ТФДП

Введение

Начало XX века было великой эпохой в истории математики. Многие из современных направлений математики родились или оформились именно в это время.

Слово "топология"относят ныне к двум разделам математики. И изначально для каждого из них имелись свои определения при слове "топология."Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, называли долгое время комбинаторной, за другой (у истоков ее были исследования Кантора) закрепилось название общей или теоретико - множественной.

Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики (в соответствии с планировкой этой науки, которая была намечена последователями Кантора - Д. Гильбертом, Г. Вейлем и др. ). Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как "предел "сходимость "непрерывность"и т.п. Основы общей топологии в XX веке были заложены немецким математиком

Хаусдорфом, польским математиком Куратовским, знаменитым представителем московской школы П.С.Александровым и другими.

В начале XX века Лебег завершил посроение теории меры и интегрирования. В XIX веке вслед за Коши и Риманом интеграл понимали как предел римановых сумм. Лебег же предложил другой подход. Основная идея построения интеграла Лебега состоит втом, что в отличие от интеграла Римана, точки x группируются не по признаку их близости на оси x, а по признаку близости значений функции в этих точках. Но множества на оси абсцисс, для которых значения функции попадают в некоторый промежуток у достаточно сложных функций могут быть усроены весьма причудливо и для построения теории интегрирования необходимо было в первую очередь построить теорию меры, то есть научиться измерять такие множества. Это было сделано Борелем и Лебегом. На базе новой теории меры родилось новое направление в теории функций метрическая теория функций.

Трансформировалась и теория множеств. У истоков нового направления стояли три французских ученых Борель, Бэр и Лебег. Они заложили основания дескриптивной теории множеств теории числовых множеств, где стали изучать строение сложных, причудливо устроенных множеств.

Одним из важнейших событий развития математики происходившего в период от начала века до первой мировой войны было рождение

3

функционального анализа, линейной агебры и геометрии.

Сущность функционального анализа состоит в том, что ряд понятий и методов из элементарных глав математического анализа и смежных областей алгебры и геометрии (таких как функциональная зависимость, предельный переход, близость, расстояния, которые явно или неявно и в разных формах используются в этих теориях ) переносятся на объекты более общей и более сложной природы, причем широко используются геометрические и алгебраическик методы. Такое перенесение, связанное с обобщением основных понятий анализа, позволяет с единой точки зрения подходить к вопросам ранее рассматривавшимся изолированно в специальных математических дисциплинах, устанавливать связи между, казалось бы, далекими математическими теориями и, тем самым, способствовать открытию новых математических фактов (достаточно указать на ряд теорем существования решений дифференциальных, интегральных и иных уравнений, полученных методами функционального анализа).

Характерным для функционального анализа является не только обобщение, но и геометризация основных понятий и методов классического анализа. Функции тех или иных классов рассматриваются как точки или векторы "функциональных пространств". Такое рассмотрение потребовало обобщение геометрических понятий - бесконечномерных евклидовых, векторных и других пространств. Это привело, в конце концов, к созданию общих понятий метрических, линейных нормированных, топологических пространств, охватывающих как ранее рассматривающиеся геометрические объекты, так и разные функциональные пространства.

Развившись в большую самостоятельную математическую дисциплину, функциональный анализ и поныне продолжает ассимилировать и обобщать методы других, уже более новых математических дисциплин.

4

§1. Элементы теории множеств

1.1. Множества и операции над ними.

Понятие множества, операции над множествами и их свойства изучаются в курсе математического анализа. В этом пункте кратко напомним основные понятия и утверждения это раздела математики.

Понятие множества является исходным понятием современной математики (такие как понятие точка, прямая, плоскость), которое не имеет точного определения, а задается интуитивно как любое собрание определенных и различимых между собой объектов, мыслимое как единое целое (Г. Кантор). Эти объекты, задающие множество, называются элементами множества.

