11. Какова связь между функцией корреляции и энергетическим спектром?

Связь — прямая и двусторонняя: энергетический спектр Sₓₓ(f) и корреляционная функция Rₓₓ(τ) образуют пару Фурье-преобразований

1. Если известна корреляционная функция

Rₓₓ(τ) = E[x(t) x(t+τ)],

то спектральная плотность мощности (энергетический спектр) получается как

Sₓₓ(f) = ∫_{-∞}^{∞} Rₓₓ(τ) e^{-j2πfτ} dτ.

2. Обратное преобразование восстанавливает корреляцию по спектру:

Rₓₓ(τ) = ∫_{-∞}^{∞} Sₓₓ(f) e^{j2πfτ} df.

Таким образом, широкая корреляционная функция (медленные колебания) соответствует узкому спектру, а узкая — широкому; зная одну характеристику, однозначно находят другую.

12. Что такое белый шум?

Белый шум — это случайный процесс, у которого энергетический спектр постоянен на всей бесконечной полосе частот:

Sxx(f) = N0/2 (-∞ < f < ∞).

Из теоремы Винера–Хинчина это означает, что его корреляционная функция — дельта-функция:

Rxx(τ) = (N0/2) * δ(τ),

то есть отсчёты, взятые в любые два момента времени, некоррелированы даже при бесконечно малом сдвиге. В реальных устройствах под «белым» обычно понимают шум, спектрально-плотность которого равномерна в пределах рабочей полосы системы.

13. Как ведет себя случайный процесс, подчиняющийся закону Гаусса, при линейных и нелинейных преобразованиях?

Гауссовский случайный процесс после линейного преобразования (суммирование, интегрирование, дифференцирование, фильтрация, умножение на константу и т. д.) остаётся гaуссовским: новые выборки имеют ту же совместную нормальную плотность, только с другими средними и корреляциями, которые легко вычисляются по известным формулам линейной системы.

При нелинейном преобразовании (например, возведение в квадрат, ограничение амплитуды, модуляция, любая функция вида y(t)=f[x(t)]) процесс перестаёт быть гауссовским: его плотность распределения исскажается, появляются высшие моменты, и для анализа требуются специальные методы (серии Эджворта, кумулянты, статистическое моделирование и т. д.).

3. Основы теории модуляции и детектирования

1. Какие способы аппроксимации характеристик Вы знаете?

Аппроксимация сводится к замене «сложного» случайного процесса или сигнала более простым, но достаточно близким по основным параметрам. На практике применяют следующие группы методов:

Аналитические (функциональные) аппроксимации

– замена корреляционной функции R(τ) суммой экспонент, гауссианов, треугольников, sinc-функций и т.д.;

– спектральная плотность S(f) приближается рациональной дробью (по типу Butterworth, Чебышёва) или прямоугольным/трапециевидным «окном».

Ортогональные разложения

– ряд Карунена–Лоэва (собственные функции и собственные числа корреляционного оператора);

– ряды Фурье, Хаара, Уолша, вейвлет-ряды;

– полиномы Эрмита, Лежандра и др. для аппроксимации плотностей распределений.

Статистические (выборочные) оценки

– выборочные среднее и дисперсия, коррелограмма, периодограмма Уэлча;

– несмещённые или сглаженные оценки спектра (Blackman–Tukey, многополосные фильтры).

Сегментно-постоянная / сегментно-линейная аппроксимация

– кусочно-постоянная или кусочно-линейная замена R(τ) и S(f) по заданному шагу;

– ступенчатая модель для BER-зависимости от SNR («пороговая» кривая).

Метод наименьших квадратов и регрессии

– подбор параметров модели минимизируя ∑|R̂(τ)-R(τ)|²;

– линейная, полиномиальная, экспоненциальная регрессия для тренда или спектра.

Асимптотические и предельные переходы

– белый шум с постоянным S(f)=N₀/2 как идеализация широкополосной помехи;

– медленно меняющийся «локально стационарный» процесс с квазистатическим подходом.

Квазимоментные и кумулянтные аппроксимации

– замена высших моментов кумулянтами до 3-го или 4-го порядка для оценки нелинейных искажений;

– эджвортовские разложения плотности вероятности.

Дискретные цепи Маркова и скрытые модели (HMM)

– аппроксимация «памяти» канала конечным числом состояний;

– применяется для оценки BER, временных корреляций в пакетных потоках.

Стохастическое моделирование (Monte-Carlo)

– генерация большого массива реализаций и последующее усреднение нужных параметров;

– позволяет строить эмпирические гистограммы и спектры любой сложности.

Сжатие информации и сингулярное разложение

– усечение SVD-спектра матрицы корреляций;

– используется в методе главных компонент (PCA) для понижения размерности модели помехи.

Таким образом, выбор способа аппроксимации определяется требуемой точностью, наличием статистической информации и допустимой вычислительной сложностью.