6_Dynamika tverdogo tila

243

Дуже повчальним з точки зору визначення напрямку сили тертя зчеплення є плоский рух котушки, з якої розмотується нитка ( див. Вправу 6).

6.7. Рух гіроскопів

Гіроскопом називають масивне симетричне тіло, що обертається з великою кутовою швидкістю навколо своєї осі симетрії.

Прикладом гіроскопа може бути дитяча дзиґа. Якщо намагатися поставити її вертикально без обертання, то вона відразу впаде. Якщо ж їй надати швидкого обертання навколо осі симетрії і обережно поставити на горизонтальну поверхню, так щоб напрям її осі був близьким до вертикалі,

то вона здатна тривалий час зберігати цей напрям. При цьому можна помітити, що вісь дзиґи описує конус навколо вертикалі, причому дзиґа не падає навіть при значному відхиленні від вертикалі, якщо кутова швидкість її обертання навколо власної осі симетрії достатньо велика.

Це явище називають прецесією осі гіроскопа. Чим більша швидкість , тим менша кутова

площині. Звідси випливає, що швидкості всіх точок осі гіроскопа [ r ] в кожний момент

часу перпендикулярні згаданій площині, а відтак і сама вісь гіроскопа обертається навколо

напряму вектора L і описує при цьому коловий конус (Рис.6.20). Це явище називається

регулярною прецесією гіроскопа. При цьому і кутова швидкість прецесії і кутова швидкість

обертання гіроскопа навколо своєї осі симетрії (напрямку OZ ) z є сталими. Це випливає з

таких міркувань. Запишемо вирази для кінетичної енергії та квадрата вектора моменту імпульсу гіроскопа

Безпосередньо з Рис. 6.20 видно, що вектор можна подати у вигляді суми двох складових:

призводить ні до якого переміщення осі симетрії гіроскопа, а друга, , є швидкість обертання

247

гіроскопа, а разом з нею і вектор кутової швидкості гіроскопа , які в кожен момент часу лежать

в одній площині вісь гіроскопа, що проходить через вектор L . При цьому сам гіроскоп рівномірно

обертається навколо своєї осі симетрії з кутовою швидкістю z , яка є ортогональною проекцією

вектора кутової швидкості гіроскопа на вісь симетрії гіроскопа і величина якої визначається формулою

x 0 , а період регулярної прецесії до нескінченності. Внаслідок цього прецесію спостерігати

неможливо. Дійсно, вісь гіроскопа є головною віссю інерції, отже, як було показано вище,

навколо неї можливе вільне обертання. Зрозуміло, також, що прецесія неможлива у випадку сферичної дзиґи, оскільки для неї будь-яка вісь, що проходить через центр мас є віссю вільного обертання.

Зауважимо, що оскільки Земля сплюснута в напрямку полярної осі, то вона є симетричною, а не

сферичною дзигою, хоча різниця між її головними моментами інерції дуже мала: (I1 I2 ) / I1 0,0033.

Моменти зовнішніх сил, що діють на Землю, у першу чергу, з боку Місяця та Сонця, настільки малі, що іі обертання можна розглядати у першому наближенні як вільне, з періодом регулярної прецесії земної осі порядку року. При цьому точка виходу осі обертання Землі на її поверхню не віддаляється від Північного полюса більше як на 5 м. Цю прецесію при вільному русі Землі не слід плутати з дуже повільною (період 26

тис. років) вимушеною прецесією осі обертання Землі навколо нормалі до площини її орбіти, що відбувається під дією згаданих вище моментів сил притягання з боку Місяця та Сонця.

249

значний момент імпульсу L I , спрямований вздовж його осі симетрії. Тепер зміна орієнтації підставки, а разом з нею й орієнтації осі DD , при будь-яких її поворотах і переміщеннях не призводить до зміни орієнтації осі симетрії гіроскопа AA . Її напрям одразу після розкручування гіроскопа визначається постійним за величиною і напрямом вектором моменту імпульсу

L const , оскільки при розміщенні гіроскопа в кардановому підвісі сумарний момент зовнішніх

сил дорівнює нулю, M зовн 0 . Подібна ситуація має місце при розглянутому вище підкиданні дзиґи, кола вона перебуває у вільному польоті.

Тепер удар тією ж паличкою по осі ротора, що швидко обертається, не викликає жодних видимих наслідків: напрям осі обертання залишається незмінним. Цю відмінність поведінки ротора, що обертається, від ротора, що не обертається, можна легко зрозуміти. В обох випадках

ротору при ударі надається деякий імпульс dp , внаслідок чого виникає приріст моменту імпульсу

кутовою швидкістю порядку одного оберту за секунду (див. Вправу 6._), яке легко спостерігати.

нашого досліду непомітним.

Властивість вільного гіроскопа зберігати початковий напрям осі обертання знаходить різноманітні технічні застосування в системах наведення торпед, ракет тощо.

