ТФДП

Тогда простая функция может быть представлена как линейная комбинация характеристических функций KEi(x) множеств Ei :

n

X

s(x) = ciKEi(x):

i=1

Лемма 1. Простая функция s(x) измерима тогда и только тогда, когда множества E1; : : : ; En измеримы.

Доказательство. Из того, что s(x) измерима, следует, что множества X(s(x) ci) измеримы. Отсюда следует, что Ei =

T

X(s(x) = ci) = X(s(x) ci) X(s(x) ci) измеримы.

Оказывается, любую функцию можно приблизить простыми функциями.

Теорема 1. Пусть f(x) вещественнозначная функция, определенная на множестве X: Тогда существует последовательность fsn(x)g простых функций, такая, что sn(x) ! f(x) при n ! 1 для всех x 2

X. Если f(x) измерима, то существует последовательность измеримых функций fsn(x)g сходящаяся поточечно к f(x): Если f(x) 0, то последовательность fsn(x)g можно считать монотонно возрастающей. Если f(x) ограничена, то fsn(x)g сходится к f(x) равномерно.

Доказательство. Произвольную функцию f(x) можно представить

в виде:

f(x) = f+(x) f (x);

Так как f+(x) 0; f (x) 0, то далее будем рассматривать f(x) 0. Положим

63

Очевидно, что sn(x) удовлетворяет всем условиям теоремы для f 0. Действительно, зафиксируем x = x0 и пусть f(x0) < 1: Тогда

так как если f(x0) < 1, то при достаточно большом n имеем f(x0) < n

и значит x0 2= Fn и KFn(x0) = 0.

Если f(x) ограничено, то KFn(x) = 0 при x 2 X для достаточно большом n и значит стремление Sn(x) ! f(x) согласно приведенной оценке будет равномерным.

Если в точке x0 имеем f(x0) = +1, то очевидно sn(x) ! 1, так

как KFn(x0) = 1.

Возрастание sn(x) следует из построения.

Если функция f(x) измерима, то все множества Eni и Fn измеримы. Поэтому измеримы функции KEni и KFn и их комбинация. Что и требовалось доказать.

6.3. Оределение интеграла Лебега.

n

Пусть X RN измеримое множество и s(x) = P ciKEi(x); x 2

i=1

X; ci > 0 измеримая, простая, неотрицательная функция на X:

Определение 6.3. Пусть E X. Интегралом Лебега по множеству E такой простой функции называется число

n

X\

IE(s) = ci (E Ei):

i=1

Если f(x) измерима, f 0, то интегралом Лебега функции f(x) по измеримому множеству E называется число

Z

(L) f(x)dx = sup IE(s);

s

E

где верхняя грань берется по всем простым функциям s(x) таким, что

0 s(x) f(x).

64

R

Число (L) f(x)dx может быть равно +1.

Лемма 2.EЕсли f(x) простая функция, то (L) R f(x)dx = IE(f):

E

R

Доказательство. Очевидно, что (L) f(x)dx IE(f) (по определению).

E

Покажем, что

Z

(L) f(x)dx IE(f):

E

Пусть s(x) простая функция, s(x) 6= f(x) и 0 s f: Возьмем какоелибо Ei = fx 2 X : f(x) = cig и рассмотрим интегралы от f(x) и s(x)

T

по E Ei: Тогда, если

Но

\ \ \ \ \

(E Ei) Eji (E Ei) Eki = ; k 6= j;

т.е. множества в правой части последнего неравенства попарно не пересекаются. Поэтому

Далее

m

E

65

Определение 6.4. Интегралом Лебега произвольной функции f(x) по измеримому множеству E называется число

если хотя бы один из интегралов справа конечен.

Определение 6.5. Функция f(x) называется интегрируемой (или суммируемой) по Лебегу на измеримом множестве E; если оба интеграла (L) R f+(x)dx и (L) R f (x)dx; конечны.

E E

Класс интегрируемых по Лебегу на множестве E функций будем обозначать L1:

Замечание. По данному определению, интеграл Лебега от функции может быть определен и равняться +1 или 1, но функция не будет интегрируемой по Лебегу. Функция интегрируема по Лебегу только тогда, когда ее интеграл по этому множеству конечен.

6.4. Свойства интеграла Лебега.

