ГОС / MODUL_8_Chisl_sistemy

М 9. - 1. Аксиоматич. теория действит. чисел.

Опр. Пусть дано линейно-упорядоченное множество {Р, < }, а, b Є P и a ≤ b. Отрезком наз. мн-во [a,b]={x Є P\ a≤x≤b}.Элементы a и b назыв. концами этого отрезка.

Опр. Последовательность отрезков ([a_n,b_n]) линейно-упорядоченного мн-ва {P,<} назыв. последовательность вложенных отрезков, если a_n<a_n+1<b_n+1< b_n, для любого n.

Опр. Будем говорить, что в линейно-упорядоченном множестве {Р, < }(в упорядоченном поле {Р, +, *, < }) выполняется аксиома Кантора, если для любой последовательности вложенных отрезков из Р существует элемент в Р, принадлежащий всем отрезкам последовательности.

Опр. Системой действительных чисел называется упорядоченное поле {Р, +, *, < }, в котором выполняется аксиома Архимеда и аксиома Кантора.

Опр. Пусть даны две десятичные дроби a₀,a₁,a₂,… и b₀,b₁,b₂,… Будем считать, что первая десятичная дробь меньше второй и писать a₀,a₁,a₂,… < b₀,b₁,b₂…тогда и только тогда, когда существует номер k такой, что a_k<b_k, а для всех номеров i<k имеет место равенство a_i=b_i.

Опр. Если , Є S,то условимся писать ≤, тогда и только тогда, когда < или =.

Теорема: Система {S,<}, есть линейно упорядоченное множество.

Док-во: докажем, что для любых , , Є S, из < , < следует <.Пусть =a₀,a₁,a₂,…, =b₀,b₁,b₂,…, =c₀,c₁,c₂,… По условию <, значит, существует номер k такой, что a_k<b_k, а для всех номеров i<k имеет место равенство a_i=b_i. Аналогично < влечет существование номера m такого, что b_m<c_m, а для номеров j<m имеем b_j=c_j. Если теперь n=min{k,m}, то a_n<c_n, и для номеров l<n получаем a_i=c_i. Значит, < и свойство транзитивности доказано.

Теорема: В линейно упорядоченном множестве {S,<},выполняется аксиома Кантора.

Опр. Конечной десятичной дробью называется дробь вида a₀,a₁,a₂,…a_n,0….0.…При записи дроби хвост нулей будем отбрасывать, и записывать конечную десятичную дробь a₀,a₁,a₂,…a_n.

Опр. Последовательностью стягивающихся отрезков из S, называют такую последовательность вложенных отрезков ([_n, _n]),концы которых _n и _n являются конечными десятичными дробями для любого натурального числа m существует номер k такой, что для всех n>k выполняется равенство _n-_n<10^-m(т.е. при возрастании n длины отрезков бесконечно убывают).

Опр. Суммой произвольных десятичных дробей и ту единственную десятичную дробь , которая принадлежит всем отрезкам последовательности ([_n+_n, _n^’+_n^’]).

Свойства сложения десятичных дробей:

1. Сложение десятичных дробей слабо монотонно, т.е. для любых , , Є S если ≤, то +≤+.

2. Сложение десятичных дробей ассоциативно.

3. Для любой десятичной дроби существует противоположная десятичная дробь (-).

4. Сложение десятичных дробей монотонно, т.е. для любых , , Є S если <, то +<+.

Док-во (4):по свойству слабой монотонности сложения, нер-во < влечет +≤+.

Предположим, что +=+. То по св 3. Существует дробь (-).Прибавив ее к обеим частям нер-во, получим =, что противоречит условию. Значит +<+.ЧТД.

Умножение десятичных дробей:

Опр. Пусть даны десятичные дроби и. При этом:

1. Если ≥0 и ≥0, то * есть та единственная десятичная дробь, которая принадлежит всем отрезкам последовательности ([_n*_n, _n^’*_n^’]);

2. Если <0 и ≥0, то положим *=-((-)*);

3. Если ≥0 и <0, то примем *=-((-));

4. Если <0 и <0, то положим *=(-)*(-).

Свойства умножения десятичных дробей:

1. Умножение десятичных дробей коммутативно.

Док-во: коммутативность умножения неотрицательных десятичных дробей вытекает непосредственно из определения этой операции и из коммутативности умножения конечных десятичных дробей. Если теперь <0, ≥0, то пользуясь определением умножения, получаем: *=-((-)*)=-((*(-))=*.

2. Умножение десятичных дробей слабо монотонно, т.е. для любых , , Є S если ≤ и ≥0, то *≤*.

3. Умножение десятичных дробей ассоциативно.

4. Сложение десятичных дробей дстрибутивно относительно сложения.

5. Для всякой десятичной дроби ≠0 существует обратная десятичная дробь ^-1, т.е. такая что *^-1=1

6. Умножение десятичных дробей монотонно.

Теорема: Система {S,+,*,<} является система действительных чисел.

Опр. Действительное число a, назыв. пределом последовательности действительных чисел (y_n), если для любого действительного числа >0 существует номер k такой, что для всех номеров n>k выполняется неравенство

|a-y_n|< или Lim y_n=a и говарят, что последовательность (y_n) сходится к числу a.

_n

Теорема: Действительное число a является рациональным тогда и только тогда, когда оно представимо в виде периодической десятичной дроби.