
ГОС / MODUL_4_TFKP
.docМ4 - 1.Функция комплексного переменного. Дифференцирование функций комплексного переменного. Понятие аналитической функции.
Опр. Пусть
.Отображ-е
назыв.ФКП.
Мн-во D
–область опред.f,E-множ-во
знач.f.
Прим :1)w=2z+3i¸D=C
2)e/и
w=f(z),,
То имеем дело с дейст.ф-ей комп.перем.напр.w=|z|
Опр. Число
наз.пределом
ф-ии w=f
(z)
в (.)
если
Опр. Пусть
ф-я w=f
(z)
определена на мн-ве D.
.Ф-я
w=f
(z)
наз.непрер.
в (.)
,е/и
Т:ФКПнепр.в
(.)
когда
действ и мнима части ф-ии f
рассм .как ф-ии 2х действ.переменных,
непр. в (.)(
Т: если 2 ф-ии непр. на Д, то их сумма, разность, произв. и частное непр. на Д и в случае частного искл.(.), в кот.знамен.обращ. в 0
Т: е/и
ф-я w=f(z)
непр.на Д и её зн-я принадл.мн-ву Е,на
кот. непр.ф- я
тогда
слож.ф-я
непр.
на Д.
Понятие произв:
Пусть w=f(z)-ФКП
, опред на Д.
-предельная
(.)Д,
.Пусть
-(.)мн-ва
Д,
Рассм.приращ-е ф-ии
Сост.отнош-е
Если сущ.
при
то
он наз-ся произв-ой
от ф-ии f
по множ-ву Д в (.)
Опр. Ф-я
w=f(z
)наз.дифф-ой
в (.)е/и
приращение ф-ии в (.)
может
быть представило в виде суммы
,где
А-const
относит-но
,а
Опр.глав.
часть приращ-я ф-ии w=f(z)в
(.),линейная
относит-но приращ-я аргум-та
наз.дифф-ом
ф-ии в (.)
.Обозн.
Т: ф-я
w=f(z),
диф-ая в (.)непрер-на
в этой (.)
Правила диф-я
Необх. и дост. условие дифференцируемости ф-ии комплексного переменного.
Т:
Для диффер-ти ф-ии f(z)=U(x,y)+iV(x,y)
в т z=x+iy
обл G
необх существование в этой т частных
произв U’x,
U’y,
V’x,
V’y
и выполнение условий Коши-Римана
(1). Это условие явл и достаточным для
диффер-ти ф-ии f(z)
если доп-но предпол диф-ть ф-ий UиV
в рассмотренной точке.
Д-во
необх:в
т z=x+iy
ф-я f(z)=U+iV
явл диф-ой, т.е. сущ
Рассмотрим 2-а направления.
1)при ∆х=0, тогда
2)при ∆у=0, тогда
аналогично 1) = U’x+iV’y
т.к. левые части равны, то равны и правые,
т.е. V’y
- iU’x
=U’x+iV’y
=>
достаточность: ф-ии U(x,y)иV(x,y) диф в т z=x+iy и вып усл Коши-Римана справедливо рав-во: ∆U(x,y)=U’x(x,y)∆x+U’y(x,y)∆y+η1∆x+ η2∆y, где η1 и η2 б.м. ф-ии при ∆x→0 и ∆y→0
∆V(x,y)=V’x(x,y)∆x+V’y(x,y)∆y+γ1∆x+ γ2∆y, где γ1 и γ2 б.м. ф-ии при ∆x→0 и ∆y→0
найдем
обозначим ч/з
оценим ε
стремиться к 0 при ∆x→0 и ∆y→0. т.е. lim ε = 0 при ∆x→0 и ∆y→0. продолжим равенство:
U’x(x,y)+iV’x(x,y)+ε lim(∆f(z)/∆z)= U’x(x,y)+iV’x(x,y) при ∆z→0.показали, что lim сущ значит ф-я дифференцируема в т z. Ч.т.д.
Замечание: 1)Из т след что, если произв сущ, то она может быть представлена по сл ф-ле: f’(z)= U’x+iV’x=V’y – iU’y=V’y+iV’x=U’x – iU’y
2)для диф-ти ф-ий UиV дост существования и непрерывности их частных производных U’x,iV’x,U’y,iV’y поэтому для диф-ти ф-и f(z)=U+iV дост чтобы частные произв сущ, были непрерывны и удовлетворяли условию Коши-Римана.
Прим:
опр.
Ф-я w=f
(z)
наз.аналитич.
в (.),если
она диф-ма в кажд.(.)некот.окрест-и (.)
Опр.ф-я наз.аналитич. на множ Д,е/ и она аналитична в кажд.(.)этого множ-ва.
Прим:ф-я
имеет
произв. в кажд.(.)
=>она
аналит. на
всей плоск.С.
Опр.ф-я
w=f
(z),
опред. в некот.окр-ти (.)назыв.аналит.в
(.)
,е/и
ф-я
аналит.в(.)
Свойства аналит.ф-ий:
1)если
и
-аналит.ф-иив
области G,то
их сумма, разность, произ-есть ф-я аналит.в
G,частное
аналит.всюду на G,где
2)Множ-во знач-ий ф-ии
,
аналитичной в области G
плоскости(z)
явл.областью в плоск-и(w)
3)Е/и
явл.аналит.
в области Д плоск-ти(z),
причём в области её значений
Еобласти(ц)определена аналит.ф-я
,то
сл.ф-я
явл.аналит.в
Д
4) Е/и
явл.аналит.
в области Д, причём
,
то в области знач.Е данной ф-ии опред.обр.ф-я
,являющ-ся
аналит.в Е.При этом,е/и
,то
имеет место рав-во