§15 ПОНЯТИЕ О МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВА

15.1.Пусть X - множество всех окружностей на плоскости и Y - множество всех правильных треугольников на этой плоскости. Каждому треугольнику ставят в соответствие вписанную в него окружность. Является ли это отображение взаимно однозначным?

15.2.Пусть X - множество всех окружностей на плоскости и Y - множество всех правильных треугольников, одна из сторон которых параллельна некоторой фиксированной прямой. Каждому треугольнику ставят в соответствие вписанную в него окружность. Является ли это отображение взаимно однозначным?

15.3.Пусть X - множество всех окружностей на плоскости и Y - множество всех прямоугольных треугольников, одна из сторон которых параллельна некоторой фиксированной прямой. Каждому треугольнику ставят в соответствие вписанную в него окружность. Является ли это отображение взаимно однозначным?

15.4.Пусть X - множество всех окружностей на плоскости и Y - множество всех точек этой плоскости. Каждой окружности ставят в соответствие ее центр. Является ли это отображение взаимно однозначным?

15.5.Каждому квадратному уравнению вида x2 + ax −b = 0 ( a, b - положительные числа) ставится в соответствие его положительный корень. Является ли это соответствие взаимно однозначным?

15.8.Доказать равномощность следующих множеств X и Y :

a.X = [0,2], Y = [−1;1];

b.X = [1,2], Y = [−1;5] ;

c.X и Y - окружности;

d.X - график некоторой числовой функции, Y - область определения этой функции;

e.X - прямая, Y - объединение двух параллельных прямых;

f.X - прямая, Y - объединение двух пересекающихся прямых;

i.X = [a,b], Y = (c;d ), a < b, c < d, a,b,c, d R ;

j.X = [a,b], Y = R ;

k. X - окружность единичного радиуса, Y = [0;1];

l.X - сфера с одной выколотой точкой, Y - плоскость;

m.X - множество всех рациональных чисел отрезка [0;1] , Y - множество всех

точек квадрата [0;1]×[0;1] с рациональными координатами.

15.9. Доказать, что следующие множества являются счетными:

a.N {0} ;

b.{2n −1 n N};

c.{n2 + 3n −1 n N};

d.Z ;

e.{5mn n, m N};

f.Q ;

28

g.Множество всех точек плоскости, координаты которых – целые числа;

h.Множество всех точек плоскости, координаты которых – четные числа;

i.Множество всех точек плоскости, абсцисса которых – четное число, а ордината – нечетное.

15.10.Доказать, что если X , Y - счетные множества, то множество X Y - также

счетное.

15.11.Доказать, что объединение конечного числа счетных множеств – счетное

множество.

15.12.Доказать, что если множество A - счетное, то A× A - счетное множество.

15.13.Доказать, что декартово произведение конечного числа счетных множеств – счетное множество.

15.14.Доказать, что если множество X - счетное и A X , то множество A либо

конечное, либо счетное.

15.15.Доказать, что следующие множества являются счетными:

a.Множество всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты;

b.Множество всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны, и координаты центра которых – рациональные числа;

c.Любое бесконечное множество попарно непересекающихся кругов, лежащих в одной плоскости.

d. Множество кубических уравнений ax3 + bx2 + cx + d = 0 с натуральными коэффициентами.

e. Множество кубических уравнений ax3 + bx2 + cx + d = 0 с целыми коэффициентами.

15.16. X - бесконечное множество, Y - конечное. Доказать, что множества X Y и X - равномощные.

15.17. X - бесконечное множество, Y - счетное. Доказать, что множества X Y и X - равномощные.

15.18.Пусть E - счетное множество точек на прямой. Можно ли сдвинуть это

15.19.Пусть E - счетное множество точек на окружности. Можно ли повернуть окружность вокруг центра на некоторый угол ϕ так, чтобы множество Eϕ , получившееся из E в результате поворота, не пересекалось с E ?

15.20.Доказать, что если расстояние между любыми точками множества E на прямой больше единица, то множество E конечно или счетно.

15.21.Доказать, что нельзя занумеровать множество бесконечных последовательностей, составленных из цифр 1, 2, 3.

15.22.На плоскости построено некоторое множество попарно не пересекающихся букв Г. Может ли это множество быть несчетным?

29

§16 МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

16.1.Пусть n N . Доказать равенство методом математической индукции:

a.13 + 23 + 33 + ...+ n3 = æ n(n +1) ö2 .

ç2 ÷

è ø

b. 1× 2×3 + 2×3× 4 +K + n(n +1)(n + 2) = 14 n(n +1)(n + 2)(n + 3) . c. 1×1!+ 2× 2!+K + n × n!= (n +1)!-1.

d. 12 + 22 + 32 + ...+ n2 = n(n +1)(2n +1) .

6

e. 12 + 32 + 52 +...+ (2n -1)2 = n(4n2 -1) 3

f. 13 + 33 + 53 + ...+ (2n -1)3 = n2 (2n2 -1)

g. 2×12 + 3× 22 +...+ (n +1)n2 = n(n +1)(n + 2)(3n +1) 12

h. 1× 2 + 2×3 +K + n(n +1) = n(n +1)(n + 2) . 3

i.1!0 + 2!1 +K + nn−!1 = 1- n1!

16.2.Пусть n N . Вычислить:

16.3.Пусть n N . Доказать равенство:

30

16.4.Пусть n Î N . Доказать кратность:

a.(n3 + 5n)M6 .

b.(22n−1 + 3n + 4)M9 .

c.(52n+1 × 2n+2 + 3n+2 × 22n+1 )M19 .

d.(32n+3 + 40n - 27)M64 .

e.(62n + 3n+2 + 3n )M11.

f.(5n + 2×3n−1 +1)M8 .

16.6.Доказать, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел кратна 9.

g.f4n M3 .

h.f5n M5 .

16.8.Доказать неравенства:

31

16.9. На плоскости проведены n прямых, которые образуют карту. Доказать, что эту карту можно раскрасить, используя только два цвета, так, что две соседние по границе области имеют разные цвета.

16.10. Доказать, что любую «карту», образованную n окружностями на плоскости, можно раскрасить в два цвета так, что две соседние области имеют разные цвета.

16.11. Доказать, что если из прямоугольной таблицы 2n ´ 2n удалить одну клетку, то ее можно замостить без наложений уголками вида:

16.12. Доказать, что n N верно: (2 + 3)n - (2 - 3)n Î N .

2 3

16.14.Между любыми двумя городами некоторой страны существует дорога. Докажите, что как бы ни было установлено одностороннее движение на каждой дороге, будет существовать город, из которого до любого другого можно доехать, сделав не более одной пересадки.

16.15.Между любыми двумя городами некоторой страны существует дорога. Докажите, что можно так установить одностороннее движение на каждой дороге, что из любого города в любой другой можно будет проехать (не нарушая правил), сделав не более одной пересадки.

16.16.Докажете, что следующие последовательности действительных чисел (xn ) , которые

заданы рекуррентными соотношениями, могут быть заданы и приведенными явными формулами:

32