Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Курсовой проект 5 кафедра (спецы 4 курс) / 172_Моделирование физических процессов в энергетических ядерных реакторах на быстрых нейтронах
.pdf
61
Из последнего уравнения легко найти соотношения для определе-
ния коэффициентов α
l
, β
l
в первой точке второй зоны:
(3.14)
Затем можно снова воспользоваться рекуррентными формулами
(3.13) для нахождения значений коэффициентов α
l
, β
l
во всех точках
второй зоны кроме последней ее точки. В последней точке этой зоны
коэффициенты α = 1, β = 0, а для вычисления коэффициентов в пер-
вой точке следующей зоны надо воспользоваться соотношениями
(3.14). В результате использования такого алгоритма для каждой
зоны можно будет найти значения коэффициентов α
l
, β
l
для всех
пространственных точек системы.
Таким образом, так называемой «прямой прогонкой», т.е. в
направлении от центра к периферии, вычисляются коэффициенты α
l
,
β
l
для (3.12). Но чтобы воспользоваться (3.12), необходимо знать
значение плотности потока нейтронов в последней точке системы и
рассчитать значения ϕ
l
во всех предыдущих точках уже в направле-
нии от периферии к центру, т.е. осуществить «обратную прогонку».
Значение плотности потока нейтронов в последней точке может
быть найдено из краевого условия задачи. Например, в большинстве
расчетов используется нулевое граничное условие, т.е. ϕ
N
= 0, где
N — номер последней пространственной точки, находящейся на экс-
траполированной границе системы. Тогда, используя уравнение
α
n 1+
=
2
r
n 1,5+
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
2
Δr
2
---------
2
r
n 0,5–
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
1
Δr
1
---------
1 α
n 1–
–()2
r
n 1,5+
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
2
Δr
2
---------
Σ
1
Δr
1
Σ
2
Δr
2
+++
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------------------------
;=
β
n 1+
=
q
n
Δr
1
q
n 1+
Δr
2
2
r
n 0,5–
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
1
Δr
1
---------
++
2
r
n 0,5–
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
1
Δr
1
---------
1 α
n 1–
–()
r
n 1,5+
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
2
Δr
2
---------
Σ
1
Δr
1
Σ
2
Δr
2
+++
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------
.=
⎭
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎫
62
(3.12), можно найти значения ϕ
l
во всех предшествующих точках.
Однако программа TIME26 делает возможным использование и дру-
гого краевого условия, а именно условия симметрии на границе реак-
тора, т.е. ∇
r
ϕ(r
N
) = 0. Для нахождения значения ϕ
N
необходимо про-
интегрировать уравнение (3.10) по области в окрестности последней
точки. В этом случае она отстоит на полшага от границы системы,
т.е. уравнение интегрируется в интервале [r
N
– 0,5Δr
i
, r
N
+ 0,5Δr
i
].
Интегрирование дает следующий результат:
.
Поскольку ,
значение ϕ
N
может быть вычислено по следующей формуле:
.
Итак, «прямой прогонкой», т.е. в направлении от центра к пери-
ферии, находятся значения коэффициентов α
l
и β
l
во всех простран-
ственных точках системы. Затем из краевых условий определяется
значение плотности потока нейтронов в последней точке системы и
«обратной прогонкой», т.е. в направлении от периферии к центру,
вычисляются значения ϕ
l
во всех точках.
3.4. Алгоритмы решения уравнений выгорания
топлива
В программе TIME26 реализованы два алгоритма решения задач
выгорания топлива, рассмотренные в § 2.4. Один из них использу-
ется для изучения временного
′
«поведения» изотопного состава
и реактивности реактора в процессе его работы на мощности, а дру-
гой — для получения средних изотопных концентраций в установив-
шемся режиме РЧП. В основе каждого алгоритма лежат численные
решения уравнений (3.2) для распределений ψ
(k)
(r) в фиксированные
моменты времени для MRI-модели цилиндрического реактора при
r
α
D
i
dϕ
dr
-------
⎝⎠
⎛⎞
N 0,5–
Σ
i
ϕ
N
r
N
α
Δr
i
+ q
N
r
N
α
Δr
i
=
dϕ
dr
-------
r
N 0,5–
()
ϕ
N
ϕ
N 1–
–
Δr
i
-----------------------------
ϕ
N
1 α
N 1–
–()β
N 1–
–
Δr
i
-----------------------------------------------------------
==
ϕ
N
q
N
r
N 0,5–
r
N
-----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
i
Δr
i
2
---------
β
N 1–
+
r
N 0,5–
r
N
-----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
i
Δr
i
2
---------
1 α
N 1–
–()Σ
i
+
-------------------------------------------------------------------------------
=
63
известных концентрациях изотопов и уравнений изменения изо-
топного состава (2.13) при известных значениях средних по зонам
плотностей потока нейтронов и микросечений нейтронных реакций.
