Обратная матрица:

М6,7 - 4. Векторные пространства.

Опр Мн-во V наз-ся векторным пространством над полем Р, если на V заданы операции + и * на скаляры из Р, причем 1) <V +> - абелева группа (КМ+, АС+, нейтральный 0, противоположный), 2) дистрибутивность левая и правая, АС *, единичный элемент 1). Примеры многочлены с коэф-ми из Р над полем Р; мн-во векторов на плоскости или в пространстве)

Опр Линейной комбинацией векторов наз-ся вектор

Опр Векторы a₁,a₂,…,a_s называются линейно зависимыми, если существуют числа ₁, ₂,…,_s , не все равны нулю, что выполняется равенство

₁a₁+₂a₂+… +_s a_s = 0. (3)

Само равенство (3) в этом случае называется линейной зависимостью.

Опр Векторы a₁,a₂,…,a_s называются линейно независимыми, если из равенства ₁a₁+₂a₂+…+_sa_s=0 следует, что

₁= ₂= …=_s=0.

Теорема. Для того, чтобы векторы a₁,a₂,…,a_s были линейно зависимы , необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из них есть линейная комбинация остальных.

Свойства линейной зависимости и независимости:

1. Система векторов явл.л/з когда хотя бы 1 вектор этой системы линейно выражался ч/з остальные.

2. Система векторов, содержащая нулевой вектор- л/з

3. Е/и некоторая подсистема системы векторовл/з, то и вся система л/з

4. Пусть -л/нез система векторов,е/и расширенная система -л/з, то выраж-ся ч/з

5. е/и не выраж-ся ч/з , то расшир.система -л/нез

Опр Рангом множества векторов называется максимальное число линейно независимых векторов этого множества.

Опр Число r называется рангом множества векторов М, если

1. во множестве М существует r линейно независимых векторов;

2. любое подмножество из М с большим числом векторов линейно зависимо.

Опр Говорят,что векторы a₁,a₂,…,a_r (1) из множества М образуют базис множества М, если:

1. Эти векторы линейно независимы.

2. Через них линейно выражается любой вектор множества.

Теорема: Число векторов в базисе множества векторов равно рангу этого множества.

Теорема: Если векторы a₁,a₂,…,a_r из множества векторов М линейно независимы, а их число равно рангу множества М, то эти векторы образуют базис множества М.

Опр Размерностью ВП наз. мах число ЛНЗ векторов этого пространства.(dim V)

Теорема: Размерность векторного пространства совпадает с количеством векторов в базисе этого пространства.

Опр13: Рангом матрицы называется количество строк в её ступенчатом виде.

Теорема(критерий совместности системы линейных уравнений): СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг однородной матрицы равен рангу расширенной матрицы.

Доказательство:

Пусть

Основная матрица =А

Расширенная матрица: =В

Необходимость: Приведём (1) к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований. Аналогичным элементарным преобразованиям подвергнуться матрицы А и В и получим матрицы А’ и B’. Т.к. система совместна , то противоречивых уравнений не будет в ступенчатом виде. Тогда количество строк у А’ и B’ одинаковое значит r(A’)=r(B’), т.к. элементарные преобразования не меняют ранга матрицы то r(A)=r(B).(по симметричности и транзитивности отношения «=»)

Достаточность: Вместо обратной теоремы будем доказывать противоположную теорему.

Дано: (1) – несовместна.

Доказать: r(A) неравен r(B).

Приведём (1) к ступенчатому виду, т. К. система несовместна, то её ступенчатый вид обязательно содержит противоречивое уравнение, т.е. 0*x₁+0*x₂+…+0*x_n=b. Тогда матрицы A’ и B’ имеют разное количество строк. Тогда r(A’)<r(B’), получаем, что r(A)<r(B).

Опр: Пусть дано ВП над полем R. Скалярным произведением векторов называется отображение (функция), сопоставляющее каждым двум векторам ВП V действительное число, обозначаемое так: (a,b)R, причём выполняются следующие условия:

1. КМ(a,bV)((a,b)=(b,a))

2. АСС умножения на скаляр

3. ДСТР относительно сложения (a+b,c)=(a,c)+(b,c)

4. Положительная определенность. (если a0, то (a,a)>0)

Опр: ВП V над R с введённым на нем скалярным произведением называется евклидовым пространством.

Пример1: На Rⁿ ={(₁,₂,…,_n), _I из R} введём скалярное произведение так: a=(₁,₂,…,_n),b=(₁,₂,…,_n).

Назовем скалярным произведением (a,b)=₁₁+₂₂+…+_n_n

Пример2: мн- во векторов на плоскости (a,b)=|a||b|cos(a^b).

Опр: Пусть Е – евклидово пространство. а, bЕ. а и b называются ортогональными, если (а,b)=0.

Опр:Система векторов пространства Е называется ортогональной, если все векторы этой системы попарно ортогональны.

Теорема: Ортогональная система не нулевых векторов линейно независима (обратное не выполняется).

Опр: Базис называется ортогональным, если все его векторы попарно ортогональны.