ТФДП

и утверждение очевидно. Пусть

Тогда в силу -аддитивности интеграла

Z

+(L) jfjdx (N + 1) (A) + 2" < ";

T

ACN

что и требовалось доказать.

6.5. Предельный переход под знаком интеграла. Следующие теоремы показывают возможность предельного перехода под знаком интеграла Лебега. Напомним, что для интеграла Римана достаточным условием такого перехода является равномерная сходимость последовательности функций.

Теорема 7 (теорема Б. Леви о монотонной сходимости). Пусть E

измеримо и пусть ffng последовательность измеримых функций:

0 f1(x) f2(x) : : : ; x 2 E: Пусть f(x) определена равенством

f(x) = lim fn(x); 8x 2 E:

n!1

73

Тогда

ZZ

Доказательство. Используя свойство 3 интеграла Лебега, имеем:

R

Поэтому 9 : (L) fndx ! при n ! 1: Так как

E

Докажем теперь противоположное неравенство. Выберем c так, что 0 < c < 1 и пусть s простая измеримая функция такая, что 0 s f: Пусть

En = fx 2 E : fn(x) c s(x)g; n = 1; 2; : : : :

Согласно свойству монотонности ffng имеем:

E1 E2 E3 : : : ;

Тогда в силу счетной аддитивности интеграла, при n ! 1 из последнего неравенства имеем:

R

Таким образом, = (L) f(x)dx; что и требовалось доказать.

E

74

Теорема 8. Пусть f1; f2 2 L1(E) и f = f1 + f2: Тогда f 2 L1(E) и

Доказательство. Предположим вначале, что f1; f2 0: Если f1; f2 простые, то утверждение следует из определения интеграла для простых фукций. Если f1 0; f2 0 произвольные функции, то выберем fs0ng и fs00ng монотонно возрастающие последовательности неотрицательных

измеримых простых функций, сходящихся к f1 и f2, соответственно. Пусть sn = s0n + s00n: Тогда

Доказываемое утверждение получается предельным переходом при n ! 1 в силу теоремы 7 (о монотонной сходмости).

Пусть теперь f1 0; f2 0. Положим

A = fx 2 E : f(x) 0g; B = fx 2 E : f(x) < 0g:

Тогда функции f, f1; f2 неотрицательны на A. Поэтому

Из равенств на A и на B следует доказываемое равенство.

В общем случае множество E можно разложить на четыре множества Ei, на каждом из которых f1; f2 сохраняют знак. Из

и доказываемое равенство получается после суммирования этих равенств. Что и требовалось доказать.

75

Следствие. Пусть E измеримое множество, ffng последовательность

Действительно, частичные суммы ряда для f(x) образуют монотонную возрастающую последовательность. Поэтому к ним можно применить теорему 8.

Теорема 9 (теорема Фату). Пусть множество E измеримо, ffngпоследовательность неотрицательных измеримых функций и

f(x) = lim fn(x); 8x 2 E:

n!1

R R

Тогда (L) fdx lim (L) fndx:

n!1

E E

Доказательство. Положим

gn(x) = inf fi(x); n 2 N; x 2 E:

i n

Тогда функция gn(x) измерима на E и

0 g1(x) g2(x) : : : ;

gn(x) fn(x);

gn(x) ! f(x)при n ! 1:

Согласно теореме 7 имеем

ZZ

(L) gndx ! (L) fdx;

E E

а так как gn(x) fn(x); то отсюда следует доказываемое неравенство. Теорема доказана.

Теорема 10 (теорема Лебега об ограниченной сходимости). Пусть

E X измеримое множество, ffn(x)g последовательность измеримых функций такая, что fn(x) ! f(x) для всех x 2 E при n ! 1: Если существует функция g 2 L1(E) : jfn(x)j g(x); то

RR

lim fndx = fdx:

E

Замечание. Утверждение теоремы остается верным, если fn(x) ! f(x) почти всюду на E:

76

Доказательство. Из теоремы 4 следует, что fn(x) 2 L1(E) и f(x) 2 L1(E): Так как fn + g 0, то по теореме Фату имеем

Следствие. Если (E) < 1; последовательность ffn(x)g равномерно ограничена на E и fn(x) ! f(x) для всех x 2 E при n ! 1; то

RR

(L) fdx = lim (L) fndx:

n!1

E E

6.6. О связи интеграла Лебега с интегралом Римана.

Теорема 11. Если функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b] (то есть f 2 R([a; b])), то она интегрируема и по Лебегу на отрезке [a; b] и

Доказательство. Напомним, что разбиением P отрезка [a; b] называется множество точек a = x0 < x1 < : : : < xn = b: Пусть

77

верхняя и нижняя суммы Дарбу. Функция f(x) 2 R([a; b]) , 8" > 0 9

разбиение P : U(P; f) L(P; f) < ":

Рассмотрим последовательность fPkg разбиений [a; b] : каждое следующее является размельчением предыдущего (то есть получается из предыдущего добавлением новых точек разбиения). Для каждого разбиения Pk определим функции Uk(x); Lk(x):

Uk(a) = Lk(a) = f(a); Uk(x) = Mi; Lk(x) = mi; x 2 (xi 1; xi]:

построению fPkg как последовательности размельчений, имеем:

U1(x) U2(x) : : : f(x) : : : L2(x) L1(x); 8x 2 (a; b):

Положим

В силу теоремы о предельном переходе под знаком интеграла

С другой стороны,

U(Pk; f) ! (R) f(x)dx; L(Pk; f) ! (R) f(x)dx:

a a

Отсюда следует L(x) = f(x) = U(x) почти всюду на [a; b]:

Так как функции L(x) и U(x) измеримы, то отсюда следует, что f(x) измерима, f 2 L1([a; b]) и интегралы равны. Теорема доказана.

