2. Каким методом можно рассчитать спектр тока на выходе нелинейного безынерционного элемента, если его вах аппроксимирована полиномом?

Если ВАХ (вольт-амперная характеристика) безынерционного нелинейного элемента задана полиномом:

i(t) = a0 + a1 u(t) + a2 u^2(t) + ... + aN u^N(t).

то спектр тока i(t) вычисляют аналитически методом гармонического разложения (ряда) по степеням входного сигнала:

1. Представляют входное напряжение u(t) в виде его спектра U(f) (Фурье-образ).

2. Используя теорему о свёртке Фурье, степени uⁿ(t) заменяют на n-кратную самосвёртку спектра:

F{u^2(t)} = U(f) * U(f),

F{u^3(t)} = U(f) * U(f) * U(f),

...

F{u^n(t)} = U(f) n U(f) (n раз).

I(f) = a1 U(f) + a2 U*U + a3 U + ... + aN U*N.

Таким образом, спектр тока рассчитывается без прямого модели- рования, а через последовательные свёртки спектра входа, что даёт гармонический состав на выходе нелинейного безынерционного элемента.

3. Каким методом можно рассчитать спектр тока на выходе нелинейного безынерционного элемента, если его вах аппроксимирована отрезками прямых?

Метод: покоординатное суммирование спектров прямоугольных импульсов (каждый отрезок ВАХ превращается в константу тока на своём временном интервале).

1. По входному напряжению u(t) строят временные интервалы Δtᵢ, где ВАХ лежит внутри i-го отрезка прямой:

i(t) = Iᵢ = const при t ∈ [tᵢ, tᵢ + Δtᵢ).

2. Каждый такой участок есть прямоугольный (или трапециевидный) импульс тока высоты Iᵢ и длительности Δtᵢ; его спектр известен:

Fᵢ(f) = Iᵢ Δtᵢ · sinc(πf Δtᵢ) · e^(−j2πf tцентр).

3. Линейность преобразования Фурье даёт итоговый спектр как сумму спектров всех участков:

I(f) = Σᵢ Fᵢ(f).

Так за одно преобразование получают точный спектр тока на выходе элемента с кусочно-линейной ВАХ.

4. Как можно рассчитать спектр тока на выходе нелинейного безынерционного элемента методами "трех ординат" и "пяти ординат"?

Оба метода относятся к гармоническому анализу по разложению ВАХ в степенной ряд, но вычисляют только дискретные линии спектра, а не непрерывный Фурье-образ. Используются тогда, когда входом является одна гармоника:

u(t) = Uₘ cos(ω₀t).

Цель — быстро найти амплитуды гармоник тока i(t) без полного построения F{i(t)}.

1. Метод «трёх ординат»

(известен также как метод 3-ёх точек или «cos³»-метод)

• Записывают ВАХ в виде полинома

i = a₀ + a₁u + a₂u² + a₃u³ (ограничение кубом).

• Подставляют u = Uₘ cos(ω₀t) и применяют тригонометрические формулы:

cos²x = ½(1+cos2x), cos³x = ¼(3cosx+cos3x).

• Получают спектр, содержащий три гармоники:

i(t) = I₀ + I₁cos(ω₀t) + I₂cos(2ω₀t) + I₃cos(3ω₀t),

где

I₀ = a₀ + ½a₂Uₘ²,

I₁ = a₁Uₘ + ¾a₃Uₘ³,

I₂ = ½a₂Uₘ²,

I₃ = ¼a₃Uₘ³.

Амплитуды I₁, I₂, I₃ сразу дают линии спектра на частотах f₀, 2f₀, 3f₀.

2. Метод «пяти ординат»

(5-точечный, «cos⁵»-метод)

• Полином продлевают до 5-й степени:

i = a₀ + a₁u + a₂u² + a₃u³ + a₄u⁴ + a₅u⁵.

• Используют тождества:

cos⁴x = ⅛(3+4cos2x+cos4x),

cos⁵x = 1⁄16(10cosx+5cos3x+cos5x).

• После подстановки u = Uₘ cos(ω₀t) спектр содержит пять гармоник:

i(t) = I₀ + I₁cos(ω₀t) + I₂cos(2ω₀t) + I₃cos(3ω₀t) + I₄cos(4ω₀t) + I₅cos(5ω₀t),

где

I₀ = a₀ + ½a₂Uₘ² + ⅜a₄Uₘ⁴,

I₁ = a₁Uₘ + ¾a₃Uₘ³ + 5⁄8a₅Uₘ⁵,

I₂ = ½a₂Uₘ² + ½a₄Uₘ⁴,

I₃ = ¼a₃Uₘ³ + 5⁄16a₅Uₘ⁵,

I₄ = ⅛a₄Uₘ⁴,

I₅ = 1⁄16a₅Uₘ⁵.

Амплитуды I₁…I₅ дают линии спектра на f₀, 2f₀, 3f₀, 4f₀, 5f₀.