6. Дайте определение числовым характеристикам случайного процесса.

Числовые характеристики случайного процесса — это скалярные величины, получаемые усреднением по ансамблю реализаций и позволяющие количественно описывать его статистические свойства без привлечения полных многомерных распределений. К основным относят:

• Математическое ожидание (среднее) mₓ(t)=E[x(t)] «гравитационный центр» ансамбля в момент t.

• Дисперсия Dₓ(t)=E[(x(t)–mₓ(t))²] — разброс значений вокруг среднего.

• Корреляционная функция R_xx(t₁,t₂)=E[x(t₁)x(t₂)] — мера линейной связи между двумя отсчётами.

• Ковариационная функция Cₓₓ(t₁,t₂)=Rₓₓ(t₁,t₂)–mₓ(t₁)mₓ(t₂) — связь без учёта средних значений.

• Среднеквадратичное (среднее модульное, пиковое и т.д.) значение — энергетические оценки процесса.

Для стационарных процессов эти характеристики не зависят от сдвига времени, и корреляция становится функцией разности τ=t₂–t₁, что существенно упрощает анализ.

7. Какой случайный процесс является стационарным?

Случайный процесс называют стационарным, если все его многомерные вероятностные законы не меняются при произвольном сдвиге временной шкалы: для любого τ совместное распределение случайных величин x(t₁), x(t₂), …, x(tₙ) совпадает с распределением x(t₁+τ), x(t₂+τ), …, x(tₙ+τ). На практике достаточно проверить два условия: математическое ожидание mₓ(t) = const и корреляционная функция Rₓₓ(t, t+τ) зависит только от τ, а не от абсолютного времени t.

8. Дайте определение эргодического случайного процесса.

Эргодический случайный процесс — это такой стационарный процесс, для которого временное усреднение по одной-единственной достаточно длинной реализации равно усреднению по ансамблю.

Иначе говоря, любая одна «запись» u(t) содержит всю статистическую информацию о процессе:

• временное среднее ⟨u(t)⟩ = математическому ожиданию по ансамблю mₓ

• временная автокорреляция ⟨u(t)u(t+τ)⟩ = ансамблевой Rₓₓ(τ).

Поэтому для оценки всех моментов достаточно одной реализации, не нужно множество «параллельных» измерений.

9. Как вычисляется функция корреляции случайного процесса?

Функция корреляции случайного процесса определяется как ансамблевое среднее произведения значений процесса в двух моментах времени:

R_xx (t_1, t₂) = E[x(t₁) * x(t₂)] = ∫∞-∞ ∫∞-∞ u₁u₂ * f₂ (u₁, u₂; t_1, t₂) du₁ du_2,

Где f₂ ((u₁, u₂; t_1, t₂) — двумерная плотность вероятности процесса x(t).

Если процесс стационарен в широком смысле, то R_xx зависит только от разности τ= t₂ – t₁:

R_xx(τ) = E[ x(t) · x(t + τ) ]

При эргодичности эту же функцию можно найти по одной достаточно длинной реализации u(t) , усредняя по времени:

R_xx(τ) = lim_{T→∞} (1/T) ∫_{-T/2}^{T/2} u(t) · u(t + τ) dt

На практике для цифровой записи длиной N отсчётов с шагом Δt используют выборочную оценку:

R̂_xx[k] = (1 / (N - k)) · Σ_{n=0}^{N-k-1} u[n] · u[n + k]

k = 0, 1, ..., K K<< N

10. Почему для случайных функций вводится понятие энергетический спектр?

Для обычных (неслучайных) сигналов спектр Фурье сразу показывает, какая энергия (или мощность) сосредоточена в каждой частотной составляющей. У случайного процесса каждая отдельная реализация неповторима и сама по себе может иметь любой вид; поэтому:

1. нельзя заранее записать «один-единственный» сигнал и взять его Фурье-образ

2. Aмплитуды и фазы гармоник в каждом новом опыте будут иными, и прямые спектральные вычисления дали бы случайный набор кривых, не пригодный для инженерных оценок.

Чтобы получить объективную, воспроизводимую характеристику, вводят энергетический (или мощностной) спектр:

• он определяется как Фурье-образ корреляционной функции R(τ);

• усредняется по ансамблю (или по времени для эргодических процессов);

• показывает, как распределена средняя энергия (мощность) по частотам независимо от конкретной случайной реализации;

• позволяет рассчитывать полосу пропускания, помехоустойчивость, фильтрацию и скорость передачи данных.

Таким образом, понятие энергетического спектра переводит случайные колебания в предсказуемую, измеримую частотную характеристику, необходимую для проектирования систем связи.