Временное
¢
поведение изотопного состава и реактивности
Изменение во времени изотопного состава, реактивности и дру-
гих НФ-характеристик реактора определяют в результате последова-
тельного решения уравнений (2.16), начиная с расчета распределе-
ния ϕ
(k)
(r, 0) в начальный момент времени t
0
= 0. Получаемые в
любой момент времени t
s
функции ϕ
(k)
(r, z, t
s
) = ψ
(k)
(r, t
s
)ζ(z) норми-
руются в соответствии с заданной тепловой мощностью реактора W
т
,
находятся средние по зонам потоки нейтронов и микросечения ней-
тронных реакций. Зависимости концентраций от времени в
интервале [t
s
, t
s +1
] рассчитываются с использованием следующего
алгоритма.
В предположении, что элементы матрицы в уравнении (2.13)
не зависят от времени в интервале [t
s
, t
s + 1
], решение этого уравне-
ния для концентраций изотопов в зоне i можно записать в виде
,
где Δt = t – t
s
; — вектор концентраций изотопов в момент
времени t
s
; — функция времени, получившая название
матричной экспоненты. Для этой функции всегда существует разло-
жение в ряд Тейлора:
Для большинства цепочек изотопных переходов, имеющих место
при работе реактора на мощности, матрица может быть записана
в нижнетреугольном виде, т.е. ее элементы M
i, j
= 0 при i < j. Хотя
программа TIME26 способна решать уравнения выгорания и для
произвольной матрицы, ограничимся описанием алгоритма вычисле-
ния матричной экспоненты от нижнетреугольной матрицы. Для
удобства записи введем обозначение .
N
i
l()
N
i
l()
t()
M
ˆ
N
i
t() exp M
ˆ
i
Δt()N
i
t
s
()=
N
i
t
s
()
N
i
l()
exp M
ˆ
i
Δt()
exp M
ˆ
i
Δt()E
ˆ
M
ˆ
i
Δt
M
ˆ
i
Δt()
2
2!
-----------------------
…
M
ˆ
i
Δt()
n
n!
-----------------------
…++ ++ +=
M
ˆ
A
ˆ
M
ˆ
i
Δt=
64
Известно, что матрицу можно представить в следующем виде:
,
где — матрица, столбцами которой являются собственные век-
торы матрицы ; diag(λ) — диагональная матрица, элементами
которой являются собственные значения матрицы .
Нетрудно показать, что если известны собственные векторы и
собственные значения λ
j
матрицы , то экспонента от нее может
быть вычислена так
,
где diag(e
λ
) — диагональная матрица с элементами .
Действительно
В случае нижнетреугольной матрицы определение ее собствен-
ных значений и собственных векторов существенно упрощается.
Легко показать, что собственными значениями нижнетреугольной
матрицы являются значения ее диагональных элементов a
i, i
, а
элементы матриц можно вычислить по следующим
формулам:
A
ˆ
A
ˆ
D
ˆ
diag λ()D
ˆ
1–
=
D
ˆ
A
ˆ
A
ˆ
A
ˆ
exp A
ˆ
() D
ˆ
diag e
λ
()D
ˆ
1–
=
e
λ
j
exp A
ˆ
() E
ˆ
A
ˆ
A
ˆ
2
2!
------
…
A
ˆ
n
n!
------
++ + + D
ˆ
E
ˆ
D
ˆ
1–
D
ˆ
diag λ()D
ˆ
1–
++==
+ D
ˆ
diag
λ
2
2!
-----
⎝⎠
⎛⎞
D
ˆ
1–
… D
ˆ
diag
λ
n
n!
-----
⎝⎠
⎛⎞
D
ˆ
1–
++ D
ˆ
diag e
λ
()D
ˆ
1–
.=
A
ˆ
D
ˆ
и D
ˆ
1–
D
ˆ
()
ij,
d
ij,
a
il,
d
lj,
lj=
i 1–
∑
a
jj,
a
ii,
–
---------------------------
; d
ii,
1;== =
D
ˆ
1–
⎝⎠
⎛⎞
ij,
d
′
ij,
a
lj,
d
′
il,
lj 1+=
i
∑
a
ii,
a
jj,
–
------------------------------------
; d
′
ii,
1.== =
65
Средние изотопные концентрации
В установившемся режиме РЧП средние изотопные концентрации
и предельно допустимое время облучения топлива в зоне
i определяются решением итерационным способом системы уравне-
ний (2.21)—(2.23) при известных значениях начальной концентра-
ции и допустимой нормы P
0
накопления ПД. В дальней-
шем, когда будет определено время ΔT между перегрузками, вместо
P
0
берется максимальная для зоны i глубина выгорания .