Примерами множеств являются

множество студентов в данной аудитории;

множество натуральных чисел;

множество точек поскости.

Множества будем обозначать заглавными буквами A; B; C; : : : ; а их

элементы строчными буквами a; b; c; : : :.

Напомним символы терии множеств, которые будут использоваться

вдальнейшем:

a 2 A означает, что a является элементом множества A;

a 2= A a не является элементом A;

A B означает, что каждый элемент множества A является элементов множества B; другими словами, A является подмножеством

B;

A = B означает, что A B и B A, т.е. A и B состоят из одних и тех же элементов, т.е. совпадают;

означает пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента.

Пример. Если A = f2; 3g, а B множество корней уравнения x2

5x + 6 = 0; то A = B.

Рассмотри основные операции над множествами.

5

На рисунке 1 заштрихованно объединение множеств A и B, на рисунке 2 пересечение множеств A и B, на рисунке 3 заштрихованно дизъюнктивное объединение непересекающихся множеств A и B.

Аналогично определяется объединение и пересечения любого (конечного или бесконечного) семейства множеств: если задано семейство множеств fA g, где индекс пробегает некоторое множество T , то

S

1) C = A есть множество элементов принадлежащих хотя бы одному

множеству A ;

T

2) C = A множество элементов, принадлежащих одновременно

всем множествам A ;

`

3) C = A означает, что 8 ; 2 T таких, что 6= выполняется

TS

A A = и C = A , т.е. так задаётся дизъюнктивное объединение.

Свойства операций объединения и пересечения множеств:

коммутативность

[ [ \ \

A B = B A; A B = B A;

ассоциативность

[ [ [ [ \ \ \ \

(A B) C = A (B C); (A B) C = A (B C);

взаимная дистрибутивность

[\ \ [ \

(A B) C = (A C) (B C);

\[ [ \ [

(A B) C = (A C) (B C):

Упражнение. Доказать свойства дистрибутивности.

Определим для множеств операцию вычитания. Назовем разностью C = A n B множество тех элементов из A, которые не содержатся в B.

6

На рисунке 4 заштриховано множество элементов из A, которые не содержатся в B.

Иногда (например, в теории меры) удобно рассматривать так называемую симметрическую разность множеств A и B, которая определяется как объединение разностей A n B и B n A и обозначается

A B = (A n B) S(B n A).

На рисунке 5 заштрихована симметрическая разность множеств A

и B.

S T

Упражнение. Показать, что A B = (A B) n (B A).

Часто приходится изучать ситуации, когда все рассматриваемые множества являются подмножествами одного и того же основного множества , которое в этом случае называется универсумом. В этом случае разность n A называется дополнением множества A и обозначается CA.

В теории множеств и в ее приложениях важную роль играет так называемый принцип двойственности, который основан на законах де Моргана, формулирующихся следующим образом. Пусть fA g некоторое семейство подмножеств множества . Тогда 1) дополнение объединения равно пересечению дополнений

[\

2)Дополнение пересечения равно объединению дополнений:

[\

Обратно, пусть x 2 T( n A ) ) x 2 n A для 8 ) fx 2 ; x 2=

SS

A ; 8 g ) fx 2 ; x 2= A g ) x 2 n A : Итак,

\[

7

Из (1.3) и (1.4) ) (1:1).

Принцип двойственности состоит в следующем: если в некотором равенстве, связывающем подмножества данного универсума, заменить

верное равенство. Новое равенство называется двойственным по отношению к заданному.

Пример (задача Льюиса Керролла). В одном жестоком бою из 100 пиратов 70 потеряли ногу, 75 руку, 80 глаз, 85 ухо. Доказать, что как минимум 10 человек потеряли и руку, и ногу, и глаз, и ухо.

Решение. Обозначим через A множество пиратов, потерявших ногу, B потерявших руку, D глаз, E ухо. Тогда необходимо найти

элементов, CD 20 и в CE 15 элементов. Таким образом, в множестве CM не более чем 30+25+20+15=90 элементов. Следовательно, в самом множестве M не менее, чем 10 элементов.

