3. Каково различие между случайной величиной и случайной функцией?

Случайная величина — это просто одно числовое значение, которое заранее неизвестно и может оказаться тем или иным только после проведения «опыта» (после наступения события). У неё есть своя функция распределения, но она не зависит ни от времени, ни от какого-либо другого параметра: это «точка» в пространстве возможных значений. Пример: число очков, выпавших при броске игральной кости. Случайная функция (или случайный процесс) это уже целое семейство случайных величин, связанных между собой общим законом и индексированных, как правило, временем. Для каждого фиксированного момента t мы имеем обычную случайную величину, но совокупность таких величин образует процесс. Поэтому результатом одного «опыта» становится уже не отдельное число, а целая функция времени реализация процесса.

Пример: шумовое напряжение на выходе приёмника, которое в каждый конкретный момент времени непредсказуемо, но описывается совместными вероятностными законами для любого набора моментов.

4. Что такое реализация случайного процесса и что такое ансамбль

реализации случайного процесса?

Реализация случайного процесса — это одна конкретная запись его поведения во времени, то есть обычная функция u(t), полученная в результате одного опыта. Например, если мы включаем приёмник и фиксируем шум на бумаге, то начерченная кривая и есть реализация.

Ансамбль реализаций это совокупность всех таких кривых, которые процесс способен произвести при бесконечном числе повторов эксперимента. Это не одна линия, а целый «лес» возможных траекторий, каждая из которых имеет свою вероятность появления. Именно ансамбль позволяет строить средние по вероятностям: среднее значение в фиксированный момент t, корреляционную функцию и другие статистические характеристики случайного процесса.

5. Что такое одномерное и многомерное распределение случайного процесса?

Одномерное распределение случайного процесса — это обычная функция распределения вероятностей, которая описывает случайную величину, получающуюся, если заморозить время и рассмотреть значение процесса только в один фиксированный момент t₁. Оно зада- ётся функцией плотности f(u₁; t₁) и позволяет находить вероятности вида P{x(t₁) < u₁}. Таким образом, одномерное распределение характеризует процесс «в точке», но не говорит о связи между различными моментами времени. Многомерное (n-мерное) распределение возникает, когда одновременно рассматривают значения процесса в n произвольных моментах t₁, t₂, ..., tₙ. Оно задаётся совместной плотностью f(u₁, u₂, ..., uₙ; t₁, t₂, ..., tₙ) и содержит всю статистическую информацию о взаимосвязях между этими отсчётами: корреляции, условные вероятности и т. д. Именно многомерные распределения позволяют полностью описать случайный процесс и вычислять любые его средние характеристики, включая корреляционную функцию и спектральную плотность.