§7 Декартово произведение множеств.

7.1. Найти A´ B и B ´ A , если:

a.A = {1;2}, B = {1;3;4};

b.A = {a;b;c}, B = {1;2} .

7.2.Пусть A = {x; y; z}, B = {1;2}. Найти:

a. A´ A ; b. A´ B ;

c. A´ B ´ B ; d. A´ (B ´ A) .

7.3.Изобразить на декартовой плоскости следующие множества:

a.[0;1]´[0;1] ;

b.[0;1]´[2;+¥) ;

c.[-1;2]´ (-¥;1) ;

d.[0;+¥)´{3;2};

e.(-2;5]´{-3;3};

f.[1;2]´ (-¥;+¥) ;

g.[1;+¥)´(-¥;3) .

7.4. Доказать, что при любых множествах X ,Y, Z, X1,Y1 :

a.(X ÇY )´ Z = (X ´ Z) Ç (Y ´ Z) ;

b.(X \ Y )´ Z = (X ´ Z ) \ (Y ´ Z) ;

c.(X Ì Y ) Þ (X ´ Z ) Ì (Y ´ Z) ;

d.X1 Ì X ÙY1 Ì Y Þ (X1 ´Y1 ) Ì (X ´Y ) .

7.5. Показать, что в общем случае следующие равенства неверны, и выяснить, при каких A1, A2 , B1 они справедливы:

a.A1 ´ B1 = B1 ´ A1 ;

b.(A1 ´ A2 )´ B1 = A1 ´ (A2 ´ B1 ) .

7.6. Выяснить, верно ли для любых A, B,C, D

a.(A Ç B)´(C Ç D) = (A´C) Ç (B ´ D) ;

b.(A È B)´(C È D) = (A´C) È (B ´ D) .

Если равенство не имеет место, докажите это. В этом случае выясните, является ли одно из множеств подмножеством другого и если да – докажите это.

7.7. Пусть A = {a1;a2 ;K;an}, B = {b1;b2 ;K;bm } . Сколько элементов содержит множество A´ B ?

7.8.Пусть A = {a1;a2 ;K;an}. Сколько элементов содержит множество Am ?

15

§8 Бинарные отношения между множествами.

8.1. Приведите пример отношений между элементами следующих множеств:

a.Множество людей и множество городов.

b.Множество преподавателей и множество студентов.

c.Множество треугольников и множество чисел.

d.Множество прямоугольников и множество окружностей.

8.2. Пусть X ={1;2;3},Y = {a;b;c;d} . Найти область определения и область значений следующих бинарных отношений:

a.ρ X ×Y , ρ = {(2;a);(3;b);(1;d )} ;

b.ρ X ×Y , ρ = {(1;a);(1;b);(1;d )};

c.ρ X ×Y , ρ = {(2;d );(3;d );(1;d )};

d.ρ R × R , xρ y Û x = y2 ;

e.ρ R × R , xρ y x = 3y ;

f.ρ R × R , xρ y Û x > y2 .

Для каждого из данных отношений найти ρ−1 .

8.3. Доказать, что для любых отношений ρ,σ между множествами X и Y :

a.(ρ Çσ )−1 = ρ−1 Çσ −1 ;

b.(ρ \σ )−1 = ρ−1 \σ −1 ;

c.( ρ )−1 = ρ−1 ;

d.ρ Ì σ Û ρ−1 Ì σ −1 ;

e.(ρ−1)−1 = ρ .

16

§9 Отображения

9.1. Выяснить, являются ли следующие бинарные отношения отображениями:

a.ϕ = {(x, y) (x, y) R × R x2 − y =1} ;

b.ϕ = {(x, y) (x, y) N × N x2 + y = 5};

c.ϕ = {(1,1);(2;3);(3;2)}, ϕ A× B ; A ={1;2;3}; B ={1;2;3;4};

d.ϕ = {(1,1);(2;3);(3;2)}, ϕ A× B ; A ={1;2;3;4}; B ={1;2;3};

e.ϕ = {(x, y) (x, y) R × R y = x2};

f.ϕ = {(x, y) (x, y) [−1;0]×[−1;0] x2 + y2 =1};

g.ϕ = {(x, y) (x, y) N × N x − y < 3} .

9.2. Пусть X=“множество окружностей на координатной плоскости”, Y= “множество квадратов на координатной плоскости”. Выяснить, является ли f отображением.

c.f X ×Y , (a;b) f в окружность a вписан квадрат b , сторона которого параллельна оси Ox .

d.f R ×Y , (a;b) f число a равно площади квадрата b .

9.3. Какими свойствами (инъективность, сюръективность, биективность) обладают следующие отображения:

a. A= “множество слов русского языка (длина слова не менее трех букв)”, B= “множество букв алфавита русского языка”.

1)f : A → B - отображение, которое каждому слову ставит в соответствие его первую

букву.

2)g : A → B - отображение, которое каждому слову ставит в соответствие его третью

букву.

f.ϕ = {(x; y) (x; y) [−1;1]×[−1;0] x2 + y2 =1} ;

g.ϕ = {(x; y) (x; y) [0;1]×[0;1] x2 + y2 =1}.

9.4.Для отображения f найти:

f −1 ([1;3]); f −1 ((−7;8]); f −1 ((−1;+∞)) .

17

9.5.Для отображения f

1)определить, является ли f инъективным.

2)Если нет, найти наибольшее по включению подмножество X1 Ì X такое, что

f3 : X2 ® Y1 : x a f (x) будет биективным.

a.f : R ® R : x a x2 ;

b.f : R ® R : x a x2 - 2x ;

c.f : R ® R : x a 3x ;

e.f : R ® R : x a x3 ;

f.f : R → R : x a sin x ;

g.f : R → R : x a cos x .

что:

a.B1 Ì B2 Þ f −1(B1) Ì f −1(B2 ) ;

b.f −1(B1 Ç B2 ) = f −1(B1) Ç f −1(B2 ) ;

c.f −1(B1 È B2 ) = f −1(B1) È f −1(B2 ) ;

d.f −1(B1 \ B2 ) = f −1(B1) \ f −1(B2 ) .

f ( f −1(B)) Ì B .

9.8.Дано отображение f : X → Y . Известно, что B Y . Найти необходимое и

достаточное условие для того, чтобы для любого подмножества B Y выполнялось равенство: f ( f −1(B)) = B .

18

A f −1( f (A)) . Верно ли, что A = f −1( f (A)) ?

9.13.Дано отображение f : X ® Y . Известно, что A Ì X . Найти необходимое и

из m и n элементов соответственно. Доказать, что:

Доказать, что если отображение f : X ® Y - инъективное, то для любых X1 Ì X и X2 Ì X имеет место равенство: f (X1 Ç X2 ) = f (X1) Ç f (X 2 ) .

19