ТФДП

существует такое элементарное множество B, что

(A4B) < ":

S

Напомним, что A4B = (A n B) (B n A):

Для доказательства теоремы 5 необходимо доказать следующую лемму.

Лемма. Для любых двух множеств A и B

j (A) (B)j (A4B):

Доказательство леммы. Так как A B S(A4B), то, в силу

теоремы 3,

(A) (B) + (A4B):

Если (A) > (B); то (A) (B) (A4B): Если же (B)(A); то доказательство следует из включения B A S(A4B): Лемма доказана.

Доказательство теоремы 5.

Достаточность. Пусть 8" > 0 существует элементарное

множество B:

(A4B) < ":

Тогда согласно лемме

Так как

(E n A)4(E n B) = A4B;

(доказать!) то аналогично имеем

Из неравенств (4.8) и(4.9), учитывая, что

0(B) + 0(E n B) = 0(E) = 1;

получаем

j (A) + (E n A) 1j < 2":

Отсюда, в силу произвольности "; получаем

(A) + (E n A) = 1;

43

то есть A измеримо.

Необходимость . Пусть A измеримо, то есть (A)+ (EnA) = 1: Выбрав " > 0 произвольно, найдем такие покрытия множеств A и EnA системами прямоугольников fBng и fCng; что

X (Bn) (A) + 3"

n

[\

44

Поэтому

(A4B) (P ) + (Q) < ":

Итак, если A измеримо, то при 8" > 0 9 такое элементарное множество B, что (A4B) < "; что и требовалось доказать.

Итак мы определили класс ME множеств, называемых измеримыми, и функцию (меру Лебега) на этом классе. Далее докажем следующие утверждения.

1)Совокупность ME измеримых множеств замкнуто относительно операции взятия конечных или счетных объединений и пересечений.

2)Функция является -аддитивной на ME.

Теорема 6. Объединение и пересечение конечного числа измеримых множеств является измеримым множеством.

Доказательство. Доказательство достаточно провести для двух множеств.

Пусть множества A1 и A2 измеримые. Тогда 8" > 0 9 такие элементарные множества B1 и B2, что

(A14B1) < 2"; (A24B2) < 2":

Так как

[ [ [

(A1 A2)4(B1 B2) (A14B1) (A24B2)

(доказать!), то

[[

45

Следствие. Разность и симметрическая разность двух измеримых множеств измеримы.

S

Теорема 7. Если A1; : : : ; Ak попарно непересекающиеся измеримые множества, то

nn

[X

( Ak) = (Ak):

k=1 k=1

Доказательство. Опять рассмотрим n = 2: Для других конечных n доказательство получается методом математической индукции.

Выберем произвольное " > 0 и такие элементарные множества B1 и

B2, что

(A14B1) < "; (A24B2) < ": (4:12)

SS

Положим A = A1 A2 и B = B1 B2: Множество A измеримо в силу теоремы 6. Так как A1 и A2 не пересекаются, то

\[

B1 B2 (A14B1) (A24B2)

Так как на совокупности элементарных множеств мера аддитивна, то из (4.13) и (4.14) )

0(B) = 0(B1) + 0(B2) 0(B1 \B2) (A1) + (A2) 4":

S

Из включения A4B (A14B1) (A24B2) и леммы к теореме 5 следует:

(A) 0(B) (A4B) 0(B) 2" (A1) + (A2) 6":

Так как " произвольное, то отсюда следует

(A) (A1) + (A2):

Поскольку в силу теоремы 3 имеем

(A) (A1) + (A2);

46

то окончательно получаем

(A) = (A1) + (A2):

Так как A1; A2; A измеримы, то здесь можно заменить на и теорема доказана.

Теорема 8. Объединение и пересечение счетного числа измеримых множеств является измеримым множеством.

n 1

A0n = An n [ Ak:

k=1

1

Ясно, что A = S A0n, причем множества A0n попарно не пересекаются. В

n=1

силу теоремы 6 и следствия из нее все множества A0n измеримы. В силу теоремы 7 и определения верхней меры, при любом конечном n

n=1

Поскольку

A4B (C4B) [( [ A0n);

n>N

47

то из (4.15) и (4.16) вытекает

(A4B) < ":

В силу теоремы 5 отсюда следует измеримость множества A.

Так как дополнения измеримых множеств измеримы, то утверждение теоремы относительно пересечений вытекает из равенства

\[

Теорема 8 является обобщением теоремы 6 на случай счетного числа множеств. Следующая теорема представляет собой соответствующее обобщение теоремы 7.

Теорема 9. Если fAng последовательность попарно непересекающихся

S

измеримых множеств и A = An; то

n

X

(A) = (An):

n

Доказательство. В силу теоремы 7, при любом N

n=1

Из (4.17) и (4.18) вытекает утверждение теоремы.

Установленное в теореме 9 свойство меры называется ее счетной аддитивностью, или -аддитивностью. Из -аддитивности вытекает следующее свойство меры, называемое непрерывностью.

Теорема 10. Если A1 A2 : : : последовательность

T

вложенных друг в друга измеримых множеств и A = An, то

n

(A) = lim (An):

n!1

48

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай A = , так как общий случай сводится к этому заменой An на An n A: Тогда

[[

A1 = (A1 n A2) (A2 n A3) : : : ;

: : :

[[

=n

Так как ряд (4.19) сходится, то его остаток (4.20) стремится к нулю при n ! 1: Таким образом,

(An) ! 0 при n ! 1;

что и требовалось доказать.

