ТФДП

Тогда

1

[\

E(f > g) = [E(f > ri) E(g < ri)]:

i=1

Так как справа стоят измеримые мнрожества, то и слева измеримое множество.

Теорема 2. Сумма, разность, произведение и частное двух измеримых функций (последнее в том случае, когда делитель не равен нулю) есть измеримая функция.

Доказательство.

1. Начнем с разности. Если f и g измеримы, то E(f g > a) = E(f > a + g): Но a + g измерима по теореме 1, а E(f > a + g) измеримо по лемме 4.

2. f + g измерима, так как E(f + g > a) = E(f ( g) > a); f ( 1) - измерима по теореме 1 и пункту выше.

3.f g = 14([f + g]2 [f g]2) ) измерима.

4.fg = f g1 измерима по п. 3 и теореме 1.

Итак, показано, что арифметические операции над измеримыми функциями дают измеримые функции.

5.3. Поточечная сходимость измеримых функций.

Покажем, что совокупность измеримых функций замкнута по отношению к операции предельного перехода.

Теорема 3. Предел сходящейся при каждом x 2 E последовательности измеримых функций измерим.

Доказательство. Пусть последовательность ffn(x)g ! f(x) в каждой точке x. Тогда

Действительно, если f(x) < a, то 9k : f(x) < a k2 . При таком k можно найти достаточно большое n 2 N: 8m n выполняется fm(x) < a k1 : Это и означает, что x войдет в правую часть (5.1).

Обратно, пусть x принадлежит правой части (5.1). Тогда 9k : для

достаточно больших m

1 fm(x) < a k:

Тогда f(x < a), то есть x входит в левую часть (5.1).

53

Если функция fn(x) измеримы, то множества

1

E(fm(x) < a k)

измеримы, отсюда следует, в силу (5.1), что множество E(f(x) < a) измеримо. Что и требовалось доказать.

Замечание. Если fn(x) измеримые, то

fsup(x) = sup fn(x);

n

finf (x) = inf fn(x);

n

f(x) = lim fn(x);

n!1

f(x) = lim fn(x)

n!1

измеримы. Это следует из равенств

1

5.4. Эквивалентные функции. Сходимость почти всюду.

При изучении измеримых функций часто можно пренебречь их значениями на множестве меры нуль. Поэтому удобно ввести следующее понятие.

Определение 5.2. Две функции f(x) и g(x), заданные на одном и том же измеримом множестве E, называется эквивалентными (обозначается f g ), если

(E(f(x) 6= g(x))) = 0:

Терминология. Говорят, что некоторое свойство выполнимо почти всюду на E; если оно выполнено на E всюду, кроме, быть может, точек, образующих множество меры нуль.

Таким образом, две функции эквивалентны, если они совпадают почти всюду.

54

Теорема 4. Функция f(x),определенная на измеримом множестве E и эквивалентная на нем некоторой измеримой функции g(x), тоже измерима.

Доказательство. Из определения эквивалентности следует, что множества E(f(x) < a) и E(g(x) < a) могут отличаться друг от друга лишь на множество меры нуль. Следовательно, если одно множество измеримо, то измеримо и другое.

Замечание. Для произвольных измеримых функций эквивалентность не означает совпадение. Например, функция Дирихле

D(x) =

1; если x 2 Q;

0; если x иррациональное

эквивалентна нулю относительно меры Лебега.

Поскольку во многих случаях поведение измеримой функции на множестве меры нуль для нас несущественно, то естественно ввести следующее обобщение поточечной сходимости.

Определение 5.3. Говорят, что последовательность ffn(x)g функций, определенных на некотором множестве E с заданной на нем мерой ,

сходится почти всюду на E к функции f(x) и пишут

п.в.

fn(x) ! f(x)

на E, если

(E( lim fn(x) 6= f(x))) = 0:

n!1

n п.в.

Пример. Пусть fn(x) = x ; E = [0; 1]. Тогда fn(x) ! 0 на [0;1], так

как lim fn(x) = 0; при x 2 [0; 1) и lim fn(1) = 1, а (f1g) = 0:

n!1 n!1

Теорема 3 допускает следующее обобщение.

