матем.4контр

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Приведем без доказательства некоторые тождества, применяемые при решении уравнений (при их применении следует учитывать условия ОДЗ):

1)sin arcsin x cos arccos x x ;

2)tg arctgx ctg arcctgx x ;

3)cos arcsin x sin arccos x 1 x2 ;

4)arcsin x arccos x 2 ;

5)arctgx arcctgx 2 ;

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

11

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

сти определения функций arccos x и tgx, получаем ОДЗ: x 1;0 0;1 .

Далее,

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

12

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Ответ. 6 421 . 25

3.Решение тригонометрических уравнений

3.1.Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими называются тригонометрические уравнения, в которых тригонометрическая функция в первой степени с единичным коэффициентом приравнивается действительному числу. Такие уравнения непосредственно приводят к решению (если оно есть). Напомним формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:

cos x a; x arccos a 2 n, a 1; sin x a; x 1 n arcsin a n, a 1; tgx a; x arctga n, a ;

ctgx a; x arcctga n, a .

Здесь а область значений числа a определяется свойствами тригонометрических функций (в дальнейшем, если не сказано обратного, будем считать, что k, l, m, n ). Целочисленные параметры в различных множествах решений одного уравнения можно обозначать как разными, так и одной буквой. В тех же случаях, когда элементы множеств сравниваются между собой, а также при решении тригонометрических систем для обозначения целочисленных параметров следует использовать различные буквы.

sin x a, cos x a имеют более простой вид, который полезно запомнить (или, что полезнее, понять их смысл – например, из тригонометрического круга).

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

13

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Примечание 5. Не может быть зачтено решение задачи, если при решении простейшего уравнения, например, sin x 13 , в качестве ре-

шения указывается значение x 1 n arcsin 13 m, т.к. n и m обо-

значают различные целые числа, а приведѐнная формула включает в себя также решения уравнения sin x 13 .

Примечание 6. Также не может быть зачтено решение уравнения, если в ответе присутствует такая запись, как, например:

Все тригонометрические уравнения и системы с помощью преобразований сводятся, как правило, к решению одного или нескольких про-

стейших уравнений.

Пример 8. Решить уравнения

8а. 2 cos(x3 1) 1;

Решение.

Ответ. x 3 1 2 n.

3

8b. cos 2x 3sin x 1;

Решение.

Используем формулу косинуса двойного угла: cos 2x 1 2sin 2 x.

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

14

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

cos 2x 3sin x 1;

1 2sin 2 x 3sin x 1;

2 sin 2 x 3sin x 2 0;

Решаем полученное уравнение как квадратное относительно sin x.

sin x 3 5 ; 4

Ответ. x n; x 2 n. 3

Примечание 7. Для решения тригонометрических уравнений необходимо хорошо знать основные тригонометрические формулы. Напри-

мер, формула cos 2x cos2 x sin 2 x должна держаться в памяти и в виде cos 2x 2cos2 x 1, и в виде cos 2x 1 2sin2 x . Также полезно помнить, что cos 2x (cos x sin x)(cos x sin x) , а

1 sin 2x (cos x sin x)2 , 1 sin 2x (cos x sin x)2.

3.2. Однородные тригонометрические уравнения первого порядка

Однородными относительно sin x и cos x называются уравнения ви-

да

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

15

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

a0 sinn x a1 sinn 1 x cos x a2 sinn 2 x cos2 x ...an 1 sin x cosn 1 x an cosn x 0 ,

где a0 , a1 ,..., an – действительные числа. Сумма степеней синуса и ко-

синуса в каждом слагаемом левой части уравнения одинакова и равна числу n, называемому показателем однородности.

Если a0 = 0, то, очевидно, корни уравнения cos x 0 являются одними

из корней исходного уравнения. Далее, полагая и разделив обе части уравнения на cos x , получим снова однородное уравнение (с показателем однородности n 1).

tgx : tgx ba .

Пример 9. Решить уравнение 3 sin x cos x 0.

Решение.

3 sin x cos x 0; cos x 3 sin x;

1 ;

3

n.

Ответ. x n. 6

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

16

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

3.3. Однородные уравнения второго и высших порядков

Если показатель однородности n 2, решение не меняется, но име-

ет свои особенности, разберем их на примерах. Пример 10. Решить уравнение

3sin 2 2x 4sin 2x cos 2x 4 cos 2 2x 0.

Решение. Равносильное исходному уравнение 3tg 2 x 4tgx 4 0 решаем как квадратное относительно tgx, оно дает два действительных

решения: tgx 2, tgx 23 .

Ответ. x arctg 2 n, x arctg 23 m.

Уравнения, не являющиеся на первый взгляд однородными и содержащие свободные члены (числа), могут быть сведены к однородным с

Уравнения, левая часть которых есть однородное выражение относительно sin x и cos x с порядком однородности n 3 , а правая часть есть d sin x (или d cos x ) сводятся к однородным третьего порядка таким же способом.

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

17

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Пример 12. Решить уравнение

2sin3 x 3sin 2 x cos x 13sin x cos 2 x 6cos x.

2tg 3 x 9tg 2 x 13tgx 6 0.

Произведем замену t tgx. Тогда уравнение примет вид:

2t 3 9t 2 13t 6 0.

Как известно из курса алгебры, если уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то его следует искать среди дро-

Примечание 8. Способ нахождения рациональных корней уравнений высших степеней, описанный в последней задаче, является стандартным для курса алгебры, следует иметь его ввиду в том числе и при решении задач этого задания. Также обращаем внимание на способ деления многочленов друг на друга «уголком» – в случае, если этот способ малознаком читателю, следует изучить его отдельно.

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

18

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

3.4. Решение уравнений вида sin kx cos mx 0.

Уравнения вида sin kx cos mx 0 ( k m, иначе уравнение стано-

вится однородным первого порядка) решаются сведением с помощью формул приведения к одной тригонометрической функции, т. е.,

менением формул, преобразующих сумму (разность) косинусов (синусов) в произведение.

Пример 13. Решить уравнение cos 5x sin 7x 0.

Решение.

3.5. Решение уравнений вида F sin x cos x;sin x cos x 0.

Уравнения вида F sin x cos x;sin x cos x 0 сводятся к алгебраическим заменой t sin x cos x . Из тождества

sin x cos x 2 1 2sin x cos x

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

19

2012-2013 уч. год, №4, 10 кл. Математика. Тригонометрические функции и уравнения

Пример 14. Решить уравнение sin x 2sin 2x cos x 1.

Примечание 9. Часто, используя замену, учащиеся забывают, что требовалось найти x, а не t, и не указывают правильного ответа. Такая

небольшая, казалось бы, ошибка на вступительных экзаменах может свести на нет всѐ решение.

2012, ЗФТШ МФТИ, Сергеев Фѐдор Олегович

20