§17 КОМБИНАТОРИКА С ПОВТОРЕНИЯМИ
17.1.Сколько имеется двузначных чисел, у которых a. среди цифр есть хоть одна пятерка?
b. цифра десятков меньше цифры единиц? c. цифра десятков меньше цифры единиц?
17.2.Есть 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?
17.3.В меню столовой имеется 7 первых, 9 вторых и 4 третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед из трех блюд (первое, второе и третье)?
17.4.На вершину горы ведут пять дорог. Сколькими способами турист может подняться на гору и спуститься с нее? А если спуск и подъем происходят по разным путям?
17.5.Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? А если нет ограничений на цвет выбранных квадратов?
17.6.Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?
17.7.Сколько существует различных семизначных телефонных номеров?
17.8.Сколько различных натуральных делителей имеет число n = 27 ×310 ×715 ×119 ?
17.9.Сколько различных натуральных делителей имеет число n = 24 ×32 ×1015 ×119 ?
17.10.Сколько есть пятизначных чисел, оканчивающихся двумя семерками?
17.11.Сколько есть шестизначных чисел, начинающихся с двух одинаковых цифр?
17.12.Сколько есть четырехзначных чисел, в каждом из которых нет одинаковых
цифр?
17.13.Сколько есть шестизначных чисел, в каждом из которых нет одинаковых цифр, а вторая и четвертая цифры нечетны?
17.14.Сколько есть шестизначных чисел, в записи которых две цифры 1 и по одной цифре 2, 3, 4, 5?
17.15.На железнодорожной станции имеется m светофоров. Сколько может быть дано различных сигналов, если каждый светофор имеет три состояния: красный, желтый и зеленый?
17.16.Имеется m лампочек для освещения рекламного щита, причем каждая лампочка может загораться либо зеленым, либо красным цветом. Найти число различных способов освещения щита, если лампочки загораются независимо друг от друга.
17.17.Сколько есть пятизначных чисел, в десятичной записи которых есть хотя бы одна четная цифра?
17.18.Сколько есть пятизначных чисел, в десятичной записи которых есть одинаковые цифры?
17.19.Сколько есть четных пятизначных чисел, в каждом из которых нет одинаковых цифр?
1. Пусть A и B - конечные множества, состоящие из n и m элементов соответственно. Сколько существует бинарных отношений, определенных на паре множеств A и B ?
17.20. Чему равно число бинарных отношений, определенных на множестве из n элементов?
17.21.Показать, что существует
множестве A ={a1,a2 ,K,an}.
17.22. Показать, что существует множестве A ={a1,a2 ,K,an}.
n(n+1) |
симметричных бинарных отношений на |
2 2 |
|
2n(n−1) |
рефлексивных бинарных отношений на |
33
§18 КОМБИНАТОРИКА БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ
18.1.Сколькими способами можно выписать в колонку фамилии 30 учеников?
18.2.Сколькими способами можно усадить за круглым столом 6 человек?
18.3.Сколько существует различных семизначных телефонных номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?
18.4.Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2,…, 9, в которых цифра 3 занимает третье место, а цифра 5 — пятое?
18.5.Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2, . . ., 9, в которых цифра 1 следует непосредственно за цифрой 0?
18.6.Сколько есть перестановок цифр 0, 1, 2, . . ., 9, в которых цифра 0 занимает одно из первых трех мест, а цифра 1 — одно из последних четырех мест?
18.7.На полке нужно расставить три пятитомных собрания сочинений так, чтобы все тома каждого из собраний сочинений стояли подряд, хотя необязательно в порядке следования номеров томов. Сколькими способами это можно сделать?
18.8.Сколькими способами можно рассадить за пятнадцатью партами 15 юношей
и15 девушек так, чтобы за каждой партой юноша сидел слева, а девушка — справа?
18.9.Девять человек обменялись рукопожатиями. Сколько сделано рукопожатий?
18.10.Из 20 рабочих нужно составить бригаду из 5 человек. Сколько различных по составу бригад можно составить?
18.11.Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал пяти различных цветов? А если одна из полос должна быть красной?
18.12.Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: английского, немецкого, русского, французского и испанского? (Каждый словарь позволяет осуществлять односторонний перевод.)
18.13.Сколькими способами 5 девушек и 3 юношей могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?
18.14.Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. Во скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? Во скольких случаях ровно один туз? Во скольких случаях не менее двух тузов? Ровно два туза?
18.15.Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найти число таких номеров, если используются 32 буквы русского алфавита.
