ТФДП

не совпадает ни с одним из записанных чисел. Получили противоречие с тем, что были выписаны все числа из интервала (0; 1), и этим доказали теорему.

1.4. Понятие мощности множества. Сравнение мощностей.

Пусть A и B два эквивалентных множества. В этом случае говорят, что они имеют одинаковую мощность.

Таким образом, мощность это то общее, что есть у любых двух эквивалентных между собой множеств.

Для конечных множеств понятие мощности совпадает с привычным понятием числа элементов множества. Пишут: card(A) = n для множества из n элементов.

Мощность множества натуральных чисел (т.е. любого счетного множества) обозначается символом @0 (читается "алеф нуль").

Мощность множества действительных чисел интервала (0; 1) называется континуумом и обозначается либо @, либо символом c.

Примеры (множеств мощности континуум).

1.[0; 1] [ 1; 1]

x 2 [0; 1] $ y = 2x 1 2 [ 1; 1]: Это биекция; обратное

отображение: y 2 [ 1; 1] $ x = y +2 1 2 [0; 1].

2.(0; 1) [0; 1] т.к. [0; 1] = (0; 1) Sf0; 1g (0; 1)-см. свойство 5)

3.(0; 1) R1 Эквивалентность устанавливается биекцией x 2 R1 $ y = 1 arctan x + 12 2 (0; 1)

Теорема. Множество E всех последовательностей n1; n2; :::; ni; :::

натуральных чисел имеет мощность континуума.

Доказательство. Для доказательства теоремы установим взаимно однозначное соотвествие между данным множеством

E= (n1; n2; :::; ni; :::)

имножеством всех чисел полуинтервал 0 < 1.

Как уже известно, каждое число из полуинтервала (0; 1] можно разложить едиственным способом в существенно бесконечную двоичную дробь:

13

и обратно, каждая существенно бесконечная двоичная дробь (1:5) определяет единственное число из полуинтервала (0; 1]. Заметим, что так как у существенно бесконечной дроби не может быть в периоде 0, то при любом N найдутся такие k > N , что ak = 1. Кроме того, задание двоичной дроби (1:5) равносильно заданию последовательности

тех значений k, для которых ak = 1, ибо все остальные двоичные знаки равны нулю. Таким образом, существует взаимно однозначное соотвествие между множеством всех чисел полуинтервала (0; 1] и множеством

K = (k1 < k2 < ::: < ki:::)

всех последовательностей (1:6). Поэтому множество K имеет мощность континуума. Заметим, наконец, что формулы

n1 = k1; n2 = k2 k1; :::; ni = ki ki 1; :::

устанавливают взаимно однозначное соотвествие между множествами E и K, и, следовательно, E имеет мощность континуума.

§2. Точки и множества метрического пространства RN

2.1. Определение метрического пространства, основные примеры.

Наряду с изученными операциями объединения, пересечения и т.д. множеств далее важным будет определение расстояния между элементами одного множества. Введение такой операции приводит к понятию метрического простанства.

Определение 2.1. Метрическим пространствомназывается пара

(X; ); состоящая из некоторого множества (пространства) X элементов (точек) и расстояния, т.е. однозначной, неотрицательной, действительной функции (x; y) : X X ! R 0, называемой расстоянием между элементами (или метрикой) и удовлетворяющей следующим трем условиям:

1)(x; y) = 0 , x = y (аксиома тождества);

2)(x; y) = (y; x) (аксиома симметрии);

3)(x; y) + (y; z) (x; z) (аксиома треугольника).

14

Примеры.

1. Множество действительных чисел с расстоянием

(x; y) = jx yj

образует метрическое пространство R1:

2. Множество упорядоченных наборов из действительных чисел x = (x1; x2; : : : ; xN ) с расстоянием

называется N-мерным арифметическим евклидовым простанством RN . Справедливость аксиом 1), 2) для RN очевидна. Докажем справедливость

3). Для этого используем неравенство Коши-Буняковского:

N N N

XX X

справедливость которого доказывается рассмотрением квадратного трехчлена

который принимает лишь неотрицательные значения. Поэтому его дискриминант D 0; т.е.

N !2 N N

XX X

откуда получается (2.1). Тогда

15

то есть доказали требуемое свойство 3) (x; z) (x; y) + (y; z).

3. Рассмотрим то же самое множество упорядоченных наборов N чисел (x1; x2; : : : ; xN ); но расстояние определим формулой

также является метрическим пространством, обозначаемым RN1.

5. Рассмотрим множество C[a; b] непрерывных функций x(t), заданных на отрезке [a; b]: Для двух функций x(t); y(t) расстояние определим равенством:

(x; y) = max jx(t) y(t)j:

t2[a;b]

Первые две аксиомы очевидны. Проверим третью. Для 8t 2 (a; b) справедливо

jx(t) z(t)j = jx(t) y(t) + y(t) z(t)j jx(t) y(t)j + jy(t) z(t)jmax jx(t) y(t)j+ max jy(t) z(t)j ) jx(t) z(t)j (x; y) + (y; z) ) max jx(t) z(t)j (x; y) + (y; z) ) (x; z) (x; y) + (y; z);

что и требовалось доказать.

