ТФДП

чисел:

l1; l2; : : : ; lk; : : : ; L1; L2; : : : ; Lk; : : : :

Первая из них называется верхней последовательностью Жордана, а вторая нижней. Первая последовательность Жордана монотонная, невозрастающая и ограниченая снизу любым числом, входящим в нижнюю последовательность, а нижняя последовательность неубывающая и ограничена сверху любым числом верхней последовательности. Поэтому обе последовательности имеют предел.

Определение 4.1. Предел верхней последовательности Жордана, составленной для множества E, называется внешней мерой множества E по Жордану и обозначается mes E, предел нижней последовательностивнутренней мерой E по Жордану и обозначается mes E. Если внутреняя и внешняя мера по Жордану множества E совпадают, то множество E называется измеримым по Жордану и общее значение его внутренней и внешней меры по Жордану mesE = mes E = mes E

называется мерой множества E по Жордану.

Замечание 1. На каждом шаге можно делить отрезок на любое число сегментов.

Примеры (вычисления Жордановой меры множеств).

1. Вычислим длину канторова множества. Легко видеть, что l0 = 0; L0 = 1. Разделим отрезок [0; 1] на 3 части и назовем их сегментами первого

множество Po измеримо по Жордану и mesPo = 0.

2. Вычислим Жорданову меру множества всех рациональных точек отрезка [0; 1]. Действуя по аналогии, получим

L0 = 1; L1 = 1; : : : ; Lk = 1; : : :

l0 = 0; l1 = 0; : : : ; lk = 0; : : :

33

Так как lim Lk 6= lim lk, то множество рациональных точек отрезка [0; 1] не измеримо по Жордану.

3. Множество иррациональных точек отрезка неизмеримо по Жордану.

Для множеств, измеримых по Жордану, справедливы следующие свойства:

10) если E1 E2 и E1; E2 – измеримы по Жордану, то mesE1 mesE2; 20) если E1; E2 – измеримы по Жордану, то измеримы множества

TS

E1 E2; E1 n E2; E1 E2;

30) если E1; E2 – измеримы по Жордану и не имеют общих внутренних

S

точек, то mes(E1 E2) = mesE1 + mesE2.

Следствие 1. Если множество E состоит из конечного числа измеримых по Жордану частей, не имеющих попарно общих внутренних точек, то мера множества E равна сумме мер его частей (свойство аддитивности меры Жордана).

Следствие 2. Если E1 и E2 – измеримы и если E1 E2, то mes(E2 E1) = mesE2 mesE1.

Доказательства этих свойств можно провести, исходя из определения. Замечание 2. Из измеримости по Жордану суммы множеств не

следует измеримость слагаемых.

Действительно, [0;1] – измерим, а множества рациональных и иррациональных чисел отрезка неизмеримы.

Замечание 3. Измеримость суммы непересекающихся измеримых слагаемых не распростаняется на счетное число, т.е. мера Жордана не обладает свойством счетной аддитивности. Действительно, множество, состоящее из одной точки, измеримо, а множество рациональных точек отрезка (счетное множество) неизмеримо.

Введем теперь меру линейного множества по-другому. Пусть попрежнему множество E лежит внути сегмента S = [0; 1]: Его точки можно различными способами покрыть конечной или счетной системой интервалов

X inf :

34

Определение 4.2. Это нижняя грань, зависящая лишь от множества E, называется внешней мерой множества E и обозначается E.

Из определения внешней меры следует, что 8" > 0 можно найти такое покрытие 1; 2; : : : ; k; : : : множества E, что

X

E < E + ": (4:1)

Определение 4.3. Внутренней мерой E множества E называется

разность между длиной сегмента S и внешней мерой дополнительного

множества, т.е.

E = 1 (S n E):

Очевидно, выполняются следующие свойства.

10: E 0; E 0.

Действительно, E 0, так как это нижняя грань положительных

P

величин ; E 0, т.к.

S n E S ) (S n E) 1:

20: E E, т.е. внутренняя мера множества E не может быть больше его внешней меры.

Действительно, из (4.1) )

X

< E + "

и

X

< (S n E) + ";

P

где – сумма длин интервалов, покрывающих множество S n E. Складывая неравенства, получим

XX

+ < (E) + (S n E) + 2":

следует

(E) + (S n E) + 2" > 1

) (E) > 1 (S n E) 2" ) (E) 1 (S n E) = (E):

Определение 4.4. Если внешняя и внутренняя мера множества E равны, то множество E называется измеримым по Лебегу, или, короче, просто измеримым и (E) = (E) = (E) - мера множества E по Лебегу.