18.16. Пусть X ={x1, x2 ,K, xn} и |
Y ={y1, y2 ,K, ym} - |
конечные множества. |
Каково число биективных отображений |
из X в Y ? Каково |
число инъективных |
отображений из X в Y ? |
|
|
34
§19 ИДЗ
ИДЗ №1.Составить таблицу истинности для следующих формул логики высказываний. Определить, какие из них являются тавтологиями.
1.a) (A Þ (B Ù C) Û ((B Ú C) Þ A); b) (A Þ B) Ú (C Ù B) .
2.а) ((A Ù C) Þ B) Û (B Þ (A Ú C)) ; b) A Þ (B Ú (C Ù B)) .
3.а) ((A Ú C) Þ B) Û ((A Ù C) Ú B) ; b) A Þ ((B Ú C) Ù B) .
4.а) (A Þ (B Ú C) Û ((B Ù C) Þ A); b) ((A Þ B) Ú C) Ù B .
1.5. а) ((A Ú C) Þ B) Û (B Þ (A Ù C)) ; b) (A Û B) Ú (C Ù B) .
6.а) ((A Ù C) Þ B) Û ((A Ú C) Ú B) ; b) A Û (B Ú (C Ù B)).
7.а) (A Þ (B Ù C)) Û ((B Ú C) Þ A) ; b) A Û ((B Ú C) Ù B).
8.а) ((A Ù C) Þ B) Û (B Þ (A Ú C)) ; b) ((A Û B) Ú C) Ù B .
9.а) ((A Ú C) Þ B) Û ((A Ù C) Ú B) ; b) (A Þ B) Ú (C Ù B) .
10.а) (A Þ (B Ú C)) Û ((B Ù C) Þ A) ; b) A Þ (B Ú (C Ù B)) .
11.а) ((A Ú C) Þ B) Û (B Þ (A Ù C)) ; b) A Þ ((B Ú C) Ù B) .
12.а) ((A Ù C) Þ B) Û ((A Ú C) Ú B) ; b) ((A Þ B) Ú C) Ù B .
13.а) (A Þ (B Ù C)) Û ((B Ú C) Þ A) ; b) (A Û B) Ú (C Ù B) .
14.а) ((A Ù C) Þ B) Û (B Þ (A Ú C)) ; b) A Û (B Ú (C Ù B)).
15.а) ((A Ú C) Þ B) Û ((A Ù C) Ú B) ; b) A Û ((B Ú C) Ù B).
16.а) (A Þ (B Ú C)) Û ((B Ù C) Þ A) ; b) ((A Û B) Ú C) Ù B .
35
17.а) ((A Ú C) Þ B) Û (B Þ (A Ù C)) ; b) (A Ú B) Þ (C Ù B) .
18. а) ((A Ù C) Þ B) Û ((A Ú C) Ú B) ; b) A Ú (B Þ (C Ù B)) .
19.а) (A Þ (B Ù C)) Û ((B Ú C) Þ A) ; b) A Ú ((B Þ C) Ù B) .
20.а) ((A Ù C) Þ B) Û (B Þ (A Ú C)) ; b) ((A Ú B) Þ C) Ù B .
21.а) ((A Ú C) Þ B) Û ((A Ù C) Ú B) ; b) (A Ú B) Û (C Ú B) .
22 а) (A Þ (B Ú C)) Û ((B Ù C) Þ A) ; b) A Ú (B Û (C Ù B)).
23 а) ((A Ú C) Þ B) Û (B Þ (A Ù C)) ; b) ((A Ú B) Û C) Ù B .
24а) ((A Ù C) Þ B) Û ((A Ú C) Ú B) ; b) A Ú ((B Û C) Ù B).
25а) (A Þ (B Ù C)) Û ((B Ú C) Þ A) ; b) ((A Ú B) Ù C) Þ B .
26а) ((A Ú C) Þ B) Û (B Þ (A Ù C)) ; b) (A Ú B) Ù (C Þ B) .
27.а) (A Þ (B Ú C)) Û ((B Ù C) Þ A) ; b) A Ú (B Ù (C Þ B)) .
28.а) ((A Ù C) Þ B) Û (B Þ (A Ú C)) ; b) A Ú ((B Ù C) Þ B) .
29.а) (A Þ (B Ù C)) Û ((B Ú C) Þ A) ; b) ((A Ú B) Ù C) Þ B .
30.а) ((A Ú C) Þ B) Û (B Þ (A Ù C)) ; b) (A Ú B) Ù (C Þ B) .