Далее в основном будет рассматриваться N-мерное арифметическое пространство RN с элементами x = (x1; : : : ; xN ):

16

p

Обозначим jxj = x21 + : : : + x2N модуль (длина) вектора.

Если x; y 2 RN ; то расстояние (x; y) тогда равно jx yj =

p

(x1 y1)2 + : : : + (xN yN )2. Очевидно, что неравенство треугольника принимает вид jx yj jxj + jyj:

2.2. Множества в RN :

В этом разделе рассматривается метрическое пространство RN с

s

Открытым шаром с центом в точке x радиуса r называется

множество

B(x; r) = fy 2 RN : (y; x) < rg:

В дальнейшем для шара с центром в нуле будем использовать обозначение

B(0; r) Br.

Замкнутым шаром с центом в точке x радиуса r называется

множество

B(x; r) = fy 2 RN : (x; y) rg:

Брус в RN (N–мерный прямоугольный параллелепипед в RN ). Под промежутком Ia;b на числовой оси будем понимать одно из

следующих множеств: интервал (a; b), отрезок [a; b], полуинтервалы (a; b] и [a; b) и пустое множество (если b < a в случае отрезка или если b a в случае интервала и полуинтервала).

Пусть a = (a1; : : : ; aN ); b = (b1; : : : ; bN ). Тогда брусом (N-мерным промежутком) называется множество

Pa;b = fx = (x1; : : : ; xN ) 2 RN : xk 2 Iak;bk ; k = 1; : : : ; Ng:

Другое краткое обозначение

Pa;b = Ia1;b1 : : : IaN ;bN

прямое произведение промежутков. В частности, может оказаться, что

Pa;b = ;.

Пример. Пусть N = 2: Тогда a = (a1; a2); b = (b1; b2) и пусть Ia1;b1 = (a1; b1]; Ia2;b2 = (a2; b2]. Тогда

Pa;b = fx = (x1; x2) 2 R2 : x1 2 Ia1;b1 ; x2 2 Ia2;b2 g =

17

= fx = (x1; x2) 2 R2 : a1 < x1 b1; a2 < x2 b2g:

Соответствующий брус приведен на рисунке 10.

Если 8k = 1; : : : ; N выполняется bk ak = d > 0, то есть брус имеет все одинаковые ребра, то Pa;b называется кубом с ребром d.

2.3. Сходимость последовательности точек из RN :

Пусть fxng1n=1 последовательность точек из RN : xn = (xn1 ; : : : ; xnN ); n = 1; 2; : : : : Пусть x0 = (x01; : : : ; x0N ) 2 RN .

Определение 2.2. Будем говорить, что что последовательность fxng сходится к x0 при n ! 1 и писать xn ! x0 (n ! 1) или

lim xn = x0, если (xn; x0) ! 0 при n ! 1.

n!1

(xn; xm) < "; 8m; n n("):

Ясно, что fxng фундаментальная , fxnkg фундаментальная при 8k = 1; 2; : : : ; N.

Теорема Коши. Для того, чтобы 9 lim xn необходимо и

n!1

достаточно, чтобы fxng была фундаментальной.

Это свойство выражает полноту пространства RN .

Схема доказательства. fxng фундаментальная , fxnkg -

фундаментальная при 8k = 1; 2; : : : ; N , 9x0 = lim xn; k = 1; : : : ; N ,

k n!1 k

jxn x0j ! 0(n ! 1); т.е. lim xn = x0:

§3. Открытые и замкнутые множества в RN

3.1. Замкнутые множества в RN :

Пусть F RN :

Определение 3.1. Точка x 2 RN называется точкой прикосновения множества F , если для 8" > 0 9 y 2 F : (y; x) < ".

Иначе: x 2 RN точка прикосновения, если 8" > 0 пересечение шара B(x; ") с F не пусто.

18

Определение 3.2. Замыканием множества F называется множество всех его точек прикосновения.

Обозначение: F -замыкание множества F .

Свойства замыкания.

1)F F ;

2)Если F1 F2; то F 1 F 2;

3)F = F ;

SS

4) F1 F2 = F 1 F 2.

Доказательство.

1) Если x 2 F , то для 8" > 0 в определении 1 можно брать y = x; то есть 8x 2 F является точкой прикосновения. Следовательно, x 2 F . Итак,F F .

2) Пусть F1 F2. Тогда для 8x 2 F 1 и 8" > 0 найдем y 2 F1 F2 : (x; y) < ". Но так как y 2 F2, то это означает, что x 2 F 2. Итак,

F1 F 2.

3)так как F F ; 2) ) F F . Покажем обратное. Пусть x 2 F .

Тогда для 8 " > 0 9 y 2 F : (y; x) < 2" . Но для y 2 F 9 z 2 F : (z; y) < 2" :

Следовательно (z; x) = (z y)+(y x)) (z y)+ (y x) < 2" +2" = ",

где z 2 F . Значит, x 2 F . Итак, F F . Из этих включений вытекает, что F = F .

Вывод. Операция замыкания, повторенная дважды, не дает

SS

F1 F2 F 1 F 2.

