3_Zakony Nyutona

84

Задача про тіло на похилій площині. Брусок маси m починає ковзати вниз по похилій

площині, яка утворює кут з горизонтом. Коефіцієнт тертя ковзання між бруском та площиною

k . Знайти прискорення бруска.

Розв’язування.

(1–2) До бруска прикладені дві сили: однорідна сила тяжіння mg з боку Землі та сила

Розв’язування будемо проводити в Рис. 3.18.

координатній формі. Оберемо декартову систему координат так, як показано на Рис. 3.18.

Проекції рівняння (3.26) на осі OX та OY є

Вищезгаданий зв’язок (похила площина) накладає на рух бруска обмеження y const , з якого випливають умови y 0 та y 0 . З врахуванням останньої рівності ay 0 , внаслідок чого система

рівнянь (3.27) набуває вигляду

85

(7) Якщо 2 , то a g . Дійсно, в цьому випадку маємо вільне падіння бруска. Якщо

тертя відсутнє, k 0 , то a g sin . При зростанні коефіцієнта тертя прискорення зменшується і

a 0 при деякому k tg . Все це не суперечить спостереженням і здоровому глузду.

У той же час, якщо ми покладемо у формулі (3.28) 0 , то одержимо a gk , що немає

ніякого сенсу, оскільки відповідно до останньої рівності брусок має прискорено рухатися по горизонтальній площині, причому з тим більшим прискоренням, чим більший коефіцієнт тертя!

Такий математично можливий, але фізично беззмістовний результат лежить поза областю

застосування формули (3.28), яка обмежена кутами , для яких tg k , оскільки за умовою

задачі брусок починає ковзати, тобто існує прискорення a 0 .

Отже, повний коректний запис відповіді виглядає так:

a g(sin k cos ) при arctg(k) .

Таким чином, при поступовому збільшенні кута нахилу площини щодо горизонту при

його деякій критичній величині arctg(k) брусок починає ковзати і при більших кутах

рухається рівноприскорено9.

Підкреслимо, що отриманий нами результат не залежить від вибору системи координат.

Нами було обрано традиційну орієнтацію системи координат, в якій розв’язування є найпростішим. Цю задачу можна розв’язати і при інших виборах системи координат або взагалі в безкоординатному вигляді (Вправа 3._).

9 На цьому ґрунтується простий метод визначення коефіцієнта тертя ковзання.

89

окремо для горизонтальних і окремо для вертикальних складових векторних величин, що входять до нього

Рівняння (3.33а) є рівнянням руху автомобіля по горизонтальній поверхні, а рівняння (3.33б)

показує, що у вертикальному напрямку прискорення і рух взагалі відсутні і модуль сили

нормального тиску N mg . З рівняння (3.33а) випливає, що єдиною силою, що спричинює

прискорення автомобіля є сила зчеплення з поверхнею. У випадку автомобіля такою силою є сила

тертя Fтер між поверхнею колеса у місці контакту з поверхнею, по якій рухається автомобіль, та

самою поверхнею, яка своїм максимальним значенням має kN , яке в нашому випадку є kmg .

Отже рівняння (3.33а) можна переписати як

і надалі розглядати рух автомобіля по плоскій коловій траєкторії, що лежить в горизонтальній площині, лише під дією сили зчеплення з поверхнею, яка у нашому випадку є силою тертя спокою. Необхідно підкреслити, що напрями вектора прискорення і вектора

сили зчеплення (сили тертя спокою) однакові, а не протилежні, як іноді помилково вважають.

Саме сила зчеплення з поверхнею (сила тертя спокою) є єдиною причиною прискорення автомобіля, а не міфічна «сила тяги двигуна».10

10 Про силу тяги двигуна як про силу, яка спричинює рух автомобіля, можна говорити лише тоді, коли колеса автомобіля не є ведучі, наприклад, у випадку експериментальних автомобілів з реактивним двигуном.

90

ковзати і автомобіль відхиляється від колової траєкторії (явище заносу, описане вище), то для

відшукання max маємо рівняння ma2 max2 r 2 kmg , з якого знаходимо

max 4r 2 (k 2 g 2 a2 ) 9,2 м с 1 або приблизно 33 км/год.

Зауважимо, що проведений розгляд застосовний до руху по колу не лише автомобілів, а й будь-яких транспортних засобів з ведучими колесами, гусеницями (сила зчеплення!), а також людей, тварин та інших об’єктів, що рухаються завдяки силі зчеплення із земною поверхнею. Саме тому, щоб запобігти явищу заносу на криволінійних ділянках шляху, намагаються збільшити силу зчеплення коліс, гусениць транспортних засобів з поверхнею (спеціальні «зимові» покришки для автомобілів з розвинутим рельєфом,

різного роду колеса з шипами, гусениці з профільованими виступами тощо), а також спортивного взуття

(профільована підошва або навіть шипи у легкоатлетичних бігових туфлях).

Коливання невеликого тіла під дією пружної сили. Невеликий брусок маси m лежить на

гладенькій горизонтальній поверхні. До нього приєднана пружина, коефіцієнт жорсткості якої k ,

а її другий кінець закріплено нерухомо (Рис. 3.21). Брусок виводять

До бруска прикладені три сили: сила тяжіння mg , сила реакції

горизонтальної поверхні представлена своєю єдиною нормальною складовою N (поверхня

гладенька – тертя відсутнє) та пружна сила Fпр з боку пружини. Рівняння руху бруска є

площині. Отже, знову замість рівняння (3.32) можна записати два рівняння – окремо для горизонтальних і окремо для вертикальних складових векторних величин, що входять до нього

92

функцій найбільш близькими до описаного процесу за характером змін є гармонійні функції синуса або косинуса, які ми можемо випробувати як можливі розв’язки рівняння руху бруска

виключно властивостями коливної системи: в розглядуваній задачі масою бруска і жорсткістю пружини.

Величина A , яка дорівнює модулю максимального відхилення від положення рівноваги,

другого порядку і для розв’язування якого, в принципі, необхідно двічі застосовувати операцію інтегрування, якої ми уникли вгадавши розв’язок (3.40). Ці величини підлягають визначенню з початкових умов. Застосування початкових умов розглядуваної задачі дає систему рівнянь