Теорема 5. Если последовательность ffn(x)g измеримых функций сходится к функции f(x) почти всюду на E, то f(x) измерима.

Доказательство. Пусть A E такое, что 8x 2 A имеем

lim fn(x) = f(x): Тогда f(x) измерима на A по теореме 3. Так как

n!1

(E n A) = 0 ) f(x) измерима на E n A: Таким образом, f(x) измерима на всем E, что и требовалось доказать.

5.5. Сходимость почти всюду и равномерная сходимость.

Теорема 6 (теорема Д.Ф.Егорова, 1911 г.). Пусть E множество конечной меры и последовательнось измеримых функций fn(x) сходится

55

к f(x) почти всюду на E. Тогда 8 > 0 9 измеримое множество E E:

1)(E ) > (E) ;

2)на множестве E последовательность fn(x) сходится к f(x) равномерно.

Доказательство. По теореме 5 функция f(x) измерима. Положим

(то есть при фиксированных m и n, Enm это множество x, для которых

jfi(x) f(x)j < m1 ) и

1

[

Em = Enm:

n=1

Из определения Enm следует, что при фиксированном m

E1m E2m : : : Enm : : : :

В силу непрерывности -аддитивной меры имеем: 8m; 8 > 0; 9no(m) :

Искомое множество E будет находиться по формуле

Покажем, что так построенное E удовлетворяет требованиям теоремы. В начале покажем, что на E последовательность fn(x) сходится

равномерно к f(x): Действительно, если x 2 E ) 8m

1

jfi(x) f(x)j < m; 8i > no(m):

Теперь оценим меру (EnE ): Для этого заметим, что (EnEm) = 0: Действительно, если x 2 E n Em; то существует сколь угодно большие значения i; при которых

1 jfi(xo) f(xo)j m;

то есть последовательность ffn(x)g в точке xo не сходится к f(x). Так как, по условию, ffn(x)g сходится к f(x) почти всюду, то

(E n Em) = 0:

56

Теорема доказана.

5.6. Сходимость по мере

Определение 5.4. Говорят, что последовательность измеримых функций fn(x) сходится по мере к функции f(x), если для любого > 0

lim fx 2 E : jfn(x) f(x)j g = 0:

n!1

Нижеследующие теоремы 7 и 8 устанавливают связь между понятиями сходимости почти всюду и сходимости по мере. Как и в предыдущем пункте мера рассматриваемого множества E предполагается конечной.

Теорема 7. Если последовательность измеримых функций ffn(x)g сходится почти всюду к некоторой функции f(x), то она сходится к той же самой предельной функции f(x) по мере.

Доказательство. Из теоремы 5 следует, что предельная функция f(x) измерима. Пусть A то множество (меры нуль), на котором fn(x) не стремятся к f(x). Пусть, далее,

Ek( ) = fx : jfk(x) f(x)j g;

Ясно, что все эти множества измеримы. Так как

R1( ) R2( ) : : : ;

то в силу свойства непрерывности меры

(Rn( )) ! (M); n ! 1:

57

Проверим теперь, что M A: Действительно, если x0 2= A; то есть

если

lim fn(x0) = f(x0);

n!1

то для данного > 0 найдется такое n, что

jfk(x0) f(x0)j < ; 8k n;

то есть x0 2= Rn( ) и, тем более, x0 2= M: Но (A) = 0; и поэтому из (3) вытекает, что (M) = 0; и следовательно,

(Rn( )) ! 0

при n ! 1: Так как En( ) Rn( ); то теорема доказана.

Нетрудно убедиться, что из сходимости последовательности функции по мере, вообще говоря, не следует ее сходимость почти всюду. Действительно, определим для каждого натурального k на полуинтервале (0; 1] функции

Занумеровав все эти функции подрят, мы получим последовательность, которая, как легко проверить, сходится по мере к нулю, но в то же время не сходится ни в одной точке (докажите это!).

