Лабораторная работа № 12

Вероятностные и числовые характеристики случайных процессов

Стенд 7, Вариант 7 — Решение и пояснение

Исходные данные

Параметр	Значение	Единица
Стенд	7	—
Вариант	7	—
A₁	1.0	В
A₂	2.0	В
σ₁	0.50	В
σ₂	1.10	В
T₁, T₂, T₃, T₄, T₅	1, 0, 1, 1, −1	—

Источник данных: Таблица 1 и Таблица 2 методички ЛР‑12.

1. Гармонический процесс со случайной фазой

Описание

Рассматривается эргодический случайный процесс:

где: - — амплитуда (постоянная); - — угловая частота (постоянная); - — начальная фаза, случайная, равномерно распределённая на интервале .

Теоретические формулы

Функция плотности вероятности (ФПВ):

Физический смысл: Из‑за случайной фазы сигнал принимает все значения в интервале с разной вероятностью. Плотность выше в центре и возрастает к краям интервала.

Функция распределения (ФРВ):

Физический смысл: Вероятность того, что значение сигнала не превышает .

Среднее значение:

Причина: ФПВ симметрична относительно нуля. Положительные и отрицательные значения равновероятны, поэтому среднее равно нулю.

Расчёты для стенда 7

Подстановка 1: В

ФПВ:

ФРВ:

Среднее: В.

Диапазон значений процесса: В.

Подстановка 2: В

ФПВ:

ФРВ:

Среднее: В.

Диапазон значений процесса: В.

Выводы по пункту 1

• Построены два комплекта графиков (ФПВ и ФРВ) для двух амплитуд.

• Форма ФПВ одинакова (кривая с максимумом в центре и асимптотой на краях), но масштаб по оси абсцисс отличается.

• Среднее значение в обоих случаях равно нулю.

2. Нормальный случайный процесс

Описание

Исследуется стационарный нормальный (гауссовский) процесс с нулевым средним значением и двумя разными среднеквадратичными отклонениями.

Теоретические формулы

Функция плотности вероятности (ФПВ):

При :

где — среднеквадратичное отклонение.

Физический смысл: График имеет форму колокола (Гауссова кривая), симметричный относительно нуля.

Максимум ФПВ:

Вывод: чем меньше , тем выше и уже график; чем больше , тем ниже и шире.

Функция распределения (ФРВ):

где — табулированная функция Лапласа для нормированной переменной .

Таблица П2 методички содержит значения для различных .

Свойство симметрии:

Среднее значение:

Дисперсия:

Расчёты для стенда 7

Подстановка 1: В

ФПВ:

Максимум:

Характеристика графика: Узкий и высокий, значительная часть вероятности сконцентрирована вблизи нуля.

ФРВ строится по таблице П2 для нормированной переменной :

Подстановка 2: В

ФПВ:

Максимум:

Характеристика графика: Плоский и широкий, вероятность более равномерно распределена на широком интервале.

ФРВ строится по таблице П2 для нормированной переменной :

Сравнение двух случаев

Параметр	В	В
Максимум ФПВ	0.799 В⁻¹	0.363 В⁻¹
Форма графика	Узкая, высокая	Широкая, низкая
Диапазон ±3σ	±1.50 В	±3.30 В
Среднее m₁	0 В	0 В
Дисперсия	0.25 В²	1.21 В²

Выводы по пункту 2

• Построены две ФПВ (колокольные кривые) и две ФРВ (S‑образные кривые).

• Нормальный процесс полностью описывается двумя параметрами: средним (здесь 0) и дисперсией.

• Большая дисперсия означает более широкое распределение значений вокруг среднего.

3. Сумма гармонического процесса и нормального шума

Описание

Процесс представляет собой сумму двух независимых случайных процессов:

где: - первое слагаемое — гармонический сигнал со случайной фазой (из пункта 1); - второе слагаемое — нормальный процесс с нулевым средним и дисперсией (из пункта 2).

Физическое содержание: Полезный сигнал (гармоника) в присутствии помехи (белого гауссова шума).

Теоретическая база

ФПВ суммы независимых процессов:

Это свёртка двух ФПВ. В аналитическом виде этот интеграл решается редко; в методичке используются готовые графики.

Безразмерный параметр сигнал-шум:

Физический смысль: Отношение мощности сигнала к мощности шума (с коэффициентом). - Если — сигнал доминирует, ФПВ близка к ФПВ гармоники. - Если — шум доминирует, ФПВ близка к Гауссовой. - Если — сигнал и шум сравнимы.