36
ИДЗ №2.
В следующих предложениях вместо многоточия поставить слова «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно» так, чтобы получились истинные высказывания. Ответ обосновать.
1.a) Для того чтобы последняя цифра натурального числа была равна 0, ... чтобы это число было кратно 5.
b)Для того чтобы произведение двух целых чисел было четным, ... чтобы оба числа были четными.
c)Для того чтобы четырехугольник был ромбом, ... чтобы его диагонали были перпендикулярны.
2.a) Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 20, ... чтобы один из
сомножителей был кратен 4, а второй – был кратен 5.
b)Для того, чтобы действительное число было больше 4, ... чтобы его куб был больше 64.
c)Для того чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтобы его диагонали были равны.
3.a) Для того чтобы произведение двух натуральных чисел было нечетным, ... чтобы оба
сомножителя были нечетными.
b)Для того чтобы целое число было кратно 6, ... чтобы оно было кратно 3.
c)Для того чтобы все стороны четырехугольника были равны, ... чтобы он был квадратом.
4.a) Для того чтобы два натуральных числа были кратны 6, ... чтобы их произведение было
кратно 6.
b)Для того чтобы площадь квадрата была равна 25 см2, ... чтобы его сторона была равна 5 см.
c)Для того чтобы одно из двух целых чисел было четным, ... чтобы их произведение было четным.
5.a) Для того чтобы периметр ромба был равен 20 см, ... чтобы длина его стороны была равна 5 см.
b)Для того чтобы сумма двух целых чисел была кратна 8, ... чтобы каждое из этих чисел было кратно 8.
c)Для того чтобы одно из двух целых чисел было четным, а второе было кратно 5, ... чтобы их произведение оканчивалось цифрой 0.
6.a) Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 4, ... чтобы оба эти числа были четными.
b)Для того, чтобы целое число было равно 5, ... чтобы его квадрат был равен 25.
c)Для того чтобы четырехугольник был параллелограммом, ... чтобы его диагонали в точке пересечения делились пополам.
7.a) Для того чтобы натуральное число было кратно 6, ... чтобы это число было составным.
b)Для того чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтобы его диагонали были
перпендикулярны.
c) Для того чтобы сумма целых чисел была нечетной, ... чтобы одно из них было четным, и другое – нечетным.
8.a) Для того чтобы целое число было кратно 3, ... чтобы оно было кратно 6.
b)Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 7, ... чтобы одно из чисел было кратно 7.
c)Для того чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтобы его диагонали были перпендикулярны.
9.a) Для того чтобы прямоугольник был квадратом, ... чтобы его диагонали были
перпендикулярны.
b)Для того чтобы два целых числа были кратны 3, ... чтобы их произведение было кратно 9.
c)Для того чтобы квадрат действительного числа был равен 4, ... чтобы это число было равно
2.
10.a) Для того чтобы одно из целых чисел было кратно 3, а второе – кратно 5, ... чтобы их произведение было кратно 15.
b)Для того чтобы площадь квадрата была равна 900 см2, ... чтобы длина его стороны была равна 30 см.
c)Для того чтобы целое число было кратно 2, ... чтобы его квадрат был кратен 4.
11.a) Для того чтобы квадрат целого числа был меньше 4, ... чтобы это число было меньше 2.
b)Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 24, ... чтобы один из
сомножителей был кратен 4, а второй сомножитель кратен 6.
37
c)Для того чтобы треугольник был равносторонним, ... чтобы он имел два равных угла.
12.a) Для того чтобы квадрат действительного числа был больше 9, ... чтобы это число было больше 3.
b)Для того чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтобы его диагонали были перпендикулярны.
c)Для того чтобы целое число было кратно 3 и 5, ... чтобы оно было кратно 15.
13.a) Для того чтобы четырехугольник был ромбом, ... чтобы его диагонали были
перпендикулярны.
b) Для того чтобы одно из целых чисел было четным, ... чтобы их произведение было кратно
6.
c) Для того чтобы хотя бы одно из двух действительных чисел было равно 0, ... чтобы их произведение было равно 0.
14.a) Для того чтобы у параллелограмма диагонали были равны, ... чтобы он был прямоугольником.
b)Для того чтобы целое число было кратно 6, ... чтобы оно было кратно 3.
c)Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 3, ... чтобы каждое из этих чисел было кратно 3.
15.a) Для того чтобы стороны квадрата были равны 5 см, ... чтобы его периметр был равен 20 см.
b)Для того чтобы действительное число было больше 8, ... чтобы его квадрат был больше 64.
c)Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 10, ... чтобы одно из этих чисел было кратно 2, а второе – кратно 5.
