§13 Отношение эквивалентности

13.1.Среди следующих отношений найти отношение эквивалентности:

a.ρ = {(1;1);(a;a);(a;2);(2;2)} Ì {1;2;a}´{1;2;a} ;

b.ρ = {(1;2);(2;1);(1;1);(2;2);(3;3)} Ì {1;2;3}´{1;2;3} ;

c.отношение перпендикулярности в множестве прямых на плоскости;

d. x; y множеству людей. xρ y x и y имеют одних и тех же родителей;

e.отношение касания на множестве окружностей;

f.отношение «учиться в одной группе» на множестве студентов.

13.2. Выяснить, являются ли следующие отношения отношениями эквивалентности на множестве A :

a.A = R; ρ = [0;3]´[0;3] ;

b.A = R; ρ ={(x; y) xy = 0} ;

c.A = R; xρ y x − y ≤10 ;

d.A = Z ´ Z; (a;b)ρ(c;d) Û a + d = b + c ;

e.A = Z ´ Z; (a;b)ρ(c;d) Û a × d = b ×c ;

f.A = N ´ N; (a;b)ρ(c;d ) Û a × d = b ×c ;

g.A = N × N; (a;b)ρ(c;d ) (a + b + c + d)M2 .

13.3. Пусть A = {1;2;3;4;5;6}. Задают ли подмножества A1 ={1;2}, A2 ={3} , A3 = {4;5;6} разбиение множества A . Приведите пример разбиения, содержащего четыре множества.

13.4. Доказать, что следующие отношения являются отношениями эквивалентности на множестве A и найти фактор-множества A / ρ :

a.A = Z; xρ y (x − y)M4 ;

b.A = Z; xρ y (x + 2y)M3 ;

c.A = R; xρ y Û x = y ;

d.A = Z; xρ y (5x −11y)M6 ;

e.A = Z; xρ y (3x + 4y)M7 ;

f.A = Z × Z; (a;b)ρ(c;d) (a = c) (b − d )M4 ;

g.A = N × N; (a;b)ρ(c;d ) (b = d) (a − c)M3.

13.5. Можно ли сказать, что множество ¢ разбито на классы семейством подмножеств {K,L}, если:

a.K – множество четных чисел, L – множество нечетных чисел.

b.K – множество четных чисел, L – множество простых чисел.

c.K – множество простых чисел, L – множество составных чисел.

d. K ={3n −1 n Z}, L ={2n −1 n Z}; e. K ={4n −1 n Z}, L = {4n +1 n Z}.

13.6.Можно ли сказать, что множество всех прямых плоскости разбито на классы семейством подмножеств {K,L,M}, если K – множество прямых, параллельных данной прямой l; L – множество прямых, перпендикулярных данной прямой l; M - множество прямых, пересекающих данную прямую l.

13.7.Найти отношение эквивалентности на множестве A , которое задает следующее разбиение множества A :

a. A = N , элементы разбиения – множество всех четных и множество всех нечетных чисел;

24

b. A - произвольное множество, разбиение состоит из одного элемента – множества

A ;

c.A - произвольное непустое множество, элементы разбиения – все одноэлементные подмножества множества A ;

d.A = R , элементы разбиения – множество всех положительных действительных чисел, множество всех отрицательных действительных чисел и множество, единственным элементом которого является число нуль.

13.8. Пусть ρ и σ - отношения эквивалентности на множестве A . Доказать, что:

a.ρ Çσ - отношение эквивалентности на множестве A ;

b.ρ−1 - отношение эквивалентности на множестве A .

13.9.Пусть ρ и σ - отношения эквивалентности на множестве A . Будет ли

ρÈσ отношением эквивалентности на множестве A ? Ответ обоснуйте.

13.10.Бинарное отношение ρ на множестве A - рефлексивно и транзитивно.

Доказать, что ρ Ç ρ−1 - отношение эквивалентности на множестве A . Является ли отношением эквивалентности отношение ρ È ρ−1 ?