35

Из определения вытекает, что из измеримости одного из множеств E или S n E,следует измеримость другого.

Действительно, если E измеримо, то

Примеры (множеств, измеримых по Лебегу).

1) Всякое множество, внешняя мера которого не больше нуля, измеримо.

Действительно, с одной стороны, (E) 0 (доказано ранее). С

другой, (E) 0 ) (E) = 0; но (E) 0; (E) (E) = 0 )(E) = (E) = 0.

2) Всякое множество, состоящее из конечного числа точек, измеримо.

Действительность, E состоит из N точек. Покроем каждую точку

интервалом длины " ) (E) "; 8" ) (E) = 0 ) (E) = 0 ) множество E измеримо и имеет меру нуль.

3)Пустое множество измеримо и его мера равна 0.

4)Всякое множество E, состоящее из счетного числа точек, измеримо.

Действительно, покроем его интервалами длины 2" ; 4" ; : : : ; 2"n ; : : : :

Сумма их длин равна " ) (E) ".

5)Множество рациональных точек сегмента [0; 1] измеримо. Действительно, это следует из того, что множество рациональных

точек счетно.

6)Множество иррациональных точек [0; 1] измеримо и его мера равна 1.

7)Всякое открытое множество на прямой измеримо. Действительно, оно есть сумма конечного или счетного числа

открытых интервалов, которые попарно не пересекаются. Его мера есть сумма длин этих интервалов.

36

8)Любое замкнутое множество на прямой измеримо. Действительно, S n F открыто ) измеримо ) F измеримо.

9)Канторово множество измеримо как замкнутое множество.

Приведенные примеры показывают, что класс множеств, измеримых по Лебегу, шире класса множеств, измеримых по Жордану. Более того, можно показать, что любое множество, измеримое по Жордану, измеримо и по Лебегу, и меры Жордана и Лебега совпадают.

Действительно, пусть E измеримо по Жордану и пусть E [0; 1]. Тогда SnE измеримо по Жордану. Внешняя Жорданова мера множества E это нижняя грань множества суммарных длин конечной системы интервалов, включающих E. Поэтому

mes E E:

С другой стороны

mes E = 1 mes (S n E) 1 (S n E) = E;

т.е.

mes (E) (E) (E) mes (E);

так как

mes (E) = mes (E) )

мера Жордана и Лебега совпадают.

4.2. Мера Лебега произвольного множества из RN .

Для любого N теория меры строится по одному и тому же образцу: исходя из меры, определенной заранее для некоторой системы простейших множеств (интервалов (a; b) для прямой, прямоугольников в случае плоскости и.т.д.) мы определяем вначале меру для конечных объединений таких множеств, а затем распространяем на более широкий класс множеств на множества, измеримые по Лебегу.

Далее рассуждения, проведенные для N = 1, проведем для N = 2: Рассмотрим на плоскости (x; y) множество прямоугольников (открытых, замкнутых или полуоткрытых), определяемых неравенствами вида:

(Здесь любой знак < можно заменить на знак .)

Для прямоугольников определим меру в соответствии с известным из элементарной геометрии понятием площади:

37

1) мера пустого множества равна нулю, 2)мера непустого прямоугольника, определяемого неравенствами (4.1), равна (b a) (c d).

Таким образом, каждому прямоугольнику (4.6) поставлено в соответствие число ( ) мера прямоугольника:

1) ( ) 2 R и ( ) 0;

n

`

2) мера ( ) аддитивна, т.е. если = k, то

k=1

n

X

( ) = ( k):

k=1

Распространим теперь меру на так называемые элементарные множества.

Определение 4.5. Назовем множество элементарным, если его можно представить хотя бы одним способом как объединение конечного числа попарно непересекающихся прямоугольников.

Теорема 1. Объединение, пересечение, разность и симметрическая разность двух элементарных множеств также является элементарным множеством.

k;l

множество.

Аналогично, 1 n 2 элементарное множество. Следовательно, разность прямоугольника и элементарного множества есть элементарное множество.

Пусть теперь прямоугольник, содержащий элементарные множества A и B. Тогда

[ \

A B = n [( n A) ( n B)]

элементарное множество по сказанному выше. Тогда из равенств

\

A n B = A ( n B)

[ \

A4B = (A B) n (A B)

следует, что разность и симметрическая разность элементарных множеств является элементарным множеством. Что и требовалось доказать.

