ТФДП

2. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

(1). Пусть G = G ; G RN -открытые множества. Тогда F = RN n

G -замкнуты (по теореме 1) и F = RN nG = RN n G = (RN nG ) =

теореме 1). Значит и F замкнуто как конечная сумма замкнутых множеств (см теорему 1 в 3.1). Но тогда G = RN n F открыто (по теореме 1).

Упражнение.

1.Обосновать утверждения 1 и 2 теоремы 2, опираясь непосредственно на определение открытого множества.

2.Будет ли открытым пересечение бесконечного числа открытых множеств?

Следствие из теоремы 5 и 6.

Пусть RN -открыто; F RN -замкнуто. Тогда G = n F -открыто. Действительно, G = (RN n F ) T . Но RN n F -открыто (по теореме 1), -открыто (по условию). Значит G открыто как пересечение двух открытых множеств.

3.3. Об открытом покрытии компакта.

Рассмотим замкнутые брусы в RN

Их размеры можно характеризовать максимальным ребром

23

Очевидно, что

На рисунке 12 двумерный замкнутый брус.

Лемма (о вложенных брусах).

Пусть fPng1n=1 - последовательность замкнутых вложенных брусов: P1 P2 : : : Pn Pn + 1 : : : с диаметрами Dn ! 0; (n ! 1). Тогда

существует, причем единственная точка x0 2 RN , принадлежащая всем

1

этим брусам, x0 2 T Pn.

n=1

Доказательство.

Имеем Pn = fx = (x1; : : : ; xN ) : xk 2 [ank; bnk]; k = 1; : : : ; Ng. При k = 1; : : : ; N на оси xk получаем последовательность вложенных отрезков:

[ank; bnk+1] [ank+1; bnk+1]; n = 1; 2; : : : ; причем их длины 0 bnk ank Dn !

0(n ! 1); k = 1; : : : ; N. Поэтому в силу известной леммы о вложенных отрезках при каждом k = 1; : : : ; N существут, причем единственная

Теорема (Бореля).

Любое открытое покрытие fG g компакта F содержит конечное

24

Доказательство. Проведем его для N = 2.

Поскольку F ограничено,найдется квадрат K, такой что F K. Обозначим D = diamK -диаметр квадрата.

Допустим, что утверждение неверно: F не покрывается конечной подсистемой системы fG g. Разделим K на четыре равных замкнутых

y 2 Kn ) y 2 B(x0; r), то есть Kn B(x0; r) G 0 при всех n n(r).

T T

Значит F Kn G 0 ,F Kn покрывается одним множеством G 0 что противоречит построению. Получили противоречие. Значит, наше допущение неверно, то есть утверждение справедливо: F можно покрыть конечной подсистемой fG k gmk=1 системы fG g.

Приведенная при доказательстве конструкция отражена на рис (13):

3.4. Представление открытого множества в виде объединения непересекающихся Брусов.

25

a) Одномерный случай. (N = 1)

Теорема 1. Всякое открытое множество G на оси R1 = ( 1; 1) можно представить в виде суммы конечной или счетной системы непересекающихся интервалов:

Докажем (3.8),(3.9),(3.10).

1). Так как G открыто, то x 2 G входит в G вместе с некоторым отрезком, содержащим точку x, то есть 9 < x : [ ; x] G ) 2

Io(x) ) (3:8).

2). Если 2 Io(x), то [ ; x] G и для 2 [ ; x] имеем [ ; x] [ ; x] G, т.е. 2 Io(x) ) (3:9).

3). Покажем, что x 2= G. Если допустить, что x 2 G, то так как G открыто 9 ; : < x < и [ ; ] G. По определению точкой нижней грани (3.10) 9 2 ( x; ) : 2 Io(x).

Но тогда [ ; x] G (по определению Io(x) (3.7)) и, значит, [ ; x] =

S

[ ; ] [ ; x] G, то есть 2 Io(x). Это противоречит определениюx(3:10),так как < x. Итак, допущение неверно, то есть x 2= G.

26

Далее, в силу (3.9) есть две возможности:

Io(x) = ( x; x] или Io(x) = [ x; x].

