§10 Композиция отображений

20

§11 Обратное отображение

11.1. Выяснить, для каких из следующих отображений существуют обратные:

a.f ={(1,1);(2;3);(3;2)}, f {1;2;3}×{1;2;3};

b.f ={(1,1);(2;3);(3;3)}, f {1;2;3}×{1;3};

c. f : R → R : x a 3x − 2 ;

d.f : R → R : x a sin x ;

e.f : R ® R : x a x2 .

11.2.Показать, что для каждого из следующих отображений существует обратное

инайти его.

a.f : R ® R : x a x2 +1;

b.f : R ® R : x a x2 - 4x ;

c.f : R ® R : x a 2x−1 ;

e. f : R → R : x a cos x .

21

§12 Бинарные отношения на множестве

12.1. Укажите, какими свойствами обладает каждое из следующих отношений:

a.«перпендикулярности» на множестве прямых плоскости;

b.«пересечения» на множестве прямых плоскости;

c.«касания» на множестве окружностей плоскости;

d.“=” на множестве действительных чисел;

e.“<” на множестве действительных чисел;

f.“ ≤ ”на множестве действительных чисел;

g.«жить в одном доме» на множестве людей;

h.«быть отцом» на множестве людей.

12.2. На множестве А для каждого из следующих отношений укажите, какими свойствами оно обладает.

a.A = Z; xρ y (x − y)M2 ;

b.A = Z; xρ y x = y2 ;

c.A = Z; xρ y x2 = y2 ;

d.A = N; xρ y x2 = y2 ;

e.A = R; xρ y Û (x > 2) Ù (y < 2) ;

f.A = R; xρ y Û max{x; y} = 5 ;

g.A = R; xρ y Û min{x; y} < 3

h.A = Z; xρ y Û (x - y) > 2 ;

i.A = Z; xρ y Û x × y - нечетное число;

j.A = Z; xρ y (xM3) (yM3) ;

k.A = Z; xρ y (x + 2y)M3 ;

l.A = R; xρ y Û (x - y) < 10 ;

n.A = N; xρ y xMy ;

o.A = R; xρ y x − y ≤10 ;

p.A = Z; xρ y (2x + 3y)M5 .

12.3. На множестве N найти область значений и область определения следующих бинарных отношений и указать, какими свойствами они обладают.

a.ρ = {(1;1)} ;

b.ρ = {(1;5)};

c.ρ = {(3;5);(5;3);(3;3)};

d.ρ = {(3;5);(5;3)} .

12.4. На множестве R найти область значений и область определения следующих бинарных отношений и указать, какими свойствами они обладают.

a.ρ = [0;1]´[0;1] ;

b.ρ = [0;2]´[1;4].

12.5. На множестве M = {1;2;K;10} найти область значений и область определения следующих бинарных отношений и указать, какими свойствами они обладают.

a.xρ y Û (x - y = 8) ;

b.xρ y (x = y2 ) ;

c.xρ y Û (x × y = 10) ;

22

d. xρ y Û (x > y2 ) .

12.6.Что можно сказать об отношениях ρ−1 и ρ , если ρ :

a.рефлексивно;

b.антирефлексивно;

c.симметрично;

d.антисимметрично;

e.транзитивно.

12.7. Доказать, что объединение и пересечение двух рефлексивных отношений рефлексивно. Доказать или опровергнуть аналогичные утверждения для пар антирефлексивных, симметричных, антисимметричных, транзитивных отношений.

12.8. Доказать, что при любом отношении ρ на множестве X отношения ρ Ç ρ−1 и ρ È ρ−1 симметричны.

12.9.Доказать, что при любом отношении ρ на множестве X отношение ρ Ç ρ−1

асимметрично.

12.10.Верно ли, что любое бинарное отношение на множестве либо симметрично, либо антисимметрично? Ответ обоснуйте.

12.11.Пусть ρ - бинарное отношение на множестве A . Доказать, что:

a.ρ - рефлексивно тогда и только тогда, когда e ρ ;

b.ρ - антирефлексивно тогда и только тогда, когда e Ç ρ = Æ ;

c.ρ - симметрично тогда и только тогда, когда ρ−1 Ì ρ ;

d.ρ - антисимметрично тогда и только тогда, когда ρ−1 Ç ρ Ì e .

Какими свойствами обладает отношение τ , если: а) X ÇY = Æ ; в) X ÇY ¹ Æ ; с) X = Y .

23