13.11. Пусть на плоскости введена декартова система координат xOy . Докажите, что следующие бинарные отношения на множестве точек плоскости являются отношениями эквивалентности. Найдите соответствующие классы эквивалентности и фактор-монжества.

a.M1 (x1; y1 ) ρ M2 (x2 ; y2 ) Û x1 = x2 ;

b.M1 (x1; y1 ) ρ M2 (x2 ; y2 ) Û y1 - x1 = y2 - x2 ;

c.M1 (x1; y1 ) ρ M2 (x2 ; y2 ) Û y1 - x1 2 = y2 - x2 2 ;

d.M1 (x1; y1 ) ρ M2 (x2 ; y2 ) Û y1 × x1 = y2 × x2 ;

e.M1 (x1; y1 ) ρ M2 (x2 ; y2 ) Û ( y1 - x1 ) ΢ Ù ( y2 - x2 )Î ¢ .

Является ли отношением эквивалентности бинарные отношения:

a.M1 (x1; y1 ) ρ M2 (x2 ; y2 ) Û y1 - x1 £ y2 - x2 ;

b.M1 (x1; y1 ) ρ M2 (x2 ; y2 ) Û y2 × x1 = y1 × x2 .

13.12. Докажите, что если - сюръективное отображение, то множества f −1 (b) , где b Y , задают разбиение множества X .

13.13. Докажите, что если задано отображение f : X → Y , то следующее бинарное отношение на X : x1 ρ x2 Û f (x1 ) = f (x2 ) является отношением эквивалентности на X . Опишите классы эквивалентности относительно ρ .

25

§14 Отношение порядка

14.1. Какие из следующих отношений являются отношениями частичного, строгого и линейного порядка?

a.«Человек x не выше человека y » на множестве людей;

b.«лежать внутри» на множестве четырехугольников;

c.«перпендикулярность» на множестве прямых;

d.«касание» на множестве окружностей;

e.«быть отцом» на множестве людей;

f.xρ y Û xMy на множестве N ;

g.xρ y Û xMy на множестве Z ;

h.xρ y x − y =1 на множестве Z ;

i. xρ y x > y на множестве Z ;

j. «весить меньше» на множестве людей; k. xρ y x ≤ y на множестве R ;

l.«быть моложе» на множестве людей;

m.xρ y x = y на множестве R ;

n.ρ ={(1;1);(2;2)} на множестве {1;2}.

14.2. Найти наибольший, наименьший, максимальный и минимальный элементы следующих частично упорядоченных множеств, если они существуют:

a.xρ y Û xMy на множестве X = {2;3;4;5;6};

b.xρ y Û xMy на множестве X = {1;2;3;4;5;6};

c.xρ y Û xMy на множестве X = {2;4;8;12;24} ;

d.xρ y x ≤ y на множестве ¥ ;

e.xρ y x ≤ y на множестве [0;10) ;

f.xρ y x ≤ y на множестве (−10;10) .

14.3. Пусть U - универсальное множество. Доказать, что отношение X ρY X Y является отношением порядка на множестве U .

14.4.Доказать, что если ρ - отношение порядка (частичного, строгого, линейного) на множестве A , то ρ−1 также является отношением порядка (частичного, строгого, линейного) на множестве A .

14.5.Пусть ρ, σ - отношения порядка на множестве A . Верно ли, что отношения ρ Çσ , ρ Èσ также являются отношениями порядка?

14.6.Для следующих бинарных отношений на множестве S бесконечных числовых последовательностей с действительными членами установите, какие из них являются отношениями частичного порядка. Какие являются отношениями строгого порядка? Какие являются отношениями линейного порядка?

26

14.7. На множестве всех отображений f : R ® R введем отношение f быть больше следующим образом:

Какие из этих отношений являются отношениями частичного порядка? Задают ли они отношение строгого порядка? Задают ли они отношение линейного порядка?

14.8. Пусть X и Y - непустые подмножества в R . Будем говорить, что X «слабее» Y и писать X p Y , если:

a. "x Î X "y ÎY x < y ;

d. "x Î X $y ÎY x £ y ; e. $x Î X $y ÎY x < y ; f. $x Î X $y ÎY x £ y ; g. $x Î X "y ÎY x < y ; h. $x Î X "y ÎY x £ y .

Есть ли среди этих отношений «слабее» отношения порядка? Отношения строгого порядка? Отношения линейного порядка?

27