Обратная матрица:
М6,7 - 4. Векторные пространства.
Опр Мн-во V наз-ся векторным пространством над полем Р, если на V заданы операции + и * на скаляры из Р, причем 1) <V +> - абелева группа (КМ+, АС+, нейтральный 0, противоположный), 2) дистрибутивность левая и правая, АС *, единичный элемент 1). Примеры многочлены с коэф-ми из Р над полем Р; мн-во векторов на плоскости или в пространстве)
Опр Линейной комбинацией векторов наз-ся вектор
Опр Векторы a1,a2,…,as называются линейно зависимыми, если существуют числа 1, 2,…,s , не все равны нулю, что выполняется равенство
1a1+2a2+… +s as = 0. (3)
Само равенство (3) в этом случае называется линейной зависимостью.
Опр Векторы a1,a2,…,as называются линейно независимыми, если из равенства 1a1+2a2+…+sas=0 следует, что
1= 2= …=s=0.
Теорема. Для того, чтобы векторы a1,a2,…,as были линейно зависимы , необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них есть линейная комбинация остальных.
Свойства линейной зависимости и независимости:
-
Система векторов явл.л/з когда хотя бы 1 вектор этой системы линейно выражался ч/з остальные.
-
Система векторов, содержащая нулевой вектор- л/з
-
Е/и некоторая подсистема системы векторовл/з, то и вся система л/з
-
Пусть -л/нез система векторов,е/и расширенная система -л/з, то выраж-ся ч/з
-
е/и не выраж-ся ч/з , то расшир.система -л/нез
Опр Рангом множества векторов называется максимальное число линейно независимых векторов этого множества.
Опр Число r называется рангом множества векторов М, если
-
во множестве М существует r линейно независимых векторов;
-
любое подмножество из М с большим числом векторов линейно зависимо.
Опр Говорят,что векторы a1,a2,…,ar (1) из множества М образуют базис множества М, если:
-
Эти векторы линейно независимы.
-
Через них линейно выражается любой вектор множества.
Теорема: Число векторов в базисе множества векторов равно рангу этого множества.
Теорема: Если векторы a1,a2,…,ar из множества векторов М линейно независимы, а их число равно рангу множества М, то эти векторы образуют базис множества М.
Опр Размерностью ВП наз. мах число ЛНЗ векторов этого пространства.(dim V)
Теорема: Размерность векторного пространства совпадает с количеством векторов в базисе этого пространства.
Опр13: Рангом матрицы называется количество строк в её ступенчатом виде.
Теорема(критерий совместности системы линейных уравнений): СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг однородной матрицы равен рангу расширенной матрицы.
Доказательство:
Пусть
Основная матрица =А
Расширенная матрица: =В
Необходимость: Приведём (1) к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Аналогичным элементарным преобразованиям подвергнуться матрицы А и В и получим матрицы А’ и B’. Т.к. система совместна , то противоречивых уравнений не будет в ступенчатом виде. Тогда количество строк у А’ и B’ одинаковое значит r(A’)=r(B’), т.к. элементарные преобразования не меняют ранга матрицы то r(A)=r(B).(по симметричности и транзитивности отношения «=»)
Достаточность: Вместо обратной теоремы будем доказывать противоположную теорему.
Дано: (1) – несовместна.
Доказать: r(A) неравен r(B).
Приведём (1) к ступенчатому виду, т. К. система несовместна, то её ступенчатый вид обязательно содержит противоречивое уравнение, т.е. 0*x1+0*x2+…+0*xn=b. Тогда матрицы A’ и B’ имеют разное количество строк. Тогда r(A’)<r(B’), получаем, что r(A)<r(B).
Опр: Пусть дано ВП над полем R. Скалярным произведением векторов называется отображение (функция), сопоставляющее каждым двум векторам ВП V действительное число, обозначаемое так: (a,b)R, причём выполняются следующие условия:
-
КМ(a,bV)((a,b)=(b,a))
-
АСС умножения на скаляр
-
ДСТР относительно сложения (a+b,c)=(a,c)+(b,c)
-
Положительная определенность. (если a0, то (a,a)>0)
Опр: ВП V над R с введённым на нем скалярным произведением называется евклидовым пространством.
Пример1: На Rn ={(1,2,…,n), I из R} введём скалярное произведение так: a=(1,2,…,n),b=(1,2,…,n).
Назовем скалярным произведением (a,b)=11+22+…+nn
Пример2: мн- во векторов на плоскости (a,b)=|a||b|cos(a^b).
Опр: Пусть Е – евклидово пространство. а, bЕ. а и b называются ортогональными, если (а,b)=0.
Опр:Система векторов пространства Е называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны.
Теорема: Ортогональная система не нулевых векторов линейно независима (обратное не выполняется).
Опр: Базис называется ортогональным, если все его векторы попарно ортогональны.