Среднее значение суммы:

Расчёты для стенда 7

Используются оба значения амплитуды с В.

Случай 1: В, В

Интерпретация: означает, что мощность сигнала примерно в 2 раза больше мощности шума. Сигнал заметен, но шум заметен тоже.

По рис. 9 приложения методички (семейство кривых ФПВ суммы для разных ) выбирается кривая для и переносится в отчёт.

Характеристика ФПВ: График имеет двухполюсную форму (два максимума) вблизи В с провалом в центре. Это следствие того, что гармонический сигнал часто находится на крайних значениях .

Случай 2: в, в

Интерпретация: означает, что мощность сигнала значительно превосходит мощность шума (примерно в 8 раз). Сигнал доминирует; шум — лишь небольшие флуктуации.

По рис. 9 приложения выбирается кривая для .

Характеристика ФПВ: График ещё ярче проявляет двухполюсность: два острых пика вблизи В с глубоким провалом в центре. Это связано с тем, что гармонический сигнал большой амплитуды подавляет влияние сравнительно слабого шума.

Параметры результирующего процесса

Параметр
Амплитуда	1.0 В	2.0 В
σ (шума)	0.50 В	0.50 В
Среднее m₁	0 В	0 В
Форма ФПВ	Два пика	Два острых пика
Диапазон	~[−1.5, +1.5] В	~[−3, +3] В

Выводы по пункту 3

• ФПВ суммы зависит от соотношения мощностей сигнала и шума.

• При малых шум доминирует, и ФПВ близка к нормальной.

• При больших сигнал доминирует, и ФПВ приобретает форму, отражающую периодичность гармоники.

• Среднее результирующего процесса остаётся нулевым.

4. Дискретный по значениям случайный процесс

Описание

В отличие от непрерывных процессов, дискретный процесс принимает только конечное число значений. По таблице 2 для варианта 7 заданы пять последовательных значений:

Теоретические формулы

Вероятности значений:

Функция плотности вероятности (для дискретного процесса):

где — дельта‑функция Дирака. На графике это изображается как вертикальные линии (импульсы) в точках с высотами .

Функция распределения (для дискретного процесса):

На графике это ступенчатая функция, на каждой точке которой происходит скачок на величину .

Среднее значение (математическое ожидание):

Физический смысл: Средневзвешенное значение, где каждое значение взвешено с вероятностью его появления.

Полная мощность (второй начальный момент):

Физический смысл: При единичном сопротивлении — полная средняя мощность.

Дисперсия:

Физический смысл: Средняя мощность отклонения от среднего значения.

Расчёты для варианта 7

Шаг 1. Подсчёт вероятностей

Возможные значения в наборе: . Подсчитаем, сколько раз встречается каждое:

• Значение : встречается 1 раз (позиция ).

• Значение : встречается 1 раз (позиция ).

• Значение : встречается 3 раза (позиции , , ).

Всего 5 значений. Вероятности:

Проверка: ✓

Шаг 2. Среднее значение

Интерпретация: В среднем процесс принимает значение 0.4 В. Это выше нуля, потому что положительное значение (1 В) встречается чаще других.

Шаг 3. Полная мощность

Интерпретация: Полная средняя мощность процесса (при единичном сопротивлении) — 0.8 Вт/Ом.

Шаг 4. Дисперсия

Среднеквадратичное отклонение:

Интерпретация: Типичное отклонение значений процесса от среднего (0.4 В) составляет ±0.8 В.

Шаг 5. Функция плотности вероятности (ФПВ)

Для дискретного процесса ФПВ — это три импульса Дирака:

На графике: Три вертикальные линии: - в точке с высотой ; - в точке с высотой ; - в точке с высотой .

Шаг 6. Функция распределения (ФРВ)

ФРВ — ступенчатая функция, которая увеличивается на при переходе через :

На графике: Четыре горизонтальных участка с вертикальными скачками в точках : - при : ; - при : ; - при : ; - при : .

Итоговая таблица числовых характеристик

Характеристика	Значение	Единица
Возможные значения	−1; 0; 1	В
Вероятность	0.2	—
Вероятность	0.2	—
Вероятность	0.6	—
Среднее	0.4	В
Полная мощность	0.8	В²
Дисперсия	0.64	В²
СКО	0.8	В