Упражнение. Пусть последовательность измеримых функций ffn(x)g сходится по мере к некоторой предельной функции f(x): Доказать, что последовательность ffn(x)g будет сходиться по мере к функции g(x) в том и только в том случае, если g(x) эквивалентна f(x).

Хотя приведенный выше пример показывает, что теорема 7 не может быть обращена в полной мере, тем не менее справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Пусть последовательность измеримых функций ffn(x)g сходится по мере к f(x): Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность ffnk (x)g; сходящуюся к f(x) почти всюду.

58

Доказательство. Пусть "1; "2; : : : некоторая последовательность положительных чисел, стремящихся к нулю, т.е.

lim "n = 0;

n!1

и пусть положительные числа 1; 2; : : : ; n; : : : таковы, что ряд 1 + 2 +

: : :+ n +: : : сходится. Построим последовательность индексов n1 < n2 <

: : : искомой подпоследовательности следующим образом: выберем n1 так чтобы

fx : jfn1 (x) f(x)j "1g < 1

(такое n1 обязательно существует); далее выберем n2 > n1 так, чтобы

fx : jfn2 (x) f(x)j "2g < 2:

Вообще, выберем nk > nk 1 так, чтобы

fx : jfnk (x) f(x)j "kg < k:

Покажем, что построенная последовательность fnk сходится к f(x) почти всюду. Действительно, пусть

1

P

С другой стороны, ясно, что (Ri) < k; откуда (Ri) ! 0 при

k=i

i ! 1; то есть (Q) = 0:

Остается проверить что во всех точках множества EnQ: имеет место сходимость

fnk (x) ! f(x):

Пусть x0 2 EnQ: Тогда найдется такое i0; что x0 2= Ri0 : Это означает, что для всех k i0

x0 2= fx : jfnk (x) f(x)j "kg;

то есть

jfnk (x0) f(x0)j < "k:

59

Так как, по условию, "k ! 0; то

lim fnk (x0) = f(x0):

k!1

Теорема доказана.

5.7. Теорема Лузина. C-свойство.

Определение измеримой функции, данное в самом начале этого параграфа, относится к функциям на произвольных множествах и в общем случае никак не связано с понятием непрерывной функциию Однако, если речь идет о функциях на отрезке, то имеет место следующая важная теорема, установленная в 1913 г. Н.Н. Лузиным.

Теорема 9. Для того, чтобы функция f(x); заданная на отрезке [a; b]; была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого " > 0 существовала такая непрерывная на [a; b] функция (x); что

fx : f(x) 6= (x)g < ":

Иначе говоря, измеримая функция может быть сделана непрерывной на [a; b] путем ее изменения на множестве сколь угодно малой меры. Про функцию на отрезке, которая может быть сделана непрерывной с помощью такой "малой деформации" говорят, что она обладает C- свойством (термин Н.Н. Лузина). Как показывает теорема Лузина, для функции числового аргумента C-свойство можно положить в основу самого определения измеримости. Доказательство теоремы Лузина можно получить, воспользовавшись теоремой Егорова (проведите это доказательство!).

Упражнение. Доказать, что если A измеримое множество на отрезке [a; b]; то для любого " > 0 найдутся такое открытое множество G A и такое замкнутое множество F A, что (G n A) < " и(A n F ) < ":

§6. Интеграл Лебега

6.1. Различие между способами интегрирования Римана и Лебега.

При составлении интеграла Римана разбивается на элементарные части [xk; xk+1] промежуток интегрирования [a; b]; то есть сегмент, содержащий значения аргумента x функции y = f(x): Затем длинаxk каждого элементарного сегмента [xk; xk+1] умножается на верхнюю грань Mk или на нижнюю грань mk функции f(x) на этом элементарном

60

сегменте. Суммируя отдельно Mk xk и mk xk, получим верхнюю и нижнюю суммы Дарбу.

