6_Dynamika tverdogo tila

233

6.6.1. Осі вільного обертання твердого тіла

Віссю вільного обертання твердого тіла або вільною віссю називають таку вісь, навколо якої можливе вільне (тобто без прикладання зовнішніх сил) обертання твердого тіла, при якому напрям осі залишається незмінним.

Покажемо, що вільні осі обертання проходять через центр мас тіла і що напрямки вільних осей обертання співпадають з напрямками головних осей тензора інерції.

Нехай деяке тверде тіло обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі, напрям

AA якої в просторі фіксований підшипниками A і A (Рис.6.12), причому центр мас тіла C не лежить на осі обертання.

Рівняння руху такого тіла можна записати у вигляді

зовн mRC F

dLdt M зовн ,

де, знову, відповідно до викладеного в 5.3.1, момент

зовнішніх сил M зовн подано формулою (6.51).

Необхідні умови вільного обертання є F зовн 0 та

загальному випадку всі точки твердого тіла, що не лежать на осі обертання, рухаються по колу, то

осі обертання, або, іншими словами, вісь обертання проходить через центр мас твердого тіла.

Якщо центр мас твердого тіла лежить на осі обертання RC 0 , то другий доданок у правій

частині виразу для моменту зовнішніх сил (6.51) дорівнює нулю. Отже, тепер достатньо встановити за яких умов дорівнює нулю момент зовнішніх сил, визначений в системі центра мас

осі тензора інерції твердого тіла співпадають з осями декартової системи координат, в якій їх

~

визначено. Отже M зовн 0 , тоді, коли обертання твердого тіла відбувається навколо однієї з головних осей тензора інерції. Таким чином, зроблене на початку параграфу твердження доведено.

Воно підтверджується ефектними демонстраційними дослідами (Рис. 6.13), в яких тіла різної форми підвішують на нитці, верхній кінець якої прив’язано до вертикально розміщеної осі електродвигуна. Коли вісь не обертається, тіла знаходяться в положенні рівноваги: лінія підвісу проходить через центр мас тіла, а

орієнтація встановлюється така, щоб сумарний момент сил прикладених до тіла був рівний нулю. Зокрема,

сталевий стрижень, на одному з кінців якого закріплено нитку, займає вертикальне положення; плоскі круглі алюмінієві диски, підвішені в точках на краю та на половині радіуса, а також тонке жорстке кільце,

розміщуються у вертикальній площині; диск, підвішений за центр, перебуває у стані байдужої рівноваги, а

235

Рис. 6.13. Демонстрація осей вільного обертання

замкнений тонкий ланцюжок складається вдвоє і звисає у вертикальному напрямку. Коли вісь електродвигуна починає обертатися, вона створює механічний обертовий момент, що закручує нитку підвісу, а через цю нитку цей момент передається підвішеному на ній тілу й примушує його обертатися навколо вертикальної осі. При цьому центр мас тіла залишається на вертикалі, що проходить через точку закріплення нитки на осі електродвигуна, а при зростанні кутової швидкості тіло змінює свою просторову орієнтацію таким чином, щоб вісь обертання співпадала з головною віссю його тензора інерції, відносно якої момент інерції є найбільшим. При цьому сталевий стержень, алюмінієві диски і тонке кільце

236

обертаються в горизонтальній площині, а замкнений ланцюжок утворює кільце, яке також обертається в горизонтальній площині подібно до тонкого жорсткого кільця. Вісь обертання при цьому перпендикулярна площинам обертання цих тіл і завжди проходить через їх центр мас. Щодо нитки підвісу, то вона описує конус, вершина якого співпадає з точкою її закріплення на осі електродвигуна, а в основі лежить колова траєкторія, по якій рухається точка , в якій нитка прикріплена до тіла.

6.6. Динаміка плоского руху твердого тіла

Як було означено в Розділі 2 при плоскому русі твердого тіла кожна точка твердого тіла рухається в площині, паралельній деякій нерухомій площині, що перпендикулярна вектору кутової

швидкості . При цьому його центр мас, як і будь-яка його точка рухається по плоскій траєкторії,

площина якої перпендикулярна вектору кутової швидкості .

Отже динаміка плоского руху твердого тіла може бути описана рівнянням руху його центру мас

та рівнянням обертового руху навколо осі, що проходить через центр мас, перпендикулярно до площини траєкторії

брати до уваги лише сили взаємодії.

Приклад. Знайдемо прискорення круглого циліндра, що починає скочуватись без ковзання з

нормальної та тангенціальної складових

237

де Fзч тангенціальна складова, яку називають силою зчеплення поверхні циліндра з

похилою площиною, а N нормальна складова, яку іноді називають нормальною силою реакції.