Поскольку x 2= G ) x 2= Io(x) G ) Io(x) = [ x; x]. Аналогично для x 2 G введем

и получим

1)9 > x : 2 I1(x)

2)Если 2 I1(x); 2 [x; ], то 2 I1(x)

3)Обозначим

выполнены. Мы нашли для x G максимальные интервалы I(x), такие что x 2 I(x) G (концы интервалов уже не входят в G). Такие интервалы называют составляющими для G. Итак,

Следовательно I(x) и I(y) либо совпадают, то есть I(x) = I(y),либо не

T

пересекаются: I(x) I(y) = (допустив, что интервалы пересекаются, но не совпадают, получим противоречие с (3.18)). Ясно, что при y 2

27

y2I(x)

имеем I(y) = I(x)). Следовательно в (3.17) G можно записать в виде суммы непересекающихся составляющих интервалов. Каждому из них можно поставить во взаимно-однозначное соответствие какуюнибудь рациональную точку из этого интервала. Значит, множество непересекающихся составляющих интервалов конечно или счетно (если оно бесконечно, то оно эквивалентно бесконечному подмножеству множества рациональных чисел a такое подмножество счетно). Итак,

M

[

G = ( m; m);

m=1

где интервалы ( m; m) не пересекаются при разных m; M = 1 или

M 2 N.

б)Многомерный случай (N 2)

непересекающихся кубов с ребрами, параллельными координатным осям.

Замечание 1. Мы проведём доказательство в двумерном случае, то есть при N = 2 и вместо кубов будут квадраты со сторонами, параллельными осям x1 и x2. Они могут граничить своими сторонами и чтобы обеспечить непересечение соседних квадратов будем считать для определенности, что левая и нижняя сторона входит в квадрат, а правая и верхняя-нет (см. рис. 15).

Замечание 2. Приведенная при доказательстве схема дает счетную сумму квадратов. Однако, в принципе, сумма может оказаться конечной. Например, само множество G может совпасть с открытом квадратом со сторонами, параллельными координатным осям.

Доказательство теоремы.

Т.к. G ограничено, то найдется квадрат Ko со сторонами, параллельными осям координат, такой что G Ko. Разделим Ko на четыре равных квадрата. Они образуют первый слой. Затем каждый из квадратов первого слоя делим на четыре равных квадрата -это даст второй слой

28

и т.д. На n-ом шаге получим квадраты n-ого слоя. Их число равно 4n, а диаметры равны 2Dn , где D диаметр исходного квадрата Ko. Обозначим через Pn сумму всех квадратов n-ого слоя, целиком попавщих в G. Для начальных значений n эта сумма может оказаться пустой. Справедливы, тем не менее включения

Докажем их. При переходе от n к n + 1 каждый квадрат n-го слоя, лежащий в G разобьеся в сумму четырех квадратов (n+1)-го слоя, также лежащих в G и могут также появиться дополнительные квадраты (n + 1)-го слоя, лежащих в G. Это дает включение Pn Pn+1. Последнее включение в (3.19) очевидно из обозначения: Pn G; 8n 2 N.

Из (3.19) следует, что

1

[

n=1

и, чтобы доказат (3.20) нужно получить обратное включение. Пусть x 2 G. Поскольку G открыто, то существует число r > 0, такое что круг B(x; r) G. При любом n 2 N найдется (причем единственный) квадрат n-го слоя Kn, такой что x 2 Kn. Тогда для любой точки y 2 Kn получим jy xj diamKn = 2Dn . Выберем теперь n(r) 2 N столь большим, что

< r и при всех n n(r) для y 2 Kn.; Значит этот квадрат целиком

лежит в G, т.е. он входит в Pn. Итак, x 2 G ) x 2 Pn; 8n n(r) ) x 2

1

S

Pn. Следовательно,

n=1

что вместе с (3.21) дает равенство (3.20). Осталось перейти от представления (3.19)-(3.20) к представлению в виде суммы непересекающихся квадратов. Обозначим для этого

Согласно результату упражнения 1.7 (б), в силу (3.19)-(3.20) справедливо

29

равенство

n=1

то есть G представлено в виде счетной суммы непересекающихся множеств Qn; n 2 N. Но Q1 равно сумме непересекающихся квадратов первого слоя, попавших в G; Q2 равно сумме непересекающихся квадратов второго слоя, попавших в G, но не вошедших в Q1; : : : ; Qn есть сумма непересекающихся квадратов n-го слоя, попавших в G, но не вошедших в сумму квадратов предыдущих слоев, попавших в G. Подставим в (19) представления каждого Qn в виде конечной суммы непересекающихся "новых" квадратов n-го слоя и получили в результате искомое представление G в виде счетной суммы непересекающихся квадратов.

3.5. Совершенные множества.

Напомним, что точка x 2 RN называется предельной точкой множества

F RN , если 8 " > 0 9 y2 F : y 6= x; (y; x) < ".

Множество всех предельных точек для множества F мы обозначим

F 0. Далее F 0 будем называть производным множеством множества F .

Определение 3.11. Если F F 0, т.е. если все точки множества предельные, то множество F называется плотным в себе.

Определение 3.12. Множество, совпадающее со своим производным

одновременно все его точки являются предельными F F 0, т.е. когда оно замкнуто и плотно в себе одновременно.

Примеры.

