ГОС / MODUL_4_TFKP

М4 - 1.Функция комплексного переменного. Дифференцирование функций комплексного переменного. Понятие аналитической функции.

Опр. Пусть .Отображ-е назыв.ФКП. Мн-во D –область опред.f,E-множ-во знач.f.

Прим :1)w=2z+3i¸D=C

2)e/и w=f(z),,

То имеем дело с дейст.ф-ей комп.перем.напр.w=|z|

Опр. Число наз.пределом ф-ии w=f (z) в (.)если

Опр. Пусть ф-я w=f (z) определена на мн-ве D. .Ф-я w=f (z) наз.непрер. в (.),е/и

Т:ФКПнепр.в (.)когда действ и мнима части ф-ии f рассм .как ф-ии 2х действ.переменных, непр. в (.)(

Т: если 2 ф-ии непр. на Д, то их сумма, разность, произв. и частное непр. на Д и в случае частного искл.(.), в кот.знамен.обращ. в 0

Т: е/и ф-я w=f(z) непр.на Д и её зн-я принадл.мн-ву Е,на кот. непр.ф- я тогда слож.ф-я непр. на Д.

Понятие произв:

Пусть w=f(z)-ФКП , опред на Д. -предельная (.)Д, .Пусть -(.)мн-ва Д,

Рассм.приращ-е ф-ии

Сост.отнош-е

Если сущ. при то он наз-ся произв-ой от ф-ии f по множ-ву Д в (.)

Опр. Ф-я w=f(z )наз.дифф-ой в (.)е/и приращение ф-ии в (.)может быть представило в виде суммы ,где А-const относит-но ,а

Опр.глав. часть приращ-я ф-ии w=f(z)в (.),линейная относит-но приращ-я аргум-та наз.дифф-ом ф-ии в (.).Обозн.

Т: ф-я w=f(z), диф-ая в (.)непрер-на в этой (.)

Правила диф-я

Необх. и дост. условие дифференцируемости ф-ии комплексного переменного.

Т: Для диффер-ти ф-ии f(z)=U(x,y)+iV(x,y) в т z=x+iy обл G необх существование в этой т частных произв U’_x, U’_y, V’_x, V’_y и выполнение условий Коши-Римана (1). Это условие явл и достаточным для диффер-ти ф-ии f(z) если доп-но предпол диф-ть ф-ий UиV в рассмотренной точке.

Д-во

необх:в т z=x+iy ф-я f(z)=U+iV явл диф-ой, т.е. сущ

Рассмотрим 2-а направления.

1)при ∆х=0, тогда

2)при ∆у=0, тогда аналогично 1) = U’_x+iV’_y т.к. левые части равны, то равны и правые, т.е. V’_y - iU’_x =U’_x+iV’_y =>

достаточность: ф-ии U(x,y)иV(x,y) диф в т z=x+iy и вып усл Коши-Римана справедливо рав-во: ∆U(x,y)=U’_x(x,y)∆x+U’_y(x,y)∆y+η₁∆x+ η₂∆y, где η₁ и η₂ б.м. ф-ии при ∆x→0 и ∆y→0

∆V(x,y)=V’_x(x,y)∆x+V’_y(x,y)∆y+γ₁∆x+ γ₂∆y, где γ₁ и γ₂ б.м. ф-ии при ∆x→0 и ∆y→0

найдем

обозначим ч/з

оценим ε

стремиться к 0 при ∆x→0 и ∆y→0. т.е. lim ε = 0 при ∆x→0 и ∆y→0. продолжим равенство:

U’_x(x,y)+iV’_x(x,y)+ε lim(∆f(z)/∆z)= U’_x(x,y)+iV’_x(x,y) при ∆z→0.показали, что lim сущ значит ф-я дифференцируема в т z. Ч.т.д.

Замечание: 1)Из т след что, если произв сущ, то она может быть представлена по сл ф-ле: f’(z)= U’_x+iV’_x=V’_y – iU’_y=V’_y+iV’_x=U’_x – iU’_y

2)для диф-ти ф-ий UиV дост существования и непрерывности их частных производных U’_x,iV’_x,U’_y,iV’_y поэтому для диф-ти ф-и f(z)=U+iV дост чтобы частные произв сущ, были непрерывны и удовлетворяли условию Коши-Римана.

Прим:

опр. Ф-я w=f (z) наз.аналитич. в (.),если она диф-ма в кажд.(.)некот.окрест-и (.)

Опр.ф-я наз.аналитич. на множ Д,е/ и она аналитична в кажд.(.)этого множ-ва.

Прим:ф-я имеет произв. в кажд.(.)=>она аналит. на всей плоск.С.

Опр.ф-я w=f (z), опред. в некот.окр-ти (.)назыв.аналит.в (.),е/и ф-я

аналит.в(.)

Свойства аналит.ф-ий:

1)если и -аналит.ф-иив области G,то их сумма, разность, произ-есть ф-я аналит.в G,частное аналит.всюду на G,где

2)Множ-во знач-ий ф-ии

, аналитичной в области G плоскости(z) явл.областью в плоск-и(w)

3)Е/и явл.аналит. в области Д плоск-ти(z), причём в области её значений Еобласти(ц)определена аналит.ф-я ,то сл.ф-я явл.аналит.в Д

4) Е/и явл.аналит. в области Д, причём , то в области знач.Е данной ф-ии опред.обр.ф-я ,являющ-ся аналит.в Е.При этом,е/и ,то имеет место рав-во