16.a) Для того чтобы одно из целых чисел было кратно 3, а другое - кратно 7, ... чтобы их
произведение было кратно 21.
b)Для того чтобы модуль числа был больше 1, ... чтобы это число было больше 1.
c)Для того чтобы диагонали четырехугольника были перпендикулярны, ... чтобы этот четырехугольник был ромбом.
17.a) Для того чтобы целое число было кратно 35, … чтобы оно было кратно и 5 и 7.
b)Для того чтобы диагонали параллелограмма были перпендикулярны, ... чтобы он был ромбом.
c)Для того чтобы два целых числа были нечетными, чтобы их сумма была четной.
18.a) Для того чтобы последней цифрой целого числа была цифра 0, ... чтобы это число было кратно 5.
b)Для того чтобы целое число было кратно 4, ... чтобы оно было кратно 2.
c)Для того чтобы диагонали выпуклого четырехугольника были равны, ... чтобы этот
четырехугольник был прямоугольником.
19.a) Для того чтобы целое число было кратно 8, ... чтобы оно было кратно 2.
b)Для того чтобы произведение двух целых чисел оканчивалось цифрой 0, ... чтобы одно из чисел было кратно 2, а второе – кратно 5.
c)Для того чтобы диагонали четырехугольника в точке пересечения делились пополам, ...
чтобы этот четырехугольник был параллелограммом.
20.a) Для того, чтобы произведение двух целых чисел было кратно 7, ... чтобы оба сомножителя были кратны 7.
b)Для того, чтобы в треугольнике все углы были равны, ... чтобы этот треугольник был равносторонним.
c)Для того, чтобы два целых числа были кратны 5, ... чтобы их сумма была кратна 5.
21.a) Для того чтобы диагонали параллелограмма были равны, ... чтобы он был
прямоугольником.
b)Для того чтобы два целых числа были кратны 4, ... чтобы их произведение было кратно 16.
c)Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 12, ... чтобы один из сомножителей был кратен 3, а второй – кратен 4.
22.a) Для того чтобы четырехугольник был ромбом, ... чтобы он был параллелограммом.
b)Для того чтобы одно из двух целых чисел было четным, ... чтобы их произведение было четным.
c)Для того чтобы два целые числа были кратны 7, ... чтобы их произведение было кратно 49.
23.a) Для того чтобы целое число было кратно 4 и кратно 5, ... чтобы оно было кратно 20.
b) Для того чтобы целое число было составным, ... чтобы оно было кратно 9.
38
c)Для того чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтобы он был параллелограммом.
24.a) Для того чтобы действительное число было меньше 2, ... чтобы его квадрат был меньше 4.
b)Для того чтобы четырехугольник был квадратом, ... чтобы его диагонали в точке пересечения делились пополам.
c)Для того чтобы разность целых чисел была нечетной, ... чтобы они имели различную четность.
25.a) Для того чтобы два целые числа были кратны 3, ... чтобы их произведение было кратно 3.
b)Для того чтобы диагонали четырехугольника были равны, ... чтобы он был квадратом.
c)Для того чтобы одно из целых чисел было кратно 7, ... чтобы их произведение было кратно
7.
26.a) Для того чтобы четырехугольник был ромбом, ... чтобы он был квадратом.
b)Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 3, ... чтобы одно из этих чисел было кратно 3.
c)Для того чтобы два целых числа были кратны 15, ... чтобы их сумма была кратна 15.
27.a) Для того чтобы параллелограмм был прямоугольником, ... чтобы один из его углов был
прямым.
b)Для того чтобы произведение двух целых чисел было кратно 6, ... чтобы один из сомножителей был кратен 3.
c)Для того чтобы модуль числа был больше 2, ... чтобы это число было больше 2.
28.a) Для того чтобы два целых числа были четными, ... чтобы их произведение было кратно 4.
b)Для того чтобы одно из целых чисел было кратно 7, ... чтобы их произведение было кратно
7.
c) Для того, чтобы диагонали четырехугольника в точке пересечения делились пополам, ...
чтобы этот четырехугольник был ромбом.
29.a) Для того чтобы треугольник был равнобедренным, ... чтобы медиана, проведенная из его вершины, являлась одновременно и его высотой.
b)Для того чтобы сумма двух целых чисел была четной, ... чтобы оба числа были четными.
c)Для того чтобы одно из целых чисел было кратно 2, а другое – кратно 7, ... чтобы их произведение было кратно 14.