1.2. Отображение множеств. Эквивалентные множества.

Пусть U; V два множества, составленные из элементов любой природы.

Определение 1.1. Если каждому элементу u 2 U по некоторому правилу ставится в соответствие единственный, вполне определенный элемент v 2 V , и обратно, в силу того же самого правила, каждому элементу v0 2 V соответствует единственный элемент u0 2 U, то говорят, что между элементами множеств U и V установлено взаимнооднозначное отображение или биекция.

Если для обозначения установленного соответствия использовать запись f : U ! V , то элемент v 2 V , отвечающий элементу u 2 U обозначается v = f(u) и называется образом u при отображении f. В силу взаимной однозначности f для каждого v 2 V существует единственный u 2 U, образом которого он является. Поэтому определено обратное к f отображение, обозначаемое f 1, и u = f 1(v) прообраз v.

Определение 1.2. Если между элементами двух различных множеств U и V можно установит биекцию хотя бы по одному какому либо закону, то эти множества называются эквивалентными.

Обозначение. Если U эквивалентно V , то пишут U V .

8

Понятие эквивалентности применимо к множествам произвольной природы. Легко видеть, что два конечных множества U и V эквивалентны между собой тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое число элементов. Несколько по другому происходит для бесконечных множеств. Приведем несколько примеров.

Примеры эквивалентных множеств.

1.Множество натуральных чисел эквивалентно множеству всех четных чисел, так как каждому натуральному числу n соответствует только одно четное число 2n, в два раза большее, чем n, и каждому четному числу соответствует его половина, являющаяся натуральным числом.

Вэтом примере показано, что бесконечное множество N эквивалентно своей части.

2.Множество всех натуральных чисел эквивалентно множеству всех целых чисел. Законом соответствия является соотношение

y = ( 1)x hx2i;

где x натуральное число, y целое число, x2 целая часть числа x2 .

3. Множество точек x отрезка [a; b] эквивалентно множеству точек y любого другого отрезка [c; d]. Закон соответствия

d c

y = b a(x a) + c:

Упражнение.Установить геометрический смысл этой формулы.

4. Множество точек интервала (0; 1) эквивалентно множеству точек на всей прямой. Закон соответствия

y = 1 arctan x + 12:

Упражнение. Пояснить приведенную формулу.

5. Множество точек сферы эквивалентно множеству точек расширенной комплексной плоскости. Соответствие устанавливается с помощью стереографичес проекции.

Легко видеть, что из определения эквивалентности вытекают следующие свойства:

1) Рефлексивность: U U.

В качестве биекции берется тождественное отображение f(u) = u.

9

2)Симметричность: если U V , то V U.

3)Транзитивность: если U V и V W , то U W .

Докажем симметричность. Если U V , то 9 биекция f : U ! V , то есть для 8u 2 U есть образ v 2 V : v = f(u). При этом 8v 2 V является образом некоторого u 2 U; причем единственного. Тогда можно задать обратное отображение: u = f 1(v) , v = f(u): Имеем f 1 : V ! U; при этом f 1 – тоже биекция. Следовательно, V U:

Упражнение. Доказать транзитивность эквивалентности множеств.

Для бесконечных множеств понятие эквивалентности заменяет наличие одинакогого количества элементов, которое было существенным для конечных множеств.

1.3. Счетные множества и их свойства.

Определение 1.3. Множество A называется счетным, если оно эквивалентно множеству N = f1; 2; 3; : : :g всех натуральных чисел.

Примеры счетных множеств.

1. Множество 2N всех четных натуральных чисел является счетным. Действительно, 2N = f2; 4; 6; : : :g и биекция устанавливается по

правилу: n 2 N $ 2n 2 2N:

2. Множество целых чисел Z является счетным, так как Z N (см. пример из п. 1.2). Биекция устанавливается следующей таблицей.