З гіроскопом у кардановому підвісі зручно вивчати явище змушеної прецесії. Якщо розмістити вісь ротора горизонтально і надати йому швидкого обертання, а потім натиснути на внутрішнє кільце карданова підвісу, наприклад, донизу, то ротор, замість того, щоб обертатися

250

навколо горизонтальної осі, почне повертатися разом із зовнішнім кільцем навколо вертикальної осі. Якщо в тому самому місці внутрішнього кільця натиснути на нього вгору, то знову почнеться обертання осі ротора навколо вертикальної осі, але тепер у протилежний бік. Можна помітити, що обертання осі ротора виникає одразу після натискання і миттєво зникає після його припинення:

відсутня будь-яка інерційність. Якщо на внутрішнє кільце карданова підвісу покласти зверху невеличку сталеву кульку (на пластиліні), то кільце трошки нахилившись, починає рівномірно обертатися разом із ротором гіроскопа і зовнішнім кільцем навколо вертикальної осі DD : ми маємо вимушену прецесію гіроскопа під дією моменту сили тяжіння, яка діє на кульку, у повній відповідності з розглянутою вище наближеною теорією прецесійного руху дзиґи. Дійсно, з

рівняння моментів (6.74) добре видно, що зникнення моменту зовнішніх сил одразу призводить

до виконання умови збереження вектора моменту імпульсу L : вісь гіроскопа залишається в тому положенні, в якому вона була на момент зникнення моменту зовнішніх сил (згадаємо підкидання дзиґи!). Інше корисне пояснення такої, на перший погляд, незвичної поведінки гіроскопа можна зробити на підставі рівняння (6.79), з якого випливає, що моменту сили, прикладеному до

гіроскопа, прямо пропорційна кутова швидкість прецесії , а не кутове прискорення. Отже,

зникнення моменту сили тяжіння ( lmg 0 ) призводить до миттєвого припинення прецесії

( 0 ).

Необхідно зауважити, що точний розгляд руху гіроскопа при наявності моменту сили тяжіння показує, що крім вимушеної прецесії має місце так звана нутація осі гіроскопа, тобто періодичні зміни кута

між віссю гіроскопа і віссю прецесії. Із збільшенням початкової кутової швидкості гіроскопа (дзиґи)

амплітуда нутації швидко зменшується, а частота збільшується. На практиці нутація швидко загасає внаслідок дисипативних сил тертя в підшипниках гіроскопа (в опорі дзиґи) і вона стає непомітною,

внаслідок чого здається, що вісь гіроскопа (дзиґи) здійснює рівномірну прецесію навколо вертикальної осі.

Внаслідок цього таку прецесію, зовні подібну до регулярної, називають псевдорегулярною. В елементарній теорії, викладеній вище, нутацією нехтують. Це, між іншим, призводить до парадоксального висновку про те, що вісь дзиґи, якщо її вивільнити, буцімто зразу починає прецесійний рух у напрямку перпендикулярному

силі тяжіння. Насправді, прецесія виникає не одразу, тобто вісь починає рух зі стану спокою без нескінченно великих прискорень: вивільнений гіроскоп (дзиґа) починає опускатися під дією сили тяжіння і набуваючи швидкості починає прецесійний рух.

251

6.7.1 Гіроскопічні сили

Коли в деякій ІСВ ми спостерігаємо прискорений, зокрема, криволінійний рух частинки, ми робимо висновок, про те, що на таку частинку діє якась сила, яка спричинює це прискорення і напрям якої відповідно до другого закону Ньютона співпадає з напрямом спостережуваного прискорення (варто згадати задачу про автомобіль, що починає прискорено рухатись по горизонтальній поверхні). Аналогічно, у випадку повороту осі обертання гіроскопа в якомусь напрямку, ми робимо висновок про те, що на такий гіроскоп діють сили, момент яких співпадає з напрямом повороту осі гіроскопа, а більш точно, з напрямом повороту його вектора моменту

імпульсу L , як то випливає з рівняння моментів (6.2) .

Розглянемо поворот осі гіроскопа, схематично зображеного на Рис.6.22. Вісь обертання ротора

гіроскопа AA лежить у горизонтальній площині і може обертатися навколо нерухомої вертикальної

осі OO при повороті рамки-паралелограма. Цю рамку можна повернути навколо вертикальної осі

приріст вектора моменту імпульсу гіроскопа dL може виникнути лише за рахунок співнапрямленого

гіроскопічним моментом (на Рис. 6.22 M вектори M та F показані зеленим кольором).

Зауважимо, що у розглянутому прикладі гіроскоп не виявляє здатності протидіяти зміні напряму його осі обертання.

Виникнення гіроскопічних сил при спробі змінити напрям осі обертання гіроскопа називають гіроскопічним ефектом. Гіроскопічний ефект має місце при поворотах різних машин і механізмів, що містять частини, які швидко обертаються: вали двигунів, трансмісій, ротори електродвигунів, турбін тощо. Найбільше він виявляється у транспортних засобах, які можуть мати значну кутову швидкість при поворотах: підшипники валу турбіни на кораблі або газової турбіни і компресора в турбореактивному двигуні літака зазнають значних навантажень при маневрах.

Гіроскопічні сили і гіроскопічний момент легко відчути безпосередньо, якщо тримаючи в руках вісь тіла, що швидко обертається, наприклад, велосипедне колесо в описаних у Розділі 5