30.a) Для того чтобы стороны четырехугольника были равны, ... чтобы он был квадратом.
b)Для того чтобы квадрат числа был меньше 36, ... чтобы число было меньше 6.
c)Для того чтобы разность двух целых чисел была четной, ... чтобы эти числа имели одинаковую четность.
39
ИДЗ №3.
Для предикатов P(x) на ¡ выяснить истинность высказываний x P(x) и x P(x) , дать обоснование. Сформулировать отрицание этих высказываний.
1.a) P(x) = (x2 > 2x + 8) ; b) P(x) = (x2 + 8 ³ 2x) .
2.a) P(x) = (x2 + 6 ³ 5x) ; b) P(x) = (x2 + 2 > x) .
3.a) P(x) = (x2 + x < 6) ; b) P(x) = (2x2 + 3 > x) .
4.a) P(x) = (x2 £ x + 2) ; b) P(x) = (3x2 + 2 ³ x) .
5.a) P(x) = (2x2 > x +1) ; b) P(x) = (2x2 +1 > x) .
6.a) P(x) = (x2 ³ 4x + 5) ; b) P(x) = (x2 + 5 > 4x) .
7.a) P(x) = (x2 < 2x + 3) ; b) P(x) = (x2 + 3 ³ 2x) .
8.a) P(x) = (x2 £ 5x + 6) ; b) P(x) = (x2 + 5 ³ 3x) .
9.a) P(x) = (x2 + 2 ³ 3x) ; b) P(x) = (x2 + 7 > 5x) .
10.a) P(x) = (x2 + 6 > 7x) ; b) P(x) = (x2 + 5 ³ x) .
11.a) P(x) = (3x > x2 + 2) ; b) P(x) = (2x £ x2 + 5) .
12.a) P(x) = (6x ³ x2 + 5) ; b) P(x) = (3x2 +1 > 2x) .
13.a) P(x) = (4x > x2 + 3) ; b) P(x) = (2x2 +1 ³ x) .
14.a) P(x) = (5x £ x2 + 4) ; b) P(x) = (x < 2x2 + 3) .
15.a) P(x) = (x2 + x ³ 6) ; b) P(x) = (2x < 3x2 + 4) .
16.a) P(x) = (2x + 8 ³ x2 ) ; b) P(x) = (x £ x2 + 2) .
17.a) P(x) = (x2 + x ³ 6) ; b) P(x) = (x £ x2 + 6) .
18.a) P(x) = (x2 - x £ 6) ; b) P(x) = (3x < 4x2 +1) .
19.a) P(x) = (2 > x2 + x) ; b) P(x) = (x2 + 5 ³ 2x) .
40
20.a) P(x) = (x2 > 3x) ; b) P(x) = (x2 + 4 £ 3x) .
21.a) P(x) = (x ³ x2 ) ; b) P(x) = (x < x2 +1) .
22.a) P(x) = (x2 + 8 > 6x) ; b) P(x) = (x2 +10 ³ 6x) .
23.a) P(x) = (5x > x2 ) ;
b) P(x) = (4x £ x2 + 7) .
24.a) P(x) = (x2 > 4) ; b) P(x) = (x2 + 4 ³ 2x) .
25.a) P(x) = (x2 £ 9) ; b) P(x) = (3x £ x2 + 9) .
26.a) P(x) = (x2 £ x +12) ; b) P(x) = (x £ 2x2 +1) .
27.a) P(x) = (x2 + x ³ 12) ; b) P(x) = (x £ 3x2 +1) .
28.a) P(x) = (x2 £ 25) ; b) P(x) = (x2 + 6 ³ 3x) .
29.a) P(x) = (x2 ³ 4x) ; b) P(x) = (x2 + 7 ³ 2x) .
30.a) P(x) = (x2 + 3x £ 4) ; b) P(x) = (x2 + 8 ³ 4x) .
41
ИДЗ №4
Докажите, что для произвольных множеств А, В, и С выполняется равенство. Дайте иллюстрацию на диаграммах Эйлера.
1.(A È B) \ (A Ç C) = (B \ A) È (A \ C) .
2.(A \ (C \ B)) È (A Ç C) = A .
3.(A \ B) È (A Ç C) = A \ ((A Ç B) \ C) .
4.(A \ B) È (B Ç C) = (A È B) \ (B \ C) .
5.((A È C) \ B) Ç C = ((A Ç C) È C) \ B .
6.(A È B) \ (B Ç C) = (A \ B) È (B \ C) .
