§4 Доказательства
4.1.Логичны ли следующие рассуждения:
a.Я пойду в театр или останусь дома. Дома я не останусь. Значит, я пойду в
театр.
b.Если множество простых чисел конечно, то существует наибольшее простое число. Наибольшего простого числа не существует. Следовательно, множество простых чисел бесконечно.
c.Заработная плата будет расти, если будет инфляция. Если будет инфляция, то увеличится цена жизни. Заработная плата будет расти. Значит, увеличится цена жизни.
d.Если идет снег, то трудно вести машину. Если трудно вести машину, то я опоздаю или совсем не приеду. Идет снег. Значит, я опоздаю.
e. Если все посылки истинны и рассуждение проведено по законам логики, то и заключение истинно. В данном рассуждении заключение ложно. Следовательно, не все посылки истинны или рассуждение проведено не по правилам логики.
f. Пусть m, n - данные действительные |
числа. Если m ¹ 0 или n ¹ 0 , то |
|
m2 + n2 > 0 . Если m = 0 и n = 0 , то выражение |
m − n |
не имеет смысла. Неверно, что |
|
m + n |
|
m2 + n2 > 0 . Значит, выражение mm +− nn не имеет смысла.
g.Если сегодня вечером будет мороз, то я пойду на каток. Если завтра будет оттепель, то я пойду в музей. Сегодня вечером будет мороз или завтра будет оттепель. Следовательно, я пойду на каток или в музей.
h.Если сегодня вечером будет мороз, то я пойду на каток. Если завтра будет оттепель, то я пойду в музей. Сегодня вечером будет мороз или завтра будет оттепель. Следовательно, я пойду на каток и в музей.
i.Если я пойду завтра на первое занятие, то должен буду встать рано, а если пойду вечером на танцы, то лягу спать поздно. Если я лягу спать поздно, а встану рано, то буду вынужден довольствоваться пятью часами сна. Я просто не в состоянии обойтись пятью часами сна. Следовательно, я должен пропустить первое занятие или не ходить на танцы.
4.2.Найти ошибку в доказательствах следующих утверждений:
a. Утверждение. Функция f (x) = x2 + x – нечетная.
Доказательство. Рассмотрим произвольный x Î R : f (x) = x2 + x, f (-x) = x2 - x , т.е.
f (x) ¹ f (-x) . Следовательно, функция не является четной, значит, f (x) - нечетная функция.
b. Утверждение. Функция y = sin(x) - возрастающая.
Доказательство. Известно, что функция f (x) является убывающей, если для
произвольных |
значений |
переменной |
x1, x2 |
при x1 < x2 |
выполняется неравенство: |
||||||
f (x ) > f (x ) . |
Рассмотрим |
значения |
x |
= 0, x |
= π . В этом |
случае |
sin(0) < sin |
æ π |
ö |
, т.е. |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
ç |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
è 2 |
ø |
|
|
функция y = sin(x) не является убывающей, значит, она является возрастающей.
c. Утверждение. Если у четырехугольника все стороны различны, то его диагонали не перпендикулярны.
Доказательство. Если у четырехугольника все стороны различны, то он не является ромбом. У ромба диагонали перпендикулярны. Следовательно, диагонали рассматриваемого четырехугольника не перпендикулярны.
d. Утверждение. Пусть a, b, c, d, m, n Î Z . Если (a × d = b × c) Ù (c × m = d × n) , то
(a × m = b × n) .
8
Доказательство. |
ìa × d = b × c |
Þ (a × d)× (c × m) = (b × c) × (d × n) Þ |
í |
||
|
îc × m = d × n |
|
Þ(a × m) × (d × c) = (b × n) × (d × c) Þ a × m = b × n .
e.Утверждение. Четырехугольник является ромбом тогда и только тогда, когда его противоположные стороны попарно параллельны.
Доказательство. Если четырехугольник является ромбом, то он является параллелограммом, а у параллелограмма противоположные стороны попарно параллельны. С другой стороны, предположим, что стороны четырехугольника не параллельны. В этом случае он не является параллелограммом, а, значит, не является ромбом.
f.Утверждение. Пусть a, b, c Î Z . aMc Ú bMc Þ (a + b)Mc .
Доказательство. |
aMc Û $k Î Z (a = kc) , |
bMc Û $l Î Z (b = lc) . |
Тогда |
a+ b = kc + lc = (k + l)c Û (a + b)Mc .
g. Утверждение. Пусть a, b, c Î Z . abMc Þ aMc .