§7. Пространство L2

78

7.1. Определение и основные свойства.

Определение 7.1. Пусть E измеримое множество и (E) < 1: Будем говорить, что функция f(x); определенная на X, принадлежит

функции из L говорят, что они функции с интегрируемым квадратом.

Свойства функции из L2.

10. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом является функцией из L1 (то есть интегрируемая).

Доказательство. Для любых f(x) и g(x) выполняется

jf(x) g(x)j 12[f2(x) + g2(x)]:

Отсюда и из свойств интеграла Лебега следует доказываемое свойство.

Следствие. Всякая функция с интегрируемым квадратом интегрируема. Действительно, достаточно положить g(x) 1 и использовать

свойство 10.

20. Если f; g 2 L2 ) f + g 2 L2:

Действительно (f(x) + g(x))2 = f2(x) + 2f(x) g(x) + g2(x) f2(x) + 2jf(x)g(x)j + g2(x): В силу свойства 10 все функции, стоящие справа, интегрируемы. Поэтому f + g 2 L2:

Свойства 20 и 30 показывают, что на L2 можно ввести структуру

Легко видеть, что (f; g) удовлетворяет следующим свойствам:

1)(f; g) = (g; f);

2)(f1 + f2; g) = (f1; g) + (f2; g);

3)( f; g) = (f; g);

4)(f; f) 0; 8f:

79

Если мы не будем различать эквивалентные функции (то есть отличающиеся на множестве меры нуль) и будем рассматривать классы эквивалентных функции, то f = 0 означает класс функций, равных нулю почти всюду на E. Тогда 4) принимает вид

4)(f; f) 0 и (f; f) = 0 , f = 0:

Таким образом (7.1) определяет скалярное произведение.

Определение 7.2. Евклидовым пространством L2 называется линейное пространство, элементами которого служат классы эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом, сложение и умножение определяются как обычное сложение и умножение, а скалярное произведение определяется формулой (7.1).

В L2(E) как в любом евклидовом пространстве выполнено неравенство Коши-Буняковского, которое теперь принимает вид

012

и неравенство треугольника (Минковского), имеющее вид: .

При g(x) 1 и (E) < 1 неравенство Коши - Буняковского (7.2) принимает вид:

Поэтому расстояние между f и g равно

t

80

Определение 7.3. Величина

Z

(L) (f g)2dx = kf gk2

E

называется средним квадратическим уклонением функций f и g друг от друга.

Сходимость функциональной последовательности в смысле метрики в L2 называется сходимостью в среднем квадратичном.

Теорема 2. Пространство L2 с (E) < 1 полно.

Доказательство. Пусть ffng фундаментальная последовательность в L2, то есть

kfn fmk ! 0 при n; m ! 0:

Тогда в силу (7.4) имеем:

Положим

"n = sup kfn fmk:

m n

Из условия фундаментальности ffng следует, что "n ! 0 при n ! 1.

Поэтому можно выбрать подпоследовательность f"nk g : сходится ряд

1

P "nk: Например, для этого "nk 2 k: Тогда для соответствующей

k=1

подпоследовательности fnk в силу (7.4) имеем:

Отсюда следует, что ряд

1 Z

X

(L) jfnk+1 fnk jdx

k=1 E

сходится. Тогда по следствию к теореме Леви получаем, что ряд

1

X

jfnk+1 fnk j

k=1

81

сходится. Следовательно, сходится ряд

1

X

fn1 (x) + [fnk+1 fnk ]:

k=1

Это означает, что k-ая частичная сумма этого ряда, равная fnk+1 (x); сходится к некоторой функции f(x):

Далее, так как kfm fnk k "m; 8m и 8nk m и так как

jfm(x) fnk (x)j ! jfm(x) f(x)j

при k ! 1 почти всюду на E; то по теореме Фату можно перейти к пределу при k ! 1 и получить kfm(x) f(x)k "; 8m; что и означает сходимость ffm(x)g к f(x) в L2: Теорема доказана.

Замечание 1. Здесь используется следующая формулировка теоремы Фату: если последовательность измеримых и суммируемых на E функций ffn(x)g сходится к f(x) и если 9 const A : 8n выполняется

Z

(L) jfnjdx A;

E

R

то f(x) суммируема на E и (L) jfjdx A:

Замечание 2. Несмотря наEто, что в доказательстве использовалось условие (E) < 1, пространство L2(E) полно и при (E) = +1: Вместе с тем, условие (E) < 1 существенно для других утверждений. Например, неравенство (7.4) показывает, что если f 2 L2 ) f 2 L1: Это неверно, если, например, E = R; f = p1+1 x2 :

Определение 7.4. Множество M элементов линейного нормированного пространства L называется всюду плотным (или плотным в L), если для 8f 2 L можно найти последовательность fgmg 2 M : gm ! f по норме в L:

Определение 7.5. Линейное нормированное пространство L называется сепарабельным, если в нем существует счетное всюду плотное множество элементов M:

Теорема 3. Множество непрерывных на E функций является всюду плотным в L2(E).

Доказательство. Если f(x) произвольная функция из L2(E), то вводя f+ и f ; мы можем доказать теорему для них и затем получить для f:

82