7.(A Ç (B È C)) = A \ ((A \ B) Ç (A \ C)) .
8.(A Ç B) Ç C = A \ ((A \ B) È (A \ C)) .
9.A \ (B \ C) = (A \ B) È (A Ç C) .
10.(A \ C) È (B \ C) = ((A È B) È C) \ C .
11.((A È C) \ B) È C = (A \ B) È C .
12.(A È B) È (B ÇC) = (A \ B) È (B \ C) È (B ÇC) .
13.(A \ C) Ç (A Ç B) = (B Ç A) \ (A Ç C) .
14.(A Ç B) È (A \ C) = (A \ (B È C)) È (A Ç B) .
15.(B \ C) È (A Ç B) = B \ (C \ A) .
16.(A \ B) \ C = (A \ B) \ (C \ B) .
17.(A \ B) È (C \ A) = (A È C) \ (A Ç B) .
18.(A Ç B) È (B \ C) = (B \ (A È C)) È (A Ç B) .
19.(A \ C) È (A È C) È (B Ç C) = (A È C) È (B Ç C) .
20.(A Ç B) È (B ÇC) È (A Ç C) = ((A È B) Ç C) È (A Ç (B È C)) .
21. |
(AС\ |
) È ((B |
ÇC |
) A\ ) =A( ÈB( ÇC )) \A( ÇC ) . |
22. |
(AС\ |
) ÈB |
= ((A |
ÈB )C\ ) ÈB . |
23.(A \ C) È (A Ç B) = A \ (C \ B) .
24.B = (B Ç C) È (B \ (C \ A)) .
25. |
(AС\ |
) ÈA( |
ÇB ) =A |
\C( B\ ) . |
26. |
(AС\ |
) \B( |
C\ ) =A( |
C\ )B\ . |
27.(A È B) È C) \ C = (A È B) \ C .
28.((A È B) \ C) È B = (A \ C) È B .
29.(AСÈ )A\ ( BÇ ) =C( A\ ) ÈA( B\ ) .
42
ИДЗ №5.
Для данного отображения f : X → Y выяснить, обладает ли оно: 1) свойством инъективности; 2) свойством сюръективности; 3) свойством биективности. Если оно не
обладает |
каким-либо из этих свойств, |
изменить множества X или |
Y |
так, чтобы f |
|||
обладало |
указанным свойством. Для |
«измененного» отображения |
f , |
обладающего |
|||
свойством биективности, указать его обратное f −1 . |
|
|
|||||
1. |
f : R → R : x a x2 −1; |
|
|
|
|
|
|
2. |
f : R → R : x a x2 + 4 ; |
|
|
|
|
|
|
3. |
f : R → R : x a x2 − 2x + 5 ; |
|
|
|
|
||
4. |
f : R → R : x a x2 + 9 ; |
|
|
|
|
|
|
5. |
f : R → R : x a 1− x2 ; |
|
|
|
|
|
|
6. |
f : R → R : x a x2 + 2x ; |
|
|
|
|
||
7. |
f : R → R : x a x2 − 6x ; |
|
|
|
|
||
8. |
f : R → R : x a x2 − 2x + 2 ; |
|
|
|
|
||
9. |
f : R → R : x a x2 − 4x ; |
|
|
|
|
||
10. |
f : R → R : x a |
x2 + 4x ; |
|
|
|
|
|
11. |
f : R → R : x a |
x2 − 6x +1; |
|
|
|
||
12. |
f : R → R : x a |
x2 + 6x + 2 |
; |
|
|
|
|
13. |
f : R → R : x a |
x2 + 4 ; |
|
|
|
|
|
14. |
f : R → R : x a |
4 − x2 ; |
|
|
|
|
|
15. |
f : R → R : x a |
2x − x2 ; |
|
|
|
|
|
16. |
f : R → R : x a |
4x − x2 ; |
|
|
|
|
|
17. |
f : R → R : x a |
x2 − 2x ; |
|
|
|
|
|
18. |
f : R → R : x a |
x2 + 6x ; |
|
|
|
|
|
19. |
f : R → R : x a |
x2 − 6x ; |
|
|
|
|
|
20. |
f : R → R : x a |
x2 + 2x + 7 |
; |
|
|
|
|
21. |
f : R → R : x a |
x2 − 2x −1; |
|
|
|
||
22. |
f : R → R : x a |
x2 + 4x +1; |
|
|
|
||
23. |
f : R → R : x a |
x2 − 4x − 9 |
; |
|
|
|
|
24. |
f : R → R : x a |
x2 + 2x + 5 |
; |
|
|
|
|
25. |
f : R → R : x a |
x2 − 4x − 4 |
; |
|
|
|
|
26. |
f : R → R : x a |
x2 + x − 2 ; |
|
|
|
|
|
27. |
f : R → R : x a |
−x2 + 2x ; |
|
|
|
|
|
28. |
f : R → R : x a |
−x2 − 2x + 3 |
; |
|
|
||
29. |
f : R → R : x a |
x2 + x − 6 ; |
|
|
|
|
|
30. |
f : R → R : x a |
x2 + 5x . |
|
|
|
|
|
43
ИДЗ №6.
