Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

6_Dynamika tverdogo tila

.pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
19.03.2015
Размер:
1.13 Mб
Скачать

Розділ 6

ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА

6.1. Рівняння руху абсолютно твердого тіла

Як відзначалося раніше, абсолютно тверде тіло можна означити як систему частинок нерухомих одна відносно одної в процесі руху цієї системи. Отже, для твердого тіла як для всякої системи частинок можна записати два векторних рівняння, а саме рівняння руху системи як цілого під дією зовнішніх сил

 

dP F зовн ,

 

(6.1)

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

де F зовн Fi

зовн

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

r1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l1 C

та рівняння моментів, записане в системі центру мас

 

r2

F2

F3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l3

l2

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dL

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MCзовн ,

 

(6.2)

 

 

 

r3

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

n

~

 

 

 

 

 

 

 

де

MCзовн

Miзовн .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

Рис. 6.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо відома система зовнішніх сил

F зовн

, прикладених до абсолютно твердого тіла, тобто

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

задано самі сили та точки твердого тіла, до яких вони прикладені (на Рис.6.1 зображено приклад

системи сил F1 , F2 , F3 , F4 , прикладених до точок тіла, положення яких визначено радіус-

векторами r1, r2 , r3 , r4 відносно центру мас тіла C ), а також початкові умови, то за допомогою

цих двох векторних рівнянь можна знайти радіус-вектори та швидкості всіх точок твердого тіла,

тобто його механічний стан у деякий момент часу, а, отже й закон його руху, і, таким чином,

розв’язати основну задачу динаміки.

Дійсно, два векторних рівняння (6.1) та (6.2) еквівалентні шести скалярним рівнянням для проекцій, що відповідає шести ступеням свободи абсолютно твердого тіла, серед яки є три поступальних і три обертальних. При цьому рівняння (6.1) описує поступальний рух абсолютного твердого тіла. Його можна подати у вигляді рівняння руху центру мас абсолютного твердого тіла

214

M dVc F зовн ,

(6.3)

 

 

 

 

 

dt

 

яке дозволяє знайти швидкість і положення центру мас абсолютного твердого тіла.

 

Рівняння моментів (6.2) описує обертовий рух абсолютного твердого

тіла. За його

допомогою можна знайти вектор кутової швидкості та кут повороту абсолютно твердого тіла відносно якогось початкового положення.

Застосування рівнянь (6.1) або (6.3) та (6.2) до такого спеціального випадку системи

частинок як абсолютно тверде тіло має певну специфіку, яка полягає в наступному.

1. Якщо переміщувати вектори сил Fi вздовж напрямків дії цих сил (показані на Рис.6.1

штриховими лініями), то не зміниться ні їх результуюча F зовн , ні їх сумарний момент відносно

~

центру мас MCзовн , оскільки незмінним залишається момент кожної із сил внаслідок того, що

плече li кожної сили Fi залишається незмінним. Тому при розгляді руху абсолютно твердого тіла

можна переносити точки прикладання сил, що діють на абсолютно тверде тіло, вздовж напрямків їх дії. Цей прийом дуже корисний при розв’язуванні задач динаміки абсолютно твердого тіла.

2. У тих спеціальних випадках, коли сумарний момент усіх сил, що діють на абсолютно

~

 

 

тверде тіло MCзовн , виявляється перпендикулярним

до їх результуючої (їх векторної суми F

зовн ),

~

 

 

тобто M зовн F

зовн , дія всіх цих сил на абсолютно тверде тіло може бути замінена дією однієї

 

C

 

сили F , яка буде справляти таку саму дію на тверде тіло.

 

зовн прикладених до абсолютно твердого тіла,

Нехай для деякої системи сил F

~

 

зовн .

 

 

~

 

 

 

 

M зовн F

Тоді для пари векторів M зовн та

F зовн

завжди можна знайти такий вектор

 

C

 

 

 

C

 

 

 

 

 

~

 

 

 

~

~

 

 

зовн ] . Ясно, що цій умові задовольняє

r

M зовн

, що при заданих F зовн та

M зовн

M зовн [r

F

0

C

 

 

 

C

C

0

 

 

будь-який вектор

 

 

 

 

 

 

r , кінець якого лежить на лінії дії сили

F зовн (Рис. 6.2). При цьому для всіх

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

таких векторів

 

плече сили l M зовн / F зовн буде однаковим.

r

 

 

 

0

C

C

 

 

 

 

215

~

 

 

 

 

 

 

Отже, якщо M зовн F

зовн , то систему сил, що

 

 

 

 

 

C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M зовн

 

 

прикладені до окремих певних точок абсолютно твердого

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

зовн

тіла, можна замінити так званою рівнодіючою силою, яка

 

F

С

r0

 

 

 

 

 

 

 

дорівнює результуючій силі F зовн , причому рівнодіюча сила може бути прикладена до будь-якої точки твердого тіла, що лежить на прямій, яка проходить на відстані

l

Рис. 6.2

l M зовн / F зовн

від центру мас тіла C в площині, в якій лежить центр мас тіла C і яка

C

C

 

~

перпендикулярна моменту зовнішніх сил MCзовн .