Таким образом, утверждение доказано.

Следствие.

nn

[[

т.е. замыкание конечного объединения множеств равно объединению

19

замыканий этих множеств.

Для доказательства достаточно применить свойство 4) n раз.

Вопрос. Верно ли это свойство для счетной суммы множеств? Ответ. Вообще говоря, нет (см. пример ниже).

T T

Упражнение. Верна ли формула F1 F2 = F 1 F 2?

строгим: F1 = (0; 2); F2 = (2; 1):

Определение 3.3. Множество F RN называется замкнутым,

если F = F .

Поскольку всегда F F , то можно иначе сказать: замкнутое множество F -это такое, которое содержит все точки прикосновения.

Примеры. 1). F = [a; b] = fx 2 R1 : a x bg-замкнутое множество из R1; F = F ; G = (a; b) - не является замкнутым; G = [a; b] 6= G (включение G G -строгое).

Брус P fx; ag = fy 2 RN : (yk; xk) ak; k = 1; : : : ; Ng; шар

B(x; r) = fy 2 RN : (y; x) rg -замкнутые множества.

Теорема 1.

1) Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.

2)Сумма конечного числа замкнутых множеств замкнута.

Доказательство.

T

(1). Пусть F = F и F = F . Покажем, что F = F: Достаточно

проверить, что F F (обратное верно всегда). Для x 2 F имеем: для

8 " > 0 9 y 2 TF ; (y; x) < ", то есть для 8 ) y 2 F ; (y; x) < ":

Замечание. Cумма бесконечного числа замкнутых множеств может быть незамкнута:

Пример.Fk = k1 ; 1 k1 ; k = 2; 3; 4; : : :

k=2

Теорема 2. Замыкание любого множества F RN есть замкнутое множество в RN :

20

Доказательство. Знаем что,F = F , то есть для T = F имеем T = T то есть T - замкнуто.

Определение 3.4. Точка x 2 RN называется предельной точкой

Замечание. Всякая предельная точка является точкой прикосновения.

Теорема 3. Точка x 2 RN будет предельной точкой множества

F , 9fyng1n=1; yn 2 F ; yn 6= x; n = 1; 2; : : : ;

2. Обратно, если верно (3.3), то для 8" > 0 имеем 9n(") 2 N : (yn; x) < "; 8n n("); при этом yn 6= x. Достаточно положить, например, y = yn(").

Определение 3.5. Точка x 2 F называется изолированной, если 9"0 > 0 в шаре B(x; "0) нет точки y 2 F , отличной от x.

Теорема 4. Пусть x -точка прикосновения множества F . Тогда либо x 2 F -изолированная точка множества, либо x предельная точка множества F .

Следствие. Если обозначить через F 0 множество всех предельных точек для F , то верна формула:

F = F [F 0;

то есть замыкание множества получается добавлением к нему всех его предельных точек.

Вывод. Замкнутое множество содержит все свои предельные точки.

Доказательство (теоремы 4). Для 8" > 0 9 y 2 F : (y; x) < "

Есть две логические возможности:

1. 9"0 > 0 : в (3.3) обязательно yx при всех " 2 (0; "0]. Это означает, что

21

x 2 F -изолированная точка.

2. При 8" > 0 в (3.3) можно взять y 6= x. Это значит, что x -предельная точка F .

3.2. Открытые множества в RN :

Определение 3.6. Точка x называется внутренней точкой множества

G, если 9r > 0 : B(x; r) G.

Итак, x 2 G -внутренняя точка, если существует ее окрестность, лежащая в G.

Обозначим G0 -множество всех внутренних точек в G. Ясно, что G0 G; может оказаться, что G0 = ; (например, если G- конечное или счетное множество).

Определение 3.7. Множество G RN называется открытым, если G0 = G (т.е. все точки множества G -внутренние).

Иначе: G открыто, если для 8x 2 G найдется r > 0 : B(x; r) G.

Примеры открытых множеств.

1.G = (a; b) R1- интервал на оси.

2.G = B(x0; r) = fx 2 RN : (x; x0) < rg -открытый шар в RN

3.G = (a1; b1) (a2; b2) = fx = (x1; x2) 2 R2 : x1 2 (a1; b1); x2 2 (a1; b2)g-

открытый прямоугольник на плоскости.

Теорема 5. Пусть G RN . Тогда G -открыто , F = RN n G -замкнуто.

Итак, G -открыто тогда и только тогда, когда его дополнение замкнуто.

Доказательство.

1. Если G открыто, то для 8x 2 G = RN n F найдется r > 0 : B(x; r) G; B(x; r) TF = ;. Это значит, что любая точка x 2 RN n F не является точкой прикосновения для F , то есть x 2 RN n F . Итак, RN n F RN n F ) F F . Обратное верно всегда: F F . Следовательно F = F то есть F -замкнуто.

2. Пусть F замкнуто, то есть F = F . Тогда RN n F = RN n F и, значит, любая точка x 2 RN nF = G не является точкой прикосновения для F ,то

1.Объединение любого семейства открытых множеств есть открытое множество.

22