Следствие. Если A1 A2 : : : возрастающая последовательность измеримых множеств и

[

A = An;

n

то

(A) = lim (An):

n!1

Для доказательства достаточно перейти от множеств An к их дополнениям и воспользоваться теоремой 10.

Итак, мы распространили меру с элементарных множеств на более широкий класс множеств, называемых измеримыми, замкнутый относительно операций объединения и пересечения счетного числа множеств. Построенная мера является на этом классе множеств - аддитивной. Установленные выше теоремы позволяют составить представление о совокупности всех измеримых по Лебегу множеств.

Так как всякое открытое множество, принадлежащее E; можно представить как объединение конечного или счетного числа открытых прямоугольников, то есть измеримых множеств, то, в силу теоремы 8, все открытые множества измеримы. Замкнутые множества суть дополнения

49

открытых, следовательно, они тоже измеримы. Согласно теореме 8, измеримыми должны быть и все те множества, которые могут быть получены из открытых и замкнутых с помощью конечного или счетного числа операций взятия счетных объединений и пересечений. Можно показать, однако, что этими множествами не исчерывается совокупность всех измеримых по Лебегу множеств.

Замечание 1. Выше мы рассматривали на плоскости только те множества, которые являются подмножествами единичного квадрата E = f0 x; y 1g: Нетрудно освободиться от этого ограничения, например, следующим образом. Представив всю плоскость как сумму квадратов Enm = fn x n + 1; m y m + 1g (n; m

целые), мы будем говорить, что плоское множество A измеримо, если

T

его пересечение Anm = A Enm с каждым из этих квадратов измеримо,

P

и ряд (Anm) сходится. При этом мы положим по определению

n;m

1

X

(A) = (Anm):

n;m=1

Очевидно, что все свойства меры, устаноленные выше, переносятся на этот случай.

Замечание 2. По аналогии с теорией Лебега,построенной для плоских множеств, строится теория лебеговой меры в трехмерном пространстве, и т. д., то есть в любом евклидовом пространстве конечной размерности. В каждом из таких случаев используется один и тот же алгоритм:

1.Определяется мера простейших множеств.

2.Определяется мера на конечном объединении этих множеств.

3.Далее проводится обобщение на измеримые по Лебегу множества.

Пример неизмеримого по Лебегу множества.

Построим на окружности неизмеримое по Лебегу множество. Пусть C окружность длины 1, некоторое иррациональное

число. Отнесем к одному классу те точки окружности, которые могут быть переведены одна в другую поворотом на угол n (n 2 Z): Эти классы состоят из счетного числа точек и поэтому число классов несчетно.

Пусть o множество, состоящее из представителей классов. Покажем, что o неизмеримо. Пусть n множество, получаемое

50

из o поворотом на угол n : Легко видеть, что все n попарно непересекающиеся множества и их объединение дает C. Если o

n= 1

Но все n имеют одинаковую меру, отсюда следует ( n) = ( o): Если( o) 6= 0 ), то ряд (4.21) расходится. Если ( o) = 0 ) сумма ряда (4.21) равна 0 (а не 1), откуда следует, что o неизмеримое.

§5. Измеримые функции

5.1. Определение и основные свойства измеримых функций.

Определение 5.1. Функция f(x), определенная на измеримом множестве E, называется измеримой, если для любого числа a множество E(f(x) > a); состоящее из тех точек x 2 E; для которых f(x) > a, измеримо (по Лебегу). То есть, измеримо множество

E(f(x) > a) = fx 2 E : f(x) > ag:

Из определения видно, что функция f(x); определенная на множестве меры нуль, всегда измерима. Это следует из того, что E(f(x) > a) является подмножеством E меры нуль ) измеримо.

Лемма 2. Функция f(x) будет измеримой, если 8a 2 R измеримо одно из следующих множеств:

E(f(x) a); E(f(x) < a); E(f(x) a):

Доказательство следует из представлений

1

E(f(x) a) = \ E(f(x) > a k1);

k=1

51

E(f(x) < a) = E n E(f(x) a);

1

E(f(x) a) = \ E(f(x) < a + k1);

k=1

а также из того, что само E измеримо, пересечение измеримых множеств измеримо и дополнение измеримого множества до всего E измеримо.

5.2. Арифметические операции над измеримыми функциями. Теорема 1. Если f(x); определенная на измеримом множестве

в одной точке множества E:

Доказательство. Функция f(x)+k измерима, так как E(f(x)+k > a) = E(f(x) > a k); а последнее измеримо по определению.

Измеримость kf(x) получается аналогично в силу E(kf(x) > a) =

E(f(x) > ka ), если k > 0 и E(kf(x) > a) = E(f(x) < ka ); если k < 0. Если k = 0, то 0 f(x) = 0 = const ) E(0 f > a) = E; если a < 0; и

a > 0, и E(f1 > a) = E(f > a1 ); если f(x) < 0; a > 0: Если a < 0, то знаки неравенств во вторых скобках заменяются на обратные. Теорема

доказана.

Лемма 4. Если на измеримом множестве E определены две измеримые функции f(x) и g(x), то множество E(f(x) > g(x)) измеримо.

Доказательство. Перенумеруем все рациональные числа: r1; : : : ; rn; : : : :

52