Приклад 1. Для абсолютно твердого тіла, що знаходиться в однорідному полі сили тяжіння завжди можна вказати рівнодіючу сил, що прикладені до тіла з боку поля. Дійсно, сумарний

момент сил тяжіння, що прикладені до частинок тіла, обчислений відносно довільної точки O ,

можна подати у вигляді

n

M тяж i 1

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ri

mi g]

mi ri

g

[MRC

g] [RC

Mg] [RC

F

тяж ]. (6.4)

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тяж

 

Отже, в однорідному полі сили тяжіння сумарний момент сил тяжіння

M

завжди

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тяж

 

перпендикулярний сумі сил тяжіння F тяж , тобто можна ввести рівнодіючу силу

F

Mg з

точкою прикладення, що лежить на вертикальній прямій,

яка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

проходить через центр мас C , зокрема, вона може бути

 

 

 

 

 

 

прикладена в центрі мас тіла. У зв’язку з цим точку, в якій

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С

 

лежить центр мас тіла, що перебуває в однорідному полі сили

 

 

 

 

 

 

С

 

 

 

 

 

тяжіння, іноді називають центром ваги тіла.

Зрозуміло,

що

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mg

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сумарний момент сил тяжіння дорівнює нулю,

якщо RC

 

 

 

Mg ,

 

 

 

 

 

Рис. 6.3

тобто коли точка O лежить на вертикальній прямій, яка проходить через центр мас тіла, і,

зокрема, коли вона співпадає з центром мас тіла. Саме тому пряма, вздовж якої розтягується нитка, на якій вільно підвішене нерухоме тверде тіло в однорідному полі сили тяжіння, завжди проходить через центр мас цього тіла (Рис. 6.3).

Приклад 2. На (Рис. 6.4) показано систему сил, прикладених до кулі, для яких не можна вказати рівнодіючу, оскільки момент сил

~

 

 

M зовн створюється лише силою

F

, і, отже, направлений вздовж осі

C

2

OZ , а результуюча сил F1 та F2 аж ніяк не ортогональна до осі OZ ,

оскільки сила F1 напрямлена паралельно осі OZ .

216

z

 

 

 

F1

y

O

 

 

F2

 

x

 

 

Рис. 6.4

Звичайно, поняття рівнодіючої сили застосовне лише до абсолютно твердих тіл. Якщо деформаціями тіла знехтувати не можна, то поняття рівнодіючої сили втрачає сенс.

6.2. Умови рівноваги абсолютно твердого тіла

З попереднього ясно, що для абсолютно твердого тіла, що знаходилося в рівновазі, тобто не рухається, виконуються умови

 

n

 

 

F

зовн Fi зовн 0 ,

(6.5)

 

i 1

 

 

 

n

 

 

M зовн M iзовн 0

(6.6)

i 1

Ці умови є необхідними, але недостатніми для того, щоб тіло знаходилось у рівновазі,

оскільки вони припускають рівномірний рух центру мас і рівномірне обертання тіла навколо осі,

що проходить через його центр мас. Їх треба доповнити відповідними початковими умовами

 

 

 

 

Vc (0)

0,

(0) 0 .

 

 

 

 

зовн 0 , точку, відносно якої визначають

 

Корисно пам’ятати, що у випадку, коли F

сумарний момент сил, що прикладені до абсолютно твердого тіла, можна обирати довільно,

керуючись міркуваннями зручності.

Розглянемо класичний приклад знаходження умов рівноваги однорідної балки, що спирається на дві опори. Ця задача дуже важлива для практики, наприклад, при визначенні сил, що будуть прикладені з боку балки до опор, на які вона спирається (це може бути міст). Для системи сил, зображеної на Рис.6.5, можна записати

 

 

 

 

 

mg

F1

F2

0

(6.7)

217

 

 

 

 

 

[r1

F1 ] [r2

F2 ] 0 ,

(6.8)

 

m -

 

 

 

де

маса балки, F1

та F2

сили реакції, що діють на балку з боку

опор, r1 та r2 радіуси вектори точок прикладання цих сил, визначені відносно центра мас балки.

