаціях за інерціальні системи (з достатнім наближенням) можна обирати системи відліку,

пов’язані з різними тілами відліку.

56

Розглянемо лабораторний дослід, що ілюструє 1-й закон Ньютона (Рис. 3.1а). Сталева кулька

A скочується по похилому жолобу і далі рухається по поверхні стола прямолінійно і, наскільки можна судити, рівномірно. При безпосередньому зіткненні з яким-небудь іншим тілом, наприклад, з

А B

M

А

Рис. 3.1. До питання про виникнення прискорення тіл.

У цьому випадку кажуть, що кулька взаємодіє з магнітом через магнітне поле. Також можна

говорити, що вона взаємодіє з магнітним полем (створеним постійним магнітом M ). Саме тому в загальному випадку, коли ми говоримо про взаємодію, то ми не обмежуємось взаємодією з тілами, а

маючи на увазі також взаємодію з полями, говоримо про взаємодію з матеріальними об’єктами

взагалі.

З описаного досліду можна зробити висновок, що систему відліку, пов’язану з поверхнею

стола, тобто з поверхнею Землі, в умовах даного досліду можна вважати інерціальною.

Можливість виникнення прискорення тієї самої кульки лише внаслідок певного характеру

руху системи відліку добре видно в демонстраційному досліді з кулькою, яка скочується по похилій

58

Таблиця 3.1

Прискорення систем відліку

3.2. Сила та інертна маса: другий закон Ньютона

Узагальнюючи результати спостережень та дослідні факти можна дійти висновку, що дія

одного тіла на інше має характер взаємодії: якщо тіло A діє на тіло B , то й тіло B діє на тіло A ,

причому результатом взаємодії тіл у механіці є їх прискорення або деформація. Звернемося,

наприклад, знову до досліду, зображеного на Рис. 3.1. Коли кулька A , що рухається по поверхні стола, стикається з кулькою B , то не лише кулька A , але й кулька B набуває прискорення, оскільки після зіткнення вона рухається, а до зіткнення перебувала у спокої. У досліді з підвішеним магнітом можна також помітити, що внаслідок взаємодії не тільки викривлюється траєкторія кульки A , але й магніт M набуває деякої швидкості, а нитка підвісу відхиляється від вертикалі. Це відхилення можна розглядати як деформацію системи магніт-підвіс. Таким чином, наслідком взаємодії може бути прискорення або деформація. Взагалі всяка деформація як зміна відносного положення частинок тіла супроводжуються їх прискоренням, тобто прискорення тіл або їх частин можна вважати первинним наслідком взаємодії в механіці. Отже, можна говорити про існування фізичної властивості тіл взаємодіяти між собою із виникненням прискорення. Для кількісної характеристики цієї фізичної властивості вводять відповідну фізичну величину – силу. Таким чином, сила в механіці виступає як міра взаємодії. Оскільки в ІСВ прискорення тіла може виникнути лише при його взаємодії з іншими тілами, то про силу, що діє на деяке тіло з боку інших тіл, часто кажуть як про причину прискорення. І навпаки: прискорення тіла в ІСВ завжди є наслідком дії якоїсь сили. У

61

З визначення маси випливає спосіб її вимірювання (порівняння мас). До кожного з тіл, маси яких необхідно порівняти, прикладаємо одну й ту ж саму силу і вимірюємо прискорення, яких вони набувають під дією цієї сили. Відношення мас буде дорівнювати оберненому відношенню прискорень

Обравши деяке тіло за еталон маси, можна, в такий спосіб порівнювати масу будь-якого тіла з цим еталоном. Одиницею маси в системі СІ є кілограм, а первинним еталоном, що відтворює цю одиницю є спеціально створений прототип, що являє собою циліндр висотою та діаметром 39 мм,

виготовлений із сплаву платини (90%) та іридію (10%). Він постійно зберігається в Міжнародному бюро мір і вагів у Парижі.

Еталон кілограма – це єдиний з еталонів основних механічних одиниць (див. Табл. 1.1 у

Вступі), який не може бути відтворений природним шляхом, а потребує порівняння з прототипом,

хоча початкова ідея полягала в тому, що маса прототипу повинна співпадати із масою 1 дм3 води при її найбільшій густині (при температурі 3,98 С) і при тиску 1 фізична атмосфера (101 325 Па).