Свойство 1. Если f(x) измерима и ограничена (jf(x)j k) на множестве E и (E) < +1; то f 2 L1; то есть f интегрируема по Лебегу на E:

Доказательство. Если f 0 простая, измеримая, ограниченная функция, то

n

[\

= k ( E Ei) k (E) < 1:

i=1

Если же f простая и меняет знак, то утверждение следует из представления

тем же числом k и значит IE(s) ограничены одним и тем же числом

R

k (E) ) (L) f(x) < 1:

E

66

Для произвольной f(x) доказательство следует из представления

f = f+ f :

Свойство 2. Если f(x) измерима на E; (E) < +1; a f(x) b;

то

Z

a (E) (L) f(x)dx b (E):

E

Доказательство следует из неравенств f(x) b и f(x) a:

Свойство 3. Если f; g 2 L1 и f(x) g(x); то

ZZ

(L) fdx (L) gdx:

E E

Доказательство. Для простых функций неравенство проверяется непосредственно. Пусть f и g неотрицательны. Тогда

Z

(L) fdx = sup IE(s); s f;

s

E

Z

(L) gdx = sup IE(t); t g;

t

E

где s(x) и t(x) простые функции. Так как s f g; то

Переходя к sup по s(x): s f g; получим доказываемое неравенство.

В общем случае надо воспользоваться представлениями f = f+ f ; g = g+ g ; f+ g+; f g :

Свойство 4. Если f 2 L1; то cf 2 L1 на E для любого числа c 6= 1;

и

ZZ

Утверждение получается из аналогичного утверждения для простых функций взятием верхней грани.

67

Свойство 5. Если (E) = 0 и f измеримая, то

Z

(L) fdx = 0:

E

Доказательство. Из определения интеграла Лебега для простых функций получаем:

n

X\

Свойство 6. Если f 2 L1 на E; A E измеримо, то f 2 L1 на

A.

Доказательство. Если f 0 простая функция на E; то для сужения feна A справедливо:

где Ai = fx 2 A : fe(x) = cig:

Если теперь f 0 произвольная функция, f 2 L1; то

sup IA(se) sup IE(s);

se fe s f

где se и fe сужения s и f на A E; что и требовалось доказать. Далее докажем основные теоремы теории интеграла Лебега.

Теорема 2. Пусть f(x) измерима и неотрицательна на X: Для 8A X : A измеримо, определим

Z

'(A) = (L) fdx:

A

68

Тогда ' счетно-аддитивная функция на X:

Если f характеристическая функция, то утверждение следует из счетной аддитивности меры. Действительно,

Z

\

'(A) = (L) KE(x)dx = (A E);

A

где KE(x) характеристическая функция множества E: Если f(x) простая функция, то есть

Докажем обратное неравенство. Если '(An) = +1 при каком нибудь n; то в силу '(A) '(An) имеем

1

X

'(A) = '(An);

n=1

т.е. утверждение справедливо. Поэтому пусть '(An) < 1 для 8 n: Для заданного " > 0 выберем произвольную простую функцию s так, что

0 s f и

ZZ

(L) sdx (L) fdx ";

A1 A1

69

т.е.

G

'(A1 A2) '(A1) + '(A2):

Следовательно, 8n > 0 имеем

nn

'(A) '(Ai):

i=1

Отсюда

1

X

'(A) '(Ai):

i=1

Следствие 1. Счетная аддитивность ' выполняется, если f 2 L1(X) и если f произвольного знака.

Справедливость последнего утверждения следует из представлении f = f+ f :

Следствие 2. Если A; B измеримые, B A; (A n B) = 0 и функция f(x) измерима, то

70

так как (A n B) = 0; что и требовалось доказать.

Из следствия 2 имеем, что множествами меры нуль при интегрировании по Лебегу можно пренебречь Поэтому удобно следующее определение.

Определение 6.6. Если некоторое свойство выполнено для каждого x 2 EnA и если (A) = 0, то будем говорить, что это свойство выполнено почти всюду на измеримом множестве E, или для почти всех x 2 E:

T

Если (fx : f(x) 6= g(x)g E) = 0; то f и g называют

эквивалентными на E и пишут f(x) g(x).

Легко видеть, что если f g на E и A E, то

ZZ

если один из этих интегралов существует. Действительно, если A0 множество, где f(x) 6= g(x); то (A0) = 0 и

Теорема 3. Если f(x) 2 L1(E), то и jfj 2 L1(E); причем

RR

j(L) f(x)dxj (L) jf(x)jdx:

Z Z Z Z Z

(L) jfjdx = (L) jfjdx+(L) jfjdx = (L) f+dx+(L) f dx < +1:

E A B A B

Теорема 4. Пусть f измерима на E, jfj g; где g 2 L1(E): Тогда f 2 L1( ):

71

Доказательство. Очевидно, что f+ g и f g: Значит, если

то

1

fx 2 A : f(x) 6= 0g X fx 2 A : jfj n1 g = 0;

n=1

т.е.

fx 2 A : f(x) 6= 0g = 0;

что и требовалось доказать.

Теорема 6 (свойство абсолютной непрерывности интеграла Лебега).

Если f(x) 2 L1(E), где E измеримо, то 8" > 0 9 > 0 такое, что для любого измеримого A E : (A) < выполняется

Z

j(L) fdxj < ":

A

Доказательство. Если jfj K < 1; 8x; то по доказанному

Z

j(L) fdxj K (A);

A

72