Проектуванням цих векторних

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F2

 

F1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r1

 

С

 

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

l1

 

 

l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mg

Рис. 6.

рівнянь, відповідно, на напрями осі OZ та осі OY дістанемо

F F mg 0

F F mg

 

 

1 2

або 1 2

,

(6.9)

l1F1 l2 F2 0

l1 F1 l2 F2

 

 

де позначено l

 

 

 

 

 

 

 

r F

 

 

r F sin(r

F ), l

2

sin(r

F ) .

 

 

 

1

1

1

1

 

1

 

2

2

2

2

Із системи (6.9) двох лінійних рівнянь з двома невідомими знаходимо

F1

 

l2

mg

та

F2

 

 

 

l1

mg ,

 

 

(6.10)

l1

l2

l1

l2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тобто навантаження на опори розподіляється нерівномірно: воно більше для опори, яка розміщена ближче до центру мас балки.

Як відзначалося вище, сумарний момент сил можна визначити і відносно іншої точки, зокрема,

 

 

 

відносно точки прикладання однієї із сил, наприклад, сили F1 . Тоді відповідне скалярне рівняння моментів

набирає вигляду

l1mg (l1

l2 )F2 0 , звідки зразу можна визначити модуль сили F2 . Для відшукання

 

F1 можна

 

модуля сили

записати рівняння моментів відносно точки прикладання сили F2 :

(l1 l2 )F1 l2mg 0 .

Якщо виявиться, що для підтримання балки двох опор замало (величина однієї або обох знайдених сил перевищує припустиму для опори величину), то балку можна підперти третьою опорою. Але на відміну від попереднього випадку, розрахувати сили, що прикладені до трьох опор, розглядаючи балку як абсолютно тверде тіло, у цьому випадку неможливо, оскільки ми прийдемо до системи двох рівнянь з трьома невідомими, наприклад,

F F

F

mg

 

1 2

3

.

(6.11)

l1F1 l3 F3 l2 F2

 

218

Така задача може бути розв’язана методами технічної дисципліни, яка називається «Опір матеріалів»,

при врахуванні механічних напруг і деформацій, що виникають у твердому тілі, відносно характеру яких роблять певні більш або менш обґрунтовані припущення1.

6.3. Зв’язок між власним моментом імпульсу абсолютно твердого тіла та вектором

кутової швидкості, тензор інерції

При обчисленні власного моменту імпульсу абсолютно твердого тіла будемо розглядати його як сукупність малих елементів, кожен із яких можна розглядати як матеріальну точку, що має

масу

m

 

і положення якої відносно центру мас тіла визначається радіус-вектором

 

2

. При

i

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

цьому mi

M , де M маса абсолютно твердого тіла.

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тоді за означенням

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

[ri ( mi ri )] .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Виконаємо

деякі

алгебраїчні

перетворення

в правій частині

останньої

 

рівності

використовуючи

зв’язок

між

векторами

лінійної

та

кутової швидкостей

 

 

 

 

і

відому

r

[ r ]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

формулу векторної алгебри [a[b

c]] b (a

c) c(a b ) :

 

 

 

 

 

 

~

n

 

 

 

 

 

n

 

L

[ri

(mi ri

)]

mi [ri

 

i 1

 

 

 

 

 

i 1

 

~

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

mi [ri

2

ri

(ri

)] .

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

ri

] mi [ri

[ ri

]] mi [ri

2

ri

(ri

)] ,

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

(6.12)

i 1

Звекторного рівняння (6.12) можна отримати 3 рівняння для проекцій вектора власного

~

моменту імпульсу на осі деякої декартової системи координат. Для компоненти Lx маємо

~

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

mi

[ x ri

2

xi

(xi x

yi y

zi z )]

2

2

2

2

xi yi y xi zi z )]

Lx

 

mi [ x (xi

yi

zi

) xi x

 

i 1

 

 

 

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

x

mi ( yi2 zi2 ) y mi xi yi

z mi xi zi .

 

 

 

(6.13)

 

i 1

 

 

 

 

i 1

 

i 1

 

 

 

 

 

1Всесвітньо визнаним авторитетом в цій галузі був професор Степан Тимошенко (1878-1972), який працював в Україні, Росії та США.

2У цьому розділі ми не будемо спеціально позначати величини визначені в СЦМ знаком «тильда», за винятком тих випадків, коли це необхідно, щоб відрізнити їх від величин визначених в інших системах відліку.