Для бинарного отношения ρ на Z выяснить, обладает ли оно свойствами рефлексивности, антирефлексивности, симметричности, антисимметричности, асимметричности и транзитивности:
1.x ρ y Û (x > 2 Ù y > 2)
2.x ρ y Û ((x - y) > 5)
3.x ρ y Û (xM4 Ù yM4)
4.x ρ y Û (x × y > 0)
5.x ρ y Û (x >1 Ù y < 3)
6.x ρ y Û (x >1 Ú y < 3)
7.x ρ y Û (x >1 Ú y < 2)
8.x ρ y Û (xM5 Ù yM5)
9.x ρ y Û ((x - y) - нечетное число);
10.x ρ y Û (max{x, y} < 9)
11.x ρ y Û (x < 5 Ù y < 5)
12.x ρ y Û (x × y > -1)
13.x ρ y Û (x × y - четное число);
14.x ρ y Û (x = y )
15.x ρ y Û ((y - x) > -1)
16.x ρ y Û ( x - y < 3)
17.x ρ y Û ((x × y)M3 Ù (x - y)M3)
18.x ρ y Û ((x × y)M3 Ú (x - y)M3)
19.x ρ y Û (x ³ 5 Ú y £ 5)
20.x ρ y Û (x ³ 3 Ú y < 3)
21.x ρ y Û (xM4 Ù yM5)
22.x ρ y Û (x < 3 Ú y < 3)
23.x ρ y Û ((x - y) > -4)
24.x ρ y Û (x > 0 Ù y < 3)
25.x ρ y Û ((x + y)M5)
26.x ρ y Û ( x - y > 1)
27.x ρ y Û (max{x, y} ³10)
28.x ρ y Û (min{x, y} > 6)
29.x ρ y Û (min{x, y} ³ -5)
30.x ρ y Û ((x + y)M5 Ú (x - y)M5)
44
ИДЗ №7.
Доказать, что следующее бинарное отношение ρ на Z является отношением эквивалентности и найти Z ρ :
1.x ρ y (2x − 7 y)M5 ;
2.x ρ y (x + 5y)M6 ;
3.x ρ y (3x + y)M4 ;
4.x ρ y (2x + 5y)M7 ;
5.x ρ y (4x + y)M5 ;
6.x ρ y (5x − y)M4 ;
7.x ρ y (8x − y)M7 ;
8.x ρ y (3x + 7 y)M5 ;
9.x ρ y (3x − 7 y)M4 ;
10.x ρ y (x + 6y)M7 ;
11.x ρ y (8x + 2y)M5 ;
12.x ρ y (x − 7 y)M6 ;
13.x ρ y (3x + 4y)M7 ;
14.x ρ y (x − 6y)M5;
15.x ρ y (3x + 5y)M4 ;
16.x ρ y (5x + 2y)M7 ;
17.x ρ y (x + 4y)M5 ;
18.x ρ y (5x + y)M6 ;
19.x ρ y (x − 8y)M7 ;
20.x ρ y (x + 3y)M4 ;
21.x ρ y (3x − 8y)M5 ;
22.x ρ y (4x + 3y)M7 ;
23.x ρ y (4x + 6y)M5 ;
24.x ρ y (x − 5y)M4 ;
25.x ρ y (6x + y)M7 ;
26.x ρ y (2x + 8y)M5 ;
27.x ρ y (7x − y)M6 ;
28.x ρ y (7x − 3y)M4 ;
29.x ρ y (9x − 2y)M7 ;
30.x ρ y (3x + 2y)M5 .