Доказательство. abMc Û $k Î Z (ab = kc) Þ a = |
k |
c Þ aMc . |
|
|
|||
|
|
b |
|
4.3. |
Пусть a, b, c, d Î Z . Доказать: |
||
a.aMc Ù bMc Þ (a + b)Mc ;
b.aMb Þ "c Î Z ((a ×c)Mb) ;
c.aMb Ù bMc Þ aMc ;
d.(a - b)Mc Ù bMc Þ aMc ;
e.aMc Ù (a + b)Mc Þ bMc ;
f.aMb Ù cMd Þ (a ×c)M(b × d) .
4.4. |
|
|
Доказать методом от противного, что следующие формулы являются |
|||||||||||||||||||||
тавтологиями: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
a. A Ù (A Þ B) Þ B ; |
e. ((A Þ B) Ù |
|
|
) Þ |
|
; |
||||||||||||||||||
B |
A |
|||||||||||||||||||||||
b. |
|
|
Þ (A Þ B) ; |
|
|
|
|
|
|
|
f. (A Þ B) Ú (B Þ C) ; |
|||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
c. ((A Þ B) Ù (B Þ C)) Þ (A Þ C) ; |
g. (A Û |
|
) Ú ( |
|
Ú B) ; |
|||||||||||||||||||
B |
A |
|||||||||||||||||||||||
d. (A Þ B) Ú (A Ù |
|
|
) ; |
|
|
h. (A Ù B) Þ (A Û B) . |
||||||||||||||||||
B |
||||||||||||||||||||||||
4.5. |
|
|
Доказать следующие утверждения методом от противного: |
|||||||||||||||||||||
a. aMc Ù |
|
|
Þ |
|
|
|
|
, где a, b, c Î Z ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
bMc |
(a + b)Mc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b. |
|
Þ |
|
Ú |
|
, где a, b, c Î Z ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
(a + b)Mc |
aMc |
bMc |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
c. Если прямая |
a параллельна плоскости α |
и через нее проходит плоскость β , |
||||||||||||||||||||||
которая пересекает α |
|
|
по прямой b , то a Pb . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
d. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
4.6. Доказать следующие законы логики двумя способами: с использованием таблицы истинности и без ее использования.
a.(A Ù B) Û (A Ú B) ;
b.(((A Ú B) Ú B) Ù C) Û C ;
c.((A Ù B) Ú B) Û (A Ú B) ;
d.((A Ù B) Þ A) Û и;
e.((A Ù B) Þ C) Û (A Þ (B Þ C)) .
9
§5 Множества.
5.1. Записать множества перечислением элементов:
a.A = { x x N x ≤ 6} ;
b.B = { x x N x < 49 xM7} ;
c.С = { x x N x ≤ 30 xM3 ¬(xM2)} ;
d.D = { x x R x2 − 4x − 5 = 0} ;
e.E = { x x R x2 − 2 x −3 = 0} ;
f.F = {x x Z x2 ≤10} ;
g. F = { x |
|
(xпростое− |
число ) 1x≤ ≤ 9} . |
|
5.2. Записать множества, используя различные формы их задания:
a.Множество всех целых чисел, кратных 5;
b.Множество всех нечетных целых чисел;
c.Множество всех целых чисел, не превосходящих по модулю 3;
d.Множество действительных корней уравнения x3 − 2x2 −8x = 0 .
5.3. Укажите среди следующих множеств пустые:
a.Множество прямоугольников с неравными сторонами;
b.Множество прямоугольников с неравными диагоналями;
c.Множество целых корней уравнения 4x2 −1 = 0 ;
d.Множество целых решений неравенства x ≤ 0 .
5.4.Среди следующих множеств найти равные:
a. {0;1;2}; |
d. {{0;1};2}; |
b. {2;0;1}; |
e. {{0;1;2}}; |
c. {1;0;1;1;2;0}; |
f. {2;{1;0}}. |
5.5.Верны ли следующие соотношения:
a. 1 {1;2} ; b. 3 {1;2}; c. 3 ;
d. ; e. ;
k.{1;2;−1} {x x3 + x2 − x −1 = 0};
l.{x x3 + x2 − x −1 = 0} {−1;2}.
5.6.Пусть A = { x x N xM5} . Определить, истинны ли высказывания:
a. 15 A ; |
d. ¬4 A ; |
|
b. 51 A ; |
e. ¬0 A ; |
|
c. −5 A ; |
f. 9 A . |
|
5.7. |
Пусть |
A - множество корней квадратного уравнения x2 − 7x +12 = 0 . |
Определить, истинны ли высказывания:
a.3 A ;
b.−5 A ;
c.10 A ;
d.4 A .
Составьте список элементов множества A .
10
5.8. |
|
|
|
Исследуйте, |
принадлежат ли числа |
- |
1 |
, |
2 |
, |
17 |
, |
3 |
, |
5 |
множеству |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
5 |
|
20 |
|
6 |
|
6 |
|
ì |
|
|
n |
2 |
+1 |
|
ü |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ï |
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
A = íx |
x |
= |
|
|
, |
n Î N ý |
. Напишите пять чисел, принадлежащих множеству |
A . |
|||||||||||
n2 |
+ 4 |
||||||||||||||||||
ï |
|
|
|
|
|
|
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
î |
|
|
|
|
|
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.9. Найти все подмножества следующих множеств:
a.{a;b;c} ;
b.{1};
c.{2;3;{1;2;3}};
d..