219

~ ~

Аналогічно обчислюються компоненти Ly та Lz .

Отже, компоненти вектора власного моменту імпульсу абсолютно твердого тіла можна подати у вигляді

~

n

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

2

 

2

) y mi xi yi

z mi xi zi

 

 

 

 

Lx

x mi ( yi

zi

 

 

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

~

n

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

x mi yi xi

 

2

 

2

) z mi yi zi

 

 

 

 

Ly

y mi (xi

zi

 

 

(6.14)

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

~

n

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

x mi zi xi

y mi zi yi

z

2

2

)

 

 

 

Lz

mi (xi

yi

 

 

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

~

~

 

Формули (6.14) встановлюють лінійний зв’язок між трьома компонентами Lx

, Ly

, Lz

вектора

моменту імпульсу абсолютно твердого тіла та трьома компонентами x , y , z вектора його кутової швидкості. Цей зв’язок стає більш прозорим, якщо формули (6.14) записати у вигляді

~

I xx x I xy y I xz z

 

Lx

 

~

I yx x I yy y I yz z ,

 

Ly

(6.15)

~

I zx x I zy y I zz z

 

Lz

 

де впорядкований набір з 9 величин I

однозначно визначає вектор моменту імпульсу

абсолютно твердого тіла через вектор його кутової швидкості.

Впорядкований набір із 9 величин I , що залежать від розподілу мас в абсолютно твердому

тілі, визначає в обраній системі координат так званий тензор інерції абсолютно твердого тіла.

Величини I називають компонентами тензора інерції.

Їх зручно записувати у вигляді матриці 33

 

 

 

 

n

 

 

I xx

I xy

I xz

mi ( yi2 zi2 )

i 1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

[I ] I yx

I yy

I yz

 

mi yi xi

 

 

 

 

 

i 1

 

I zx

I zy

I zz

 

n

m z x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i i i

 

 

 

 

 

i 1

 

n

mi xi yi

i 1

n

mi (xi2 zi2 )

i 1

n

mi zi yi

i 1

 

n

 

 

 

mi xi zi

 

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

mi yi zi

(6.16)

 

 

i 1

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

m (x2

y2 )

 

i i

i

 

 

i 1

 

 

 

 

220

Компоненти I xx , I yy , I zz називають осьовими компонентами тензора інерції, інші

неосьовими.

Поняття тензора є більш складним ніж поняття вектора, але спираючись на наші знання про вектори можна скласти правильне уявлення про тензори на прикладі тензора інерції, який виник при обчисленні власного моменту імпульсу абсолютно твердого тіла. Необхідно підкреслити, що

тензор, так само як і вектор, є так званим геометричним об’єктом, тобто таким, що існує незалежно від того, чи запроваджено якусь координатну систему (шляхом побудови відповідного векторного базису), чи ні. Якщо ж систему координат задано, то можуть бути обчислені компоненти тензора в цій системі координат. Як видно з матриці (6.16) не всі компоненти тензора інерції є незалежними, оскільки матриця симетрична відносно головної діагоналі, тобто має місце

співвідношення I I . Це зменшує кількість незалежних компонент тензора інерції з 9 до 6.

Такі тензори називаються симетричними. У кожній системі координат тензор однозначно визначається деяким набором своїх компонент. Компоненти цього самого тензора обчислені в іншій системі координат у загальному випадку будуть іншими. Ця властивість є цілком тотожною властивості одного й того ж самого вектора мати різні координати в різних координатних системах, або, іншими словами, різні величини проекцій на вектори різних базисів, яка обговорювалась наприкінці підрозділу 2.1.2 (передостанній абзац). Там же пояснено, як обрати таку систему координат (базисних векторів), при якій всі проекції деякого вектора, крім однієї,

перетворяться на нуль: для цього достатньо спрямувати паралельно вектору одну з координатних осей. Цілком аналогічно, відповідним одночасним вибором орієнтації всіх трьох осей системи координат можна всі недіагональні компоненти симетричного тензора другого рангу3, яким є

3

Ранг тензора визначається числом r , яке задає кількість n компонент тензора в тривимірному просторі за формулою

 

 

n 3r . Відповідно до цього при r =0 маємо тензор нульового рангу, відомий як скаляр, що визначається одним числом

 

( n =1), яке не залежить від вибору системи координат (є інваріантом). При r =1 маємо тензор першого рангу, відомий як

 

вектор, що визначається трьома числами ( n =3) (координатами, компонентами, проекціями вектора), кожне з яких може

 

змінюватись при зміні орієнтації системи координат, але сума їх квадратів (квадрат довжини вектора) є інваріантом, при

 

цьому можна знайти 3 такі різні системи координат, в кожній з яких лише одна компонента відмінна від нуля. При r =2

 

маємо тензор 2-го рангу, що визначається 9-ма числами ( n =9) (координатами, компонентами тензора), кожне з яких

 

може змінюватись при зміні орієнтації системи координат, але при цьому існує 3 інваріанти, побудовані з його

 

компонент. Симетричний тензор другого рангу має лише 6 незалежних компонент, причому існує лише одна єдина

 

система координат, у якій усі недіагональні компоненти такого тензора дорівнюють нулю.