До системи рівнянь (6.65) необхідно додати умову наявності зв’язку (похилої площини), яка

обмежує рух, YC 0 , з якої випливає, що YC 0 і YC 0 , а також умову чистого кочення,

відповідно до якої швидкість точок циліндра, що дотикаються до похилої площини, відносно цієї площини дорівнює нулю [див. формулу (2.45) в Розділі 2]

238

Корисно порівняти прискорення, з яким скочується циліндр по похилій площини, з

прискоренням, з яким він ковзає по цій самій площині (якщо його, наприклад, поставити на основу

і надати похилій площині достатній нахил, tg k ) (див. формулу (3.28) у параграфі 3.6).

Прискорення при поступальному русі тіла по похилій площині a g(sin k cos ) не залежить

від маси тіла, але залежить від величини сили тертя ковзання через коефіцієнт тертя ковзання k .

У той же час, прискорення, з яким скочується циліндр, не залежить від величини сили зчеплення

(вона просто повинна бути ненульовою, що створити момент відносно осі і спричинити обертовий рух циліндра), але залежить від маси циліндра і від його моменту інерції, причому збільшення моменту інерції зменшує прискорення. Для аналізу зручно подати прискорення циліндра у вигляді

від осі. Це максимально можливий момент інерції для циліндра: для всіх інших циліндрів IC mR02 .

однаковій масі циліндр з порожниною має більший момент інерції, а тому його прискорення у відповідності до формули (6.69)

є меншим і суцільний циліндр випереджає його.

Зауважимо, що нормальна складова сили реакції N однакова при скочуванні й при ковзанні циліндра, N mg cos . Цього не можна сказати про тангенціальну складову сили реакції, якою у

скочуванні циліндра силою зчеплення Fзч є фактично сила тертя спокою, оскільки точки циліндра по

лінії дотику (точка M на Рис.6.14 є її проекцією) не ковзають по похилій площині, а нерухомі

Оскільки сила тертя спокою не може перевищувати максимальне значення, що дорівнює силі

тертя ковзання Fзч kN , то з врахуванням рівностей (6.70) і рівняння (2) системи (6.67) цю умову

можна записати так

У результаті через деякий час швидкість K зменшується до нуля і колесо переходить у режим

модуль сили тертя, яка відтепер є силою тертя спокою (силою зчеплення) Fзч , стає меншим за

модуль сили ковзання, але її напрям залишається незмінним і співпадає з напрямом поступального руху осі обертання.

На практиці саме це відбувається при посадці літака. При цьому в момент дотику колеса літака до поверхні бетону можна спостерігати інтенсивне утворення диму в точці дотику, яке має місце доти, поки має місце ковзання, а, отже, на колесо діє дисипативна сила тертя ковзання6. Подібна ситуація має місце для всіх ведених коліс транспортних засобів, зокрема для колеса воза або будь-якого іншого причіпного пристрою.

У випадку ведучих коліс, наприклад , автомобіля або велосипеда, колесо здійснює обертовий

вектори, проведені від осі обертання колеса до точок прикладання пари сил F1 та F2 . У цьому

випадку сила, яка рухає колесо (а разом з ним і транспортний засіб) у горизонтальному напрямку,

виникає внаслідок взаємодії обода колеса з поверхнею, на яку спирається колесо це сила

зчеплення (тертя) Fзч . Напрямок цієї сили можна встановити з таких міркувань. Уявимо, що спочатку

колесо обертається у вказаному на Рис.6.1б напрямку, але контакту з опорною поверхнею немає.

При цьому вектор швидкості K нижньої, найближчої до опорної поверхні, точки K обода колеса,

направлено праворуч. Після приведення колеса в контакт з поверхнею виникає сила тертя ковзання,

прикладена до ободу колеса в точці контакту K , яка, як завжди, направлена протилежно вектору

швидкості K , з якою нижня точка ободу колеса рухається відносно поверхні, тобто ліворуч на

Рис.6.16. Ця сила є єдиною силою, що спричинює прискорення колеса в горизонтальному напрямку.

(ліворуч на Рис.6.16). Виникнення швидкості осі колеса у зазначеному напрямку зменшує відносну

6На важких літаках, щоб запобігти займанню та руйнуванню коліс, їх попередньо розкручують перед посадкою до такої кутової швидкості, при якій в момент дотику коліс до посадочної смуги виконується умова чистого кочення (див. Вправу

6._)