5.10. Пусть A – множество четырехугольников, B – множество прямоугольников, C – множество квадратов, D – множество параллелограммов, E – множество ромбов. Какие из этих множеств являются подмножествами в других?
|
5.11. |
Для |
множеств |
A = { x |
|
x Î N Ù xM6} , |
B = { x |
|
x Î N Ù xM2} , |
|||||||
|
|
|
||||||||||||||
C = |
{ |
x |
|
x Î N Ù xM2 Ù xM3 |
D = |
{ |
x |
|
x Î N Ù (xM2 Ú xM3) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
} , |
|
|
|
|
|
|
} определить, какие из них являются |
|||||
подмножествами в других. Есть ли среди них равные множества?
5.12.Привести пример множеств A,B,C и D таких, что: a. A B A B ;
b. A B B C C D ;
c. A B B D D C B = C ; d. A B A C B C ¬B C .
5.13.Пусть A – множество всех простых чисел, B – множество всех нечетных
натуральных чисел. Равны ли эти множества? Является ли какое-то из них подмножеством другого?
5.14. Пусть A – множество всех натуральных четных чисел, B – множество всех натуральных чисел, представимых в виде суммы двух нечетных натуральных чисел. Доказать, что A= B.
11
§6 Операции над множествами.
6.1.Найти A Ç B , A È B , A \ B и B \ A , если:
a. |
A = {-1;0;3;4}, B = {0;4;6}; |
g. A = [2;5], B = (3;4] ; |
|
b. |
A = {a;b;c}, B = {b;a} |
h. A = [0;2], B = {0;4;6} ; |
|
c. A = {-1;0;1}, B = {-1;{0;1};1} ; |
i. |
A = (-¥;7], B = (5;8) ; |
|
d. A = [0;2], B = [1;5]; |
j. |
A = (-4;+¥), B = (-¥;5] ; |
|
e. A = [1;3], B = (2;3) ; |
k. A = [1;3) È (5;7], B = [2;6] . |
||
f. |
A = [1;3], B = (2;3]; |
|
|
6.2.Найти пересечение следующих множеств:
a.Множества четных натуральных чисел и множества целых чисел, делящихся на 3;
b.Множество натуральных чисел, делящихся на 4 и множества натуральных чисел, делящихся на 6;
c. Множества корней уравнения x2 - 4x + 3 = 0 и множества корней уравнения x2 - 3x + 2 = 0 ;
d. {2m +1 m Î Z} и {3n + 2 n Î Z} .
6.3.Найти множества A и B, если
a.A \ B = {a,b} , B \ A = {c, d}, A Ç B = {x, y, z} .
b.A È B = {a,b,c, d,e, f }, A Ç B = {c, d}, A \ B = {a,e, f } .
6.4. |
|
Изобразить на плоскости |
множество |
|
точек, координаты которых |
||||||||||||||||||||
удовлетворяют условиям: |
e. x × y ³ 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ìx ³ 0 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
a. í |
|
|
|
f. |
(x |
2 |
-1)(y |
2 |
- 4) = 0 |
; |
|||||||||||||||
î y ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ìx2 |
+ y2 |
£ 1 |
; |
g. (x2 +1)(y2 - 9) = 0 |
; |
||||||||||||||||||||
b. í |
|
|
|
h. |
(x |
+1) |
2 |
+ |
(y - 4) |
2 |
= 0 ; |
||||||||||||||
îx ³ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ìx2 |
+ y2 |
£ 1 |
|
i. |
(x -10)2 + ( y - 3)2 |
= -9 ; |
|||||||||||||||||||
c. í |
|
|
|
; |
j. (x |
+ 3) |
2 |
+ |
|
|
y |
|
= 0 ; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
î y £ -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
éx2 |
+ y2 £1 |
|
k. |
|
x |
|
= |
|
y |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
d. ê |
|
|
|
; |
l. |
|
x |
|
= x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ë y £ -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6.5.На диаграммах Эйлера-Венна изобразить множества:
a. A Ç B Ç C ; |
g. A Ç (B \ C) |
|||||||||||||||
b. (A \ B) È C ; |
h. |
|
|
Ç |
|
|
Ç |
|
; |
|
||||||
A |
B |
C |
||||||||||||||
c. (A \ B) È (B \ C) ; |
i. A Ç |
|
|
Ç |
|
; |
|
|||||||||
B |
C |
|||||||||||||||
d. (A \ B) Ç (B \ C) ; |
j. (A È |
|
) Ç |
|
; |
|||||||||||
B |
C |
|||||||||||||||
e. (A È B) Ç C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k. (A È B) Ç C . |
||||||||||||||||
f. (A È B) \ C ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.6. |
Доказать, что для произвольных множеств A, B,C справедливы равенства: |
|||||||||||||||
a.(A \ B) \ C = (A \ C) \ B ;
b.(A È B) \ (A Ç B) = (A \ B) È (B \ A) ;
c.A \ (A \ B) = A Ç B ;
d.(B È C) \ A = (B \ A) È (C \ A) ;
e.B Ç (A \ B) = Æ ;
f.A \ (B È C) = (A \ B) Ç (A \ C) ;
g.A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C) ;
12
h.A È (A Ç B) = A ;
i.A Ç (A È B) = A .