Свойства счетных множеств.

1). Всякое бесконечное подмножество счетного множества счетно. Доказательство. Пусть множество A = fa1; a2; a3; : : :g счетное и

B A бесконечное множество. Те элементы A, которые попали в B, будут иметь некоторые номера в порядке возрастания: ank . Необходимая биекция, показывающая, что B является счетным множеством, задается в виде ank $ k.

2). Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

Доказательство. Пусть M бесконечное множество. Выберем элемент a1 2 M. Tак как M бесконечное, то 9 a2 2 M : a2 6= a1: Далее, 9 a3 2 M : a3 6= a1; a3 6= a2; и т.д. В результате выделим

10

A = fa1; a2; a3; : : :g, являющееся счетным и A M.

3). Объединение конечного или счетного множества счетных множеств является счетным множеством.

Доказательство. Рассмотрим счетное объединение счетных множеств (случай конечного является частным). Пусть An счетные множества для любого n 2 N. Можно считать, что они попарно непересекаются, так как иначе вместо них можно рассмотреть множества A1; A2 nA1; A3 n (A1 [A2); : : : , каждое из которых не более чем счетно и они имеют то же

на N, т.е. указать номер каждого элемента из A. Для этого запишем элементы множеств An как последовательности ank с двумя индексами, где первый указывает номер множества, а второй номер элемента в множестве: A1 = fa11; a12; a13; a14; : : :g, A2 = fa21; a22; a23; a24; : : :g, A3 = fa31; a32; a33; a34; : : :g, : : :.

Высотой элемента ank множества An назовем число n+k. Перепишем элементы множества A, располагая все его элементы по следующему правилу: сперва перепишем все элементы высоты 2, затем высоты 3, 4 и т.д. Получим A = fa11; a12; a21; a13; a22; a31; a14; a23; a32; a41; : : :g. Ясно, что это биекция: каждый элемент aij получил вполне определенный номер и каждый номер отвечает некоторому элементу.

Замечание. Обход всех элементов множеств An можно иллюстративно изобразить с помощью следующей схемы.

4). Если к бесконечному множеству M добавить конечное или

S

счетное множество новых элементов A, то A M M:

Доказательство. Выделим из M счетное подмножество D (по

11

S

Пример. Множество Q всех рациональных чисел счетно. Доказательство. Пусть Q+ множество положительных рациональных

q счетное (оно эквивалентно подмножеству натуральных чисел, не

имеющих с q общих множителей; это подмножество бесконечно, а значит и счетно по свойству 1). Но знаменатель q принимает счетное множество значений: q = 1; 2; 3; : : : : Следовательно Q+ счетное, как объединение счетного множества счетных множеств (свойство 3). Множество Q отрицательных рациональных чисел эквивалентно Q+, т.е. тоже счетно (биекция pq 2 Q+ $ pq 2 Q ). Но тогда счетно Q0 = Q+ SQ

множество рациональных чисел, не равных нулю (свойство 3). Наконец Q = Q0 Sf0g эквивалентно Q0 (свойство 4), т.е. Q тоже счетно.

Вопрос. Существует ли несчетные бесконечные множества, элементы которых нельзя занумеровать?

Теорема. Множество действительных чисел на интервале (0,1) несчетно.

Доказательство (диагональный метод Кантора). Доказательство от противного. Предположим, что это множество счетное. Тогда все точки можно записать в виде последовательности

0; a11a12a13a14 : : :

0; a21a22a23a24 : : :

0; a31a32a33a34 : : :

0; a41a42a43a44 : : :

: : : : : : : : : : : : : : :

Покажем, что в действительности здесь записаны не все числа интервала (0; 1). Построим число 0; a1a2a3a4 : : : по правилу ak 6= akk. Это всегда можно сделать. Но тогда построенное число входит в интервал (0; 1) и

12