221

тензор інерції, перетворити на нуль. Система координат, у якій матриця компонент симетричного тензора 2-го рангу набуває діагонального вигляду, називається головною або власною системою координат цього тензора.

 

 

I1

0

0

 

 

 

[I

 

]

0

I

 

0

 

,

(6.17)

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

I

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де I1 , I2 , I3 так звані головні моменти інерції абсолютно твердого тіла. Вони визначають

інерційні властивості абсолютно твердого тіла щодо обертання навколо осей, що співпадають з головними осями тензора інерції. Дійсно, в головній системі координат тензора інерції система рівнянь (6.15) набуває вигляду

~

 

I1 x

 

 

 

 

Lx

 

 

 

 

 

~

 

I2 y ,

 

 

 

 

Ly

 

 

 

 

(6.18)

~

 

I3 z

 

 

 

 

Lz

 

 

 

 

 

а рівняння динаміки обертового руху, записане в проекціях на осі головної системи

координат

 

 

 

 

 

I

 

d x

 

M

 

 

 

 

1

 

dt

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

d y

M

 

.

 

(6.19)

2

 

dt

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I

 

 

d z

 

M

 

 

 

 

3

 

dt

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже,

кожна компонента кутового прискорення

 

визначається як відповідною

 

 

 

 

 

 

 

 

 

компонентою моменту зовнішніх сил M , так і відповідним головним моментом інерції

абсолютно твердого тіла I , причому, чим більший головний момент інерції, тим менше кутове

прискорення при незмінній компоненті моменту зовнішніх сил M . Таким чином, головний

момент інерції в рівнянні I M відіграє ту саму роль, що й маса тіла m у рівнянні динаміки

поступального руху ma F , тобто він є мірою інертності тіла щодо обертання навколо осі.

У загальному випадку тверде тіло може бути неоднорідним, тобто його густина може

змінюватись від точки до точки, (x, y, z) . Тоді при обчисленні компонент тензора інерції

222

необхідно від сумування перейти до інтегрування по всьому об’єму абсолютно твердого тіла.

Загальну формулу для обчислення компонент тензора інерції можна подати в такому компактному вигляді

I (r2 r r )dV ,

 

 

 

(6.20)

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

де

(x, y, z) густина

тіла,

 

 

x

r радіус-вектор, , 1,2,3 , причому координаті

відповідає 1, координаті

y відповідає 2, координаті z відповідає 3; r

та r відповідні

 

 

 

 

 

;

 

так званий символ Кронекера,

 

координати радіус-вектора r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, якщо

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

(6.21)

 

 

0, якщо

 

 

 

 

 

 

На підставі вищевикладеного можна дати таке означення тензора інерції:

Тензором інерції називається тензорна фізична величина, що характеризує інерційні властивості твердого тіла щодо обертання, і яка в кожній системі координат визначається дев’ятьма скалярними величинами (компонентами тензора інерції або моментами інерції

твердого тіла), які залежать від розподілу мас у твердому тілі і в кожній декартовій системі координат визначаються формулою

I (r 2 r r )dV

 

 

 

(6.22)

V

 

 

 

 

 

 

 

 

, 1,2,3 , причому координаті x

де (x, y, z) густина тіла, r радіус-вектор,

відповідає 1, координаті y відповідає 2, координаті z

відповідає 3; r та r відповідні

 

 

 

символ Кронекера, що приймає значення 1 при

координати радіус-вектора r ;

 

 

 

 

 

та 0 при .

Формули (6.15) можна подати у більш компактному координатному вигляді

~

 

3

 

 

I ,

, 1,2,3

 

L

(6.23)

 

1

 

 

або в найбільш компактному й самому загальному, так званому безкоординатному, вигляді,

 

 

 

 

 

~

ˆ

 

(6.24)

L

I

,

 

де

ˆ

 

 

ˆ

I означає тензор інерції. Відповідно до цього рівняння

I можна розглядати як оператор,

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]