45
ИДЗ №8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Найти сумму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
+ . |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ ..+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1× 4 |
|
|
4×7 |
|
7 ×10 |
|
|
|
(3n - 2) ×(3n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+...+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2×5 |
|
|
5×8 |
|
|
|
|
|
|
|
8×11 |
|
|
|
|
(3n -1)×(3n + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
+...+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1×5 |
|
5×9 |
|
|
|
9×12 |
|
|
|
|
(4n - 3)×(4n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+...+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2×7 |
|
|
|
|
|
7 ×12 |
|
|
|
|
12×17 |
|
|
|
(5n - 3)×(5n + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+...+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2×9 |
|
|
|
9×16 |
|
|
16× 23 |
|
|
(7n - 5) ×(7n + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ ...+ |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1×6 |
|
6×11 |
11×16 |
|
(5n - 4)×(5n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2×7 |
|
|
|
7 ×12 |
|
|
|
12×17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(5n - 3)×(5n + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
1 |
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ...+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3×8 |
|
|
8×13 |
|
13×18 |
(5n - 2)×(5n + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ...+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4×9 |
|
|
9×14 |
|
|
14×19 |
(5n -1)×(5n + 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+...+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1×9 |
|
|
|
9×17 |
|
|
|
|
|
|
17 × 25 |
|
|
(8n - 7)×(8n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+ ... |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3×11 |
|
|
11×19 |
19× 27 |
(8n - 5) ×(8n + 3) |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
+ ...+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5×13 |
|
|
|
13× 21 |
|
|
21× 29 |
|
|
(8n - 3) ×(8n + 5) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ ...+ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4×7 |
|
|
|
7 ×10 |
|
|
|
10×13 |
|
(3n +1) ×(3n + 4) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+...+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1×7 |
|
|
|
7 ×13 |
|
|
|
|
13×17 |
|
|
(6n - 5) ×(6n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
15. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+...+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3×9 |
|
9×15 |
|
15× 21 |
|
|
(6n - 3)×(6n + 3) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
+ ... |
+ |
|
1 |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5×11 |
|
|
11×17 |
|
17 × 23 |
(6n -1) ×(6n + 5) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
1 |
|
|
|
+ ...+ |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1×12 |
|
12× 23 |
|
|
23×34 |
|
(11n -10)×(11n +1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
18. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
+ ...+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3×14 |
|
14× 25 |
|
|
25×36 |
|
(11n -8) ×(11n + 3) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
19. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
|
+ ...+ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5×16 |
|
16× 27 |
|
|
27 ×38 |
|
|
(11n - 6) ×(11n + 5) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
20. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+...+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1×9 |
|
|
|
9×17 |
|
|
|
17 × 25 |
|
|
(8n - 7)×(8n +1) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
46
21. |
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
+ ...+ |
1 |
|
|
|
; |
||||||||||
3×11 |
|
11×19 |
|
19× 27 |
|
(8n - 5) ×(8n + 3) |
|
|
|||||||||||||||||||||
22. |
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
+ |
|
1 |
|
|
+ ...+ |
1 |
|
|
|
; |
||||||||||
5×13 |
|
|
13× 21 |
|
21× 29 |
|
(8n - 3) ×(8n + 5) |
||||||||||||||||||||||
23. |
|
1 |
|
|
+ |
1 |
|
|
|
+ |
1 |
|
|
|
+...+ |
1 |
|
|
|
; |
|||||||||
7 |
×15 |
|
15× 23 |
|
23×31 |
|
|
(8n -1)×(8n + 7) |
|
||||||||||||||||||||
24. |
|
1 |
+ |
|
1 |
+ |
|
|
|
|
1 |
+ ...+ |
|
1 |
; |
|
|||||||||||||
4 |
×7 |
7 ×10 |
|
|
10×13 |
(3n +1) ×(3n + 4) |
|
||||||||||||||||||||||
25.31×7 + 7 ×111 + 111×15 +...+ (4n -1)1×(4n + 3) ;
26. |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+...+ |
1 |
; |
|
5×8 |
8×11 |
|
11×14 |
(3n + 2) ×(3n + 5) |
|||||
27.7 ×111 + 111×15 + 151×19 + ...+ (4n + 3)1×(4n + 7) ;
28.4×111 + 111×18 + 181× 25 + ...+ (7n - 3)1×(7n + 4) ;
29. |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
|
+ ...+ |
|
1 |
; |
||||
3×10 |
|
10×17 |
|
17 × 24 |
|
|
(7n - 4) ×(7n + 3) |
|||||||
30. |
1 |
|
+ |
1 |
+ |
1 |
|
+ ...+ |
|
1 |
. |
|||
5×12 |
|
|
12×19 |
|
19× 26 |
|
|
(7n - 2) ×(7n + 5) |
||||||
47