3_Zakony Nyutona

95

Отже, при малих відхиленнях математичний маятник здійснює гармонійні коливання з

що не залежить від маси матеріальної точки і є тим більший, чим більша довжина підвісу і чим менше прискорення вільного падіння в місці розташування маятника. Зокрема, при прямуванні g до нуля, наприклад, в умовах невагомості на космічній станції період коливань прямує до нескінченності, тобто коливання не спостерігаються, оскільки відсутні сили, здатні повернути матеріальну точку до положення рівноваги, яке також стає невизначеним.

Формула (3.47) знаходить різноманітні застосування, серед яких відзначимо визначення прискорення вільного падіння g у заданій ділянці простору поблизу поверхні Землі за

вимірюваним періодом коливань (гравіметрія). Періодичний рух математичного маятника (його ще називають гравітаційним) може бути використаний для вимірювання часу (великі баштові годинники та настінні годинники).

Гравітаційні маятники, які застосовують на практиці, часто не задовольняють означенню математичного маятника як матеріальної точки, оскільки підвішене тіло має розміри, які не можна вважати малими порівняно з відстанню від його центра ваги до точки підвісу. Внаслідок цього рух підвішеного тіла не можна вважати поступальним і користуватися рівнянням динаміки матеріальної точки. У цьому випадку необхідно враховувати також обертовий рух підвішеного тіла, яке звичайно розглядають як абсолютно тверде тіло і застосовують до нього, відповідно, рівняння динаміки абсолютно твердого тіла, які будуть розглянуті в Розділі 6. Такі маятники на відміну від математичних називають фізичними. Період малих коливань таких маятників описується формулою, подібною до формули (3.47), але геометричну довжину

підвісу l у цій формулі замінюють так званою зведеною довжиною підвісу lзв , яка є завжди більшою за

відстань від точки закріплення підвісу до центру мас підвішеного тіла. Тому період коливань фізичного маятника буде завжди більшим за період математичного маятника всю масу якого зосереджено в центрі мас фізичного маятника. Це пов’язано з тим, що при однаковій повній механічній енергії маятника кінетична енергія фізичного маятника розподіляється між поступальними та обертовими ступенями вільності підвішеного тіла. Отже, швидкість центру мас фізичного маятника буде завжди меншою за швидкість центру мас відповідного математичного маятника.

97

mx T sin

(3.50)

my mg T cos

При малих відхиленнях sin , cos 1, а вертикальною складовою прискорення y

можна знехтувати порівняно з величиною прискорення вільного падіння g . Тоді з другого

рівняння системи (3.50) випливає, що T mg , і після підстановки в перше рівняння (3.50) маємо

98

Наявність горизонтальної поверхні унеможливлює рух брусків у вертикальному напрямку:

y1 const , y2 const , y2 const , що означає рівність нулю вертикальних складових векторів

швидкості y та прискорення y . Отже, вектори прискорення усіх трьох брусків лежать у

горизонтальній площині.

Нерозтяжність ниток означає, що відстані між центрами мас брусків в процесі руху

Додамо ліві і праві частини перших трьох рівнянь і підставимо в отримане рівняння величини нормальних складових сили реакції, знайдені з останніх трьох рівнянь:

(m1 m2 m3 )a T12 T21 T23 T32 k1m1g k2m2 g k3m3 g F0 .

За третім законом Ньютона сили, з якими бруски діють один на одного через нерозтяжні

Отже, шукане прискорення є

a (F0 k1m1g k2m2 g k3m3 g) /(m1 m2 m3 ) .

Сили натягу ниток легко знаходяться із перших двох рівнянь системи (3.51x).

Доведемо справедливість зробленого нами вище припущення, що сили прикладені до двох сусідніх брусків з боку невагомої нитки, однакові. Для цього припустимо, що перший і третій брусок з’єднані натягнутою ниткою, маса якої дорівнює масі другого бруска. Природно, що така

нитка не ковзає по поверхні, отже для другого бруска можна покласти k2 0 . Тоді його рівняння

руху в горизонтальному напрямку набирає вигляду m2a T21 T23 , звідки випливає, що при прямуванні маси другого бруска m2 до нуля сили натягу T21 та T23 стають рівними одна одній.

Якщо б нитки, що з’єднують бруски, в нашій задачі не були невагомими (безмасовими), а мали б масу m , то сили натягу на її кінцях відрізнялись би на величину ma .

100

Контрольні запитання і вправи.

Ковзання маленького тіла по внутрішній гладенькій поверхні кругового циліндра або сфери виведеного з положення рівноваги.