1.Множество рациональных точек отрезка [a; b] имеет в качестве своего производного множества множество всех точек отрезка [a; b].

Очевидно, что множество всех рациональных точек [a; b] плотно в себе, т.к. все его точки предельные. Это множество не совершенное.

2.Множество [a; b] является совершенным множеством.

Примерами совершенного множества является Канторово совершенное множество.

30

Рассмотрим множество чисел отрезка [0;1], записанных в троичной системе исчисления. Это будет бесконечные числа вида:

где ai принимает значения 0, 1, 2.

Определение 3.13.Множеством Кантора называется множество всех бесконечных дробей вида (3:25), где ai принимают значения лишь 0 или 2. Обозначим его Po.

Свойства (множество Кантора).

10): Если x 2 Po, то x 2 [0; 1], т.е. Po ограничено.

20): Множество Po совершенно, т.е. любая его точка есть предельная для него.

Действительно, 8 = 0; a1a2 : : : an : : : 2 Po и 8" > 0 можно найти точку из Po, не совпадающие с и отличающиеся меньше чем на ". Для этого вместо некоторого ak с достаточно большим k надо записать 2 ak (т.е. если ak = 0, то писать 2, если ak = 2, то писать 0 ). При этом k находится из условия 2 3 k < " т.о., все точки из P0 являются предельными P0 P00 . Теперь покажем, что все предельные

все последующие ak+1; ak+2; : : : не являются все только единицами или только нулями (иначе x 2 Po). Тогда числа интервала

(0; a1 : : : ak 11; 0; a1 : : : ak 12) нельзя записать через 0 и 2, т.е. он не принадлежит Po, но содержит x. Таким образом получили окрестность x, которая не лежит в Po. Т.е. она не является предельной для Po. Итак, Po содержит все свои предельные точки и является замкнутым.

Отсюда следует, что [0; 1] n Po – открытое множество.

30) Множество Po нигде не плотно на прямой, т.к. между любыми; 2 Po лежат дроби, образующие промежутки, сплошь заполненные точками, не принадлежащими Po. Действительно, если ; отличаются только начиная с некоторого k (т.е. с ak),то между и лежат дроби

0; a1a2 : : : ak 11 : : : ; 0; a1a2 : : : ak 111 : : : ; 0; a1a2 : : : ak 1111 : : : ; и.т.д., образующие промежутки, сплошь заполненными точками, не принадлежащими Po (см.20).

40): Po является множеством континуальной мощности.

31

Действительно, 8 2 Po, поставим в соответствии последовательность индексов, для которых ai = 2. Значит, Po эквивалентно множеству всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел ) по теореме из п. 8.4 это P0 – множество мощности континуума.

50): Множество Po получается из отрезка [0;1] последовательным делением на 3 части и удалением (13; 23), далее оставшиеся отрезки [0; 13] и [23; 1] делим по 3 части и удаляем середину и.т.д. Тогда элемент из Po , соответствующий 13, имеет вид 0; 10 : : :, а 23 0; 20 : : : 0. Интервал между ними – это дроби вида 0; 1; : : : ak, т.е. 0; 1 : : : 1 : : : т.е. имеет 1 на первом месте и хотя бы один ненулевой ak; k > 1.

Числа, удаленные за n шагов, характеризуются тем, что в троичном представлении они имеют 1 хотя бы на одном из n первых мест. В пределе получается элементы из Po.

§4. Мера в RN .

4.1. Мера Жордана и мера Лебега для линейных множеств.

Прежде чем переходить к мере Лебега, рассмотрим вкратце основные положения теории меры Жордана, которая излагалась в курсе математического анализа.

Вначале рассмотрим линейные множества, т.е. точечные множества на прямой R. Будем предполагать, что линейное множество E расположено внутри отрезка [0; 1]:

Вопрос. Как измерить длину произвольного линейного множества? Например, как измерить длину канторова множества? Или как измерить длину множества E, изображенного на рисунке?

Для измерения длины множества E, расположенного внутри отрезка [0; 1], разделим отрезок на 2 части и пусть полученные отрезки называются сегментами первого ранга. Обозначим через l1 длину сегментов первого ранга, сплошь заполненных точками из E, а через L1 длину сегментов, включающих хотя бы одну точку из E. Очевидно, для множества на рисунке l1 = 0; L1 = 1. Разделим сегменты первого ранга пополам и получим четыре сегмента второго ранга. Пусть l2 и L2 длины сегментов второго ранга, сплошь заполненных точками E и содержащих точки E, соответственно. Видно, что в рассматриваемом случае l2 = 14; L2 = 1. Последующее деление дает: l3 = 38; L3 = 78 и т.д. Таким образом, получили две последовательности неотрицательных

32