38

Естественным является определение меры 0 элементарного множества

Покажем, что 0(A) не зависит от способа представления множества

F

A в виде объединения прямоугольников. Действительно, пусть A = k

k

FT

и A = l: Так как k l прямоугольник, то

l

XX X \ X

( k) = ( k l) = ( l):

Легко видеть, что мера элементарных множеств, определенная выше, является неотрицательной и аддитивной.

Следующая теорема необходима для дальнейшего изложения.

Теорема 2. Если A элементарное множество и fAng конечная или счетная система элементарных множеств такая, что

[

A An;

n

n

Доказательство. Для 8" > 0 можно найти замкнутое элементарное множество A : A A и

0(A) 0(A) 2"

(для этого каждый из прямоугольников k надо заменить на целиком лежащий в нем замкнутый прямоугольник с площадью большей, чем( k) 2"k ): Далее, для каждого An можно построить открытое элементарное множество Aen An и

0(Aen) 0(An) + 2n"+1 :

Ясно, что

[

A Aen:

n

39

По теореме 7 из §3 (теорема Бореля: из любого открытого покрытия компакта можно выбрать конечное подпокрытие) из семейства fAeng

откуда в силу произвольности " вытекает (4.7).

Свойство меры 0, устанавливаемое теоремой 2 (мера множества не превосходит суммы мер покрывающих его множеств) называется полуаддитивностью. Из него вытекает свойство так называемой счетной аддитивности или -аддитивности, состоящее в следующем: пусть

элементарное множество представлено как сумма счетного числа непересекающихс элементарных множеств An:

1

G

A = An:

n=1

Тогда его мера

1

0(A) = X 0(An):

n=1

Действительно, в силу аддитивности, для любого N имеем

1

0(A) X 0(An):

n=1

Вместе с (4.7) получаем -аддитивность меры 0.

Теперь расмотрим произвольное множество на плоскости. Для простоты будем считать, что множество целиком лежит в квадрате

E = f(x; y)j0 x 1; 0 y 1g:

40

Определение 4.6. Внешней мерой (A) множества A называется число

где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества A конечными или счетными системами прямоугольников.

Определение 4.7. Внутренней мерой (A) множества A называется

число

(A) = 1 (E n A):

Покажем, что всегда выполняется неравенство:

(A) (A):

Пусть для некоторого A

(A) > (A);

т.е.

(A) + (E n A) < 1:

Тогда по определению inf (нижней грани) можно найти такие системы прямоугольников f kg и f lg; покрывающие A и E n A соответственно, что

XX

Тогда объединение систем дает покрытие всего E, но (E) больше меры покрытия, что противоречит теореме 2.

Определение 4.8. Множество A называется измеримым по Лебегу, если (A) = (A): Соответствующее значение (A) называется

лебеговой мерой A:

Теорема 3. Если множество A такое, что

[

A (An);

n

где An конечная или счетная система множеств, то

X

(A) (An):

n

41

Доказательство. По определению верхней меры, для любого An существует система прямоугольников nk (конечная или счетная), что

В силу произвольности получаем доказательство теоремы 3.

Теорема 4. Элементарные множества измеримы, и для них мера Лебега (A) совпадает с введенной выше мерой 0(A).

Доказательство. Если A элементарное множество и 1; : : : ; kсоставляющие его прямоугольники, то по определению

k

0(A) = X ( i):

i=1

Так как i покрывают все A, то (A) P ( i) = 0(A): Но если

i

f jg произвольная конечная или счетная система прямоугольников, покрывающая A, то в силу теоремы 2, 0(A) P ( j); откуда переходя

j

к inf, получаем 0(A) (A). Поэтому 0(A) = (A):

Так как E n A также является элементарным множеством, то

0(E n A) = (E n A):

Но

0(E n A) = 1 0(A); (E n A) = 1 (A);

откуда следует 0(A) = (A): Следовательно, 0(A) = (A) = (A); что и требовалось доказать.

Замечание. Иногда в литературе используют другое, более наглядное определение измеримости. А именно, множество называется измеримым, если его можно "сколь угодно точно приблизить" элементарными множествами, т.е. справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Для того чтобы множество A было измеримо, необходимо и достаточно выполнения следующего условия: при 8" > 0

42