Когда данная функция f(x) непрерывна, то ее значения будут сколь угодно близкими между собой для всех x из одного и того же сегмента [xk; xk+1] для каждого k, если только все xk достаточно малы, и поэтому суммы Дарбу будут отличаться между собой сколь угодно мало при достаточно мелком разбиении сегмента [a; b]: Следовательно, при x ! 0 суммы Дарбу будут стремиться к общему пределу, который и есть интеграл Римана от f(x) на [a; b]: Поэтому такой процесс интегрирования является естественным для непрерывных функций.

Если же данная функция f(x) разрывна на [a; b]; то при любом разбиении [a; b] найдутся сегменты [xk; xk+1], на которых значения f(x) не будут сколь угодно близкими между собой. (Так, функция Дирихле на как угодно малом сегменте [xk; xk+1] имеет значения и 0, и 1, поэтому уменьшением xk нельзя добиться любой близости между значениями этой функции во всех точках одного и того же элементарного сегмента). В силу этого, суммы Дарбу могут не иметь общего предела, то есть данная разрывная функция f(x) может не быть интегрируемой по Риману. (Так это и оказалось для функции Дирихле.) Следовательно, процесс интегрирования по Риману не соответсвует характеру разрывных функций.

Если учесть, что разбиение сегмента [a; b], то есть множества E = [a; b] всех значений независимой переменной x, на элеметарные части -сегменты [xk; xk+1] -оказалось целесообразным для непрерывных функций только потому, что в точках одной и той же части [a; b] значения функции близки между собой, а для разрывных функций такое разбиение [a; b] оказалось неудачным как раз потому, что оно не гарантирует близости между значениями функции в точках одной и той же части [a; b]; то станет ясным, в чем заключается недостаток процесса интегрирования Римана и как его устранить. Именно, целесообразным является такое расчленение множества E значений независимой переменной x на части Ek, когда в одном и том же подмножестве Ek близки значения

y данной функции, а значения x могут отличаться как угодно.

Вот почему процесс интегрирования функции y = f(x) лучше начинать не с разбиения сегмента [a; b]; содержащего все значения независимой переменной x, как это было при интегрировании по Риману, а с разбиения сегмента [A; B]; содержащего все значения y данной функции, на элементарные сегменты [yk; yk+1]; и только после этого

61

разбить множество E значений x на части Ek, включив в Ek те и только те точки x; в которых значения функции содержатся в полуинтервале [yk; yk+1); то есть являются близкими между собой. Теперь вместо образования сумм Дарбу, то есть суммирования произведений Mk или mk на длину xk элементарного сегмента [xk; xk+1], будем суммировать произведения yk или yk+1 на меру (длину) подмножества Ek. В результате получим суммы s и S; напоминающие суммы Дарбу для непрерывных функций, так как для достаточно мелкого дробления сегмента [A; B] числа yk и yk+1 будут сколь угодно близкими, как это было для mk и Mk в случае непрерывных функций при достаточно мелком разбиении сегмента [a; b]:

Поэтому есть основания надеяться, что суммы s и S; построенные новым процессом, будут стремиться к общему пределу, когда длина наибольшего из сегментов [yk; yk+1) будет стремиться к нулю. Этот предел естественно принять за интеграл от функции f(x) на данном множестве E; которое может и не быть обязательно сегментом [a; b]; а только содержится на нем.

Этот новый процесс интегрирования и есть интегрирование по Лебегу.

Заметим, наконец, что в этом процессе интегрирования приходится измерять множества Ek = Efyk f(x) < yk+1g, откуда следует, что введение интеграла Лебега невозможно без понятий меры множества и измеримых функций.

6.2. Простые функции.

Определение 6.1. Вещественнозначная функция s(x); определенная на множестве X RN называется простой, если множество значений функции s(x) конечно.

Пусть E X и пусть

1; если x 2 E; KE(x) = 2

0; если x = E:

Определение 6.2. Функция KE называется характеристической функцией множества E:

Пусть множество значений функции s(x) состоит из различных чисел c1; : : : ; cn. Пусть

Ei = fx 2 X : s(x) = cig; i = 1; n:

62