ТФДП

Тогда fn(x) "ступенчатая" на E функция, принимающая не более чем счетное множество значений. Легко видеть, что 8n и 8x 2 E справедливо

0 f(x) fn(x) < 21n ; то есть ffn(x)g ! f(x) равномерно на E:

Пусть n(x) = minfn; fn(x)g: Каждая функция n(x) принимает на E конечное множество значений, причем f ng ! f всюду на E: Кроме того, на E справедливо неравенство

0 f(x) n(x) f(x);

откуда следует

jf(x) n(x)j2 f2(x); 8x 2 E:

В силу теоремы Лебега об ограниченной сходимости это означает, что jf(x) n(x)j2 сходится к нулю в L1(E) и, значит, в L2.

Осталось показать, что 8 n(x) можно приблизить по норме L2(E)

непрерывной функцией с любой степенью точности. Действительно,

m

n(x) = akKEnk (x); так как n(x) принимает конечное число

k=1

83

что завершает доказательство.

Теорема 4. Для любого ограниченного измеримого множества E пространство L2(E) сепарабельно.

Доказательство. Доказательство проведем для E R1:

Пусть вначале E = [a; b]: По теореме 3 любую функцию f(x) 2 L2(E) можно приблизить с любой степенью точности по норме L2(E) непрерывной функцией. По теореме Вейерштрасса любую непрерывную на отрезке [a; b] функцию можно равномерно на [a; b] (а, следовательно, и по норме L2(E)) приблизить с любой степенью точности алгебраическими многочленами с вещественными коэффициентами. Далее многочлены с вещественными коэффициентами можно равномерно приблизить многочленами с рациональными коэффициентами. Значит, если E =

Продолжим ее на весь [a; b], положив равной нулю вне E: Очевидно, что продолженная функция f(x) 2 L2([a; b]) и значит может быть приближена многочленами с рациональными коэффициентами, то есть многочлены с рациональными коэффициентами образуют всюду плотное множество в L2(E).

Итак, L2(E) является евклидовым пространством, в котором имеется всюду плотное счетное множество.

Пусть функции f1; :::; fn; ::: элементы всюду плотного множества. Как в любом евклидовом пространстве, в L2(E) можно провести ортогонализацию этих функций. А именно,

(процесс ортогонализации Шмидта).

Таким образом в L2(E) построили счетную ортонормированную систему векторов, всюду плотную в L2(E). Эту бесконечную систему векторов можно рассматривать как некий базис\ в рассматриваемом пространстве L2(E), а само пространство L2("E) является гильбертовым пространством в смысле следующего определения.

Определение 7.6. Полное евклидово пространство бесконечного

84

числа измерений называется гильбертовым пространством.

7.2. Ряд Фурье в евклидовом пространстве.

Определение 7.7. Назовем рядом Фурье элемента f евклидова пространства по ортонормированной системе f'kg ряд вида

1

X

k=1

где fk числа, называемые коэффициентами ряда Фурье элемента f и

определяемые равенствами

fk = (f; 'k); k = 1; 2; : : : :

Конечная сумма

k=1

где Ck некоторые произвольные числа.

Определение 7.8. Величина kf gk называется отклонением g от f (по норме данного евклидова пространства).

Теорема 5. Среди всех сумм вида (7.8) наименьшее отклонение от элемента f по норме данного евклидова пространства имеет n-ая частичная сумма (7.7) ряда Фурье элемента f.

Доказательство. Учитывая ортонормированность системы f'ng и пользуясь аксиомами скалярного произведения можно записать:

XX

=Ck2('k; 'k) 2 Ck(f; 'k) + (f; f) =

85

получается при Ck = fk:

Следствие 1. Для произвольного элемента f из E (евклидова пространства) и любой ортонормированной системы f'kg при произвольном выборе Ck справедливо неравенство

nn

XX

Доказательство очевидно в силу (7.9).

Следствие 2. Для любого f 2 E, любой ортонормированной системы f'kg и для любого n справедливо равенство:

Равенство (7.10) называется тождеством Бесселя. Доказательство следствия следует из (7.9) при Ck = fk:

Теорема 6. Для любого f 2 E и любой ортонормированной системы f'kg справедливо

образуют ортонормированную систему, используемую для построения тригонометрических рядов Фурье.

7.3.Теорема Рисса – Фишера.

86

Теорема 7 (Рисса - Фишера). Пусть f'ng произвольная

ортонормированная система в L2(E) 1. Тогда для любой последовательности

1

вещественных чисел c1; c2; :::; cn; :::; удовлетворяющей условию P c2k <

k=1

1; 2 найдется и притом единственная функция f(x) из пространства

k=1

lim c2k = kfk2;

n!1

то есть

1

X

c2k = kfk2:

k=1

Докажем, что (f; 'k) = ck для любого номера k: Для этого заметим, что в силу ортонормированности системы f'kg при всех n k справедливо равенство

XX

и учтем, что в силу неравенства Коши - Буняковского

p p

j( n; 'k) (f; 'k)j = j( n f; 'k)j k n fk k'kk = k n fk;

1Ни полнолта, ни тем более замкнутость этой системы не предпологается. 2То есть являющейся элементом l2.

87

откуда в силу (7.12) получаем

Из (7.13) и (7.14) получаем, что (f; 'k) = ck для любого номера k: Остается доказать, что f является единственным элементом L2(E);

удовлетворяющим всем условиям теоремы. Пусть g любой другой элемент L2(E); удовлетворяющий всем условиям теоремы. Из неравенства

Но из равенства (g; 'k) = ck и из аксиом скалярного произведения вытекает, что

kf gk = (f g; f g) = kfk2 2(f; g) + kgk2 = 0:

Но это означает, что разность f g представляет собой нулевой элемент L2(E); то есть f g. Теорема полностью доказана.

88

Заключение

Теория функций действительного переменного является одним из наиболее важных предметов, изучаемых на Физико - математических факультетах высших педагогических учебных заведений. С понятиями множества, действительного числа, функции, предела, непрерывности функции, измерения множеств, которые составляют содержание этого предмета, учитель постоянно встречается в своей работе. Нельзя вести преподавание школного курса математики на необходимом научном уровне, не зная основ теории функций действительного переменного, идеями которой теперь пронизаны все области математики.

89

Литература

1.Босс В. Лекции по математике. Т.5: Функциональный анализ - М., КомКнига, 2005.

2.Давыдов Н. А., П. П. Коровкин, В. Н. Никольский. Сборник задач по математическому анализу - М., "Просвещение 1973.

3.Дьяченко М.И., Ульянов П.Л. Мера и интеграл. Факториал, 2002.

4.Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.,Наука, 1977.

5.Макаров И. П. Допонительные главы математического анализа, М., "Просвещение 1968.

6.Садовничий В.А. Теория операторов. Изд-во МГУ, 1986.

7.Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. М.,"Наука"1968.

8.Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. М., УЧПЕДГИЗ, 1961.

90