6.7.Каким условиям должны удовлетворять множества A, B , чтобы a. A Ç B = A È B ;
b. (A \ B) È B = A ; c. (A È B) \ B = A .
6.8.Верны ли следующие равенства для произвольных множеств A, B,C : a. (A È B) \ B = A ;
b. A \ (B È C) = (A \ B) \ C ; c. A È (B \ C) = (A È B) \ C ; d. (A \ B) È C = (A È C) \ B ; e. (A \ B) È B = A .
Если равенство не имеет место, докажите это. В этом случае выясните, является ли одно из множеств подмножеством другого и если да – докажите это.
6.9.Доказать, что для произвольных множеств A, B,C верно: a. (A È B = Æ) Û (A = Æ Ù B = Æ) ;
b. (A \ B = A) Û (A Ç B = Æ) ; c. (A È B = A \ B) Û (B = Æ) ; d. (A = B ÈC) Þ (A \ B Ì C) ;
e. (A Ì B) Û (A È B = B) Û (A Ç B = A) ; f. C = A \ B Þ B Ç C = Æ ;
g. A \ B = A Ç B Û A = Æ ;
h. C Ì A Ç B Û C Ì AÙ C Ì B .
6.10.Доказать, что следующие условия равносильны: A Ç B = Æ ; A B ; B A .
6.11. Доказать, что для произвольных множеств A, B,C равенство (A Ç B) È C = A Ç (B È C) равносильно включению C Ì A .
6.12.Множество A состоит из n элементов, множество B – из m элементов (m>n).
Какое наибольшее и наименьшее число элементов могут содержать множества A Ç B ,
A È B , A \ B и B \ A ?
6.13.Обозначим через n(A) число элементов конечного множества A. Доказать, что n(A È B) = n(A) + n(B) + n(A Ç B) . Найти аналогичную формулу для n(A È B È C) .
6.14.Множество A состоит из студентов данной группы, знающих английский язык, множество B – из студентов, знающих немецкий язык, C – из студентов, знающих китайский язык. Охарактеризуйте множества:
a.(A È B) Ç C ;
b.A È (B Ç C) ;
c.(A È B) Ç (B ÈC) .
6.15.Из 220 школьников 163 играют в баскетбол, 175 – в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько человек одновременно играет в баскетбол и футбол?
6.16.Из 100 студентов 28 изучают английский язык, 30 – немецкий, 42 – французский, 8 – английский и немецкий, 10 – английский и французский, 5 – немецкий и французский и 3 студента изучают все три языка. Сколько студентов не изучают ни одного языка; изучают только французский язык?
6.17.Из 100 студентов 18 изучают только немецкий; немецкий, но не испанский – 23; немецкий и французский – 8; немецкий – 26; французский – 48; французский и испанский – 8; не изучают ни одного языка – 24. Сколько студентов изучают испанский язык? Сколько студентов изучают немецкий и испанский языки, но не французский?
13
Сколько студентов изучают французский язык в том и только том случае, если они не изучают испанский?
6.18.В отчете об исследовании 100 студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих иностранные языки, таково: все три языка – 5 студентов, немецкий
ииспанский – 10, французский и испанский – 8, немецкий и французский – 20, испанский
– 30, немецкий – 23, французский – 50. Инспектор, предоставляющий этот отчет, был уволен. Почему?
6.19.Лекции по химии посещают 20 студентов, лекции по психологии – 30 студентов. Найти число студентов, посещающих лекции по психологии или лекции по химии, если:
1. эти лекции проходят в одно время.
2. эти лекции проходят в различное время и 10 студентов слушают оба курса.
6.20.При обследовании читательских вкусов выяснилось, что 60% студентов читают журнал А, 50% - журнал В, 50% - журнал С, 30% - журналы А и В, 20% - журналы В и С, 30% - журналы А и С, 10% - все три журнала. Сколько процентов студентов читают в точности два журнала? Сколько процентов студентов не читают ни одного из этих журналов?
14