На перший погляд, такий еталон легко відтворити, але на практиці виникає цілий ряд серйозних проблем, починаючи від точного відтворення згаданих умов до коливань ізотопного складу води різного походження. Це спонукало вдатися до виготовлення спеціального еталону, який здатний забезпечити сталість визначення 1 кг з відносною точністю краще за 10-8 протягом багатьох тисяч років. Насправді виявилось, що маса прототипу більша за масу 1 дм3 води при згаданих умовах на

28 мкг. Взагалі, принципова можливість створення еталону одиниці маси, який можна відтворити будь-де, подібно до еталонів метра та секунди, існує, наприклад, як маси певної кількості атомів певного стабільного ізотопу певного хімічного елементу.

Оскільки маса визначається одним числом – відношенням модулів двох векторів, то вона є скалярною величиною. Підводячи підсумок можна сформулювати таке означення:

Маса – це скалярна фізична величина, що характеризує інерційні властивості тіл (є

мірою інертності тіл).

62

Ще раз підкреслимо, що тут йдеться про так звану інерційну масу. Вся сукупність дослідів і спостережень свідчить про те, що в рамках класичної механіки, тобто при швидкостях руху,

набагато менших за швидкість світла, маса має дві такі важливі властивості:

Маса є величина адитивна, тобто маса складеного тіла дорівнює сумі мас його складових частин;

Маса тіла є величина стала, що не змінюється при його русі.

На підставі узагальнення результатів дослідів (формули (3.1 3.3)) може бути сформульований другий закон Ньютона:

Прискорення частинки в інерціальній системі відліку прямо пропорційне прикладеній

до неї силі і обернено пропорційне її масі.

Другий закон Ньютона може бути виражений векторним рівнянням

i 1

пропорційності, про яку йдеться в наведеному вище означенні другого закону Ньютона, покладено рівним одиниці.

Рівняння (3.4) називають основним рівнянням динаміки матеріальної точки, оскільки воно дозволяє за відомою масою та відомими силами, прикладеними до частинки, визначити її прискорення, а потім, використовуючи початкові умови, також її швидкість та положення в будь-

який момент часу (див. 2.1.4), або, як прийнято говорити, її механічний стан.

Механічний стан частинки в кожний момент часу визначається її положенням та

швидкістю, тобто її радіус-вектором r (t) та вектором швидкості (t) .

Таким чином, рівняння (3.4) описує еволюцію механічного стану частинки з часом.

Рівняння, які описують часову еволюцію стану фізичної системи прийнято називати рівняннями руху. Отже рівняння (3.4) є рівняння руху частинки. За його допомогою при наявності необхідних

63

У частинному випадку вільного руху частинки, коли на частинку не діють ніякі сили, в рівнянні (3.4)

Цей висновок співпадає за змістом із першим законом Ньютона, в зв’язку з чим може виникнути враження, що перший закон Ньютона є наслідком другого. Але, як ми бачили, саме перший закон постулює існування інерціальних систем відліку, а другий закон справедливий лише в таких системах відліку і тому перший закон формулюють незалежно від другого.

3.3. Фундаментальні взаємодії та сили актуальні в механіці

Оскільки сила в механіці є мірою взаємодії, то логічно класифікувати сили за відповідними взаємодіями. На сьогодні відомі чотири фундаментальні взаємодії, характеристики яких наведено в Таблиці 3.2. Хоча сильна взаємодія набагато інтенсивніша за інші, її радіус оцінюється лише як

10-13 м. Ще менший радіус слабкої взаємодії. Ці взаємодії відіграють вирішальну роль у фізиці атомного ядра та елементарних частинок, але в задачах класичної механіки, область застосування якої обмежується макроскопічними тілами, вони ніяк не проявляються внаслідок малого радіусу їх дії.

Таблиця 3.2

Фундаментальні взаємодії

Таким чином у механіці актуальними є лише гравітаційна та електромагнітна взаємодії, і

відповідні сили.

3.3.1. Закони сил

Для того, щоб звести відшукання закону руху частинки до чисто математичної задачі,

необхідно знати так звані закони сил, або, як ще іноді кажуть, формули сил, прикладених до