На каждой итерации распределения 〈ϕ
(k)
(r, z)〉 находятся из реше-
ния уравнений (3.2) с условиями (3.3) для MRI-модели с использова-
нием концентраций, полученных на предыдущей итерации. После
этого проводятся нормировка функций , расчет распре-
делений 〈Φ
(k)
(r, z)〉 и средних по зонам потоков , микросечений
нейтронных реакций, распределения тепловыделения
и времени облучения . Новые
значения средних изотопных концентраций определяются по следу-
ющей формуле:
,
где — вектор концентраций ядер,
находящихся в зоне i к моменту времени .
Если необходимо добиться критичности реактора (или выбран-
ного пользователем значения при среднем изотопном составе),
то нужно провести коррекцию состава свежего топлива, загружае-
мого в реактор. Коррекция выполняется так, чтобы общая масса нук-
лидов, входящих в состав топлива зоны i, осталась неизменной, т.е.
. Топливные нуклиды условно делятся на
две группы: «активные» с номерами l ∈ L
a
и «пассивные» с номе-
N
i
l()
〈〉
T
i
0()
N
i
l()
〈〉0()
P
i
0()
ϕ
0
k()
rz,()〈〉
Φ
i
〈〉
qrz,()〈〉 Σ
f
k()
〈〉Φ
k()
rz,()〈〉
k 1=
26
∑
=
T
i
0()
N
i
〈〉
1
T
i
0()
----------
N
i
t()dt
0
T
i
0()
∫
1
T
i
0()
----------
M
ˆ
i
1–
N
i
T
i
0()
N
i
0()–==
N
i
T
i
0()
⎝⎠
⎛⎞
exp M
ˆ
i
T
i
0()
⎝⎠
⎛⎞
N
i
0()=
T
i
0()
k
эф
0()
N
l
i()
0()
l
∑
const = N
i
tot
0()=
66
рами l ∈ L
p
. Концентрации «активных» нуклидов целенаправленно
изменяются так, чтобы приблизить значение k
эф
к значению :
.
Концентрации «пассивных» нуклидов тоже изменяются, но
только с другой целью, а именно: необходимо оставить сумму кон-
центраций «активных» и «пассивных» нуклидов прежней:
.
В качестве примера такой коррекции изотопного состава можно
привести изменение соотношения между концентрациями
235
U
(«активный» нуклид) и
238
U («пассивный» нуклид) при неизменной
их сумме, т.е. коррекцию обогащения урана. Другим примером
может быть изменение соотношения между долями плутониевой и
урановой фракций в смешанном уран-плутониевом топливе. В этом
случае изотопы плутония
239
Pu,
240
Pu,
241
Pu и
242
Pu считаются
«активными», и их концентрации меняются так, чтобы приблизить
k
эф
к нужному значению, а изотопы урана
235
U и
238
U считаются
«пассивными», и их концентрации меняются так, чтобы сумма кон-
центраций урановых и плутониевых изотопов осталась прежней.
3.5. Коэффициенты чувствительности
и эффективные параметры нейтронной кинетики
При использовании программы TIME26 имеется возможность
рассчитать пространственно-энергетическое распределение асимп-
k
эф
0()
N
l
i()
0()
⎝⎠
⎛⎞
′
N
i
l()
0()1 C
l
k
эф
k
эф
0()
–
k
эф
------------------------
+; lL
a
∈=
N
i
l()
0() N
i
l()
0()
lL
p
∈
∑
+
lL
a
∈
∑
=
N
i
l()
0()
⎝⎠
⎛⎞
′
N
i
l()
0()
⎝⎠
⎛⎞
′
lL
p
∈
∑
+
lL
a
∈
∑
N
i
tot
0();==
N
i
l()
0()
⎝⎠
⎛⎞
′
lL
p
∈
∑
N
i
tot
0() N
i
l()
0()
⎝⎠
⎛⎞
′
;
lL
a
∈
∑
–=
N
i
l()
0()
⎝⎠
⎛⎞
′
N
i
l()
0()
N
i
l()
0()
lL
p
∈
∑
--------------------------------
N
i
tot
0() N
i
l()
0()
⎝⎠
⎛⎞
′
lL
a
∈
∑
–
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
, lL
p
∈=
67
тотической ценности нейтронов, которое в MRI-модели многозон-
ного цилиндрического реактора можно представить в виде
ϕ
+(k)
(r, z) = ψ
+(k)
(r)ζ(z), (3.15)
где функция ζ(z), описывающая аксиальное распределение ценности
нейтронов, является решением уравнений (3.4) при условиях (3.5).
Функции ψ
+(k)
(r), описывающие радиальные распределения цен-
ности нейтронов, находятся из решения уравнения
(3.16)
с учетом того, что функции ψ
+(k)
(r) и непрерывны
при 0 ≤ r ≤ R и удовлетворяют граничным условиям
.
Распределения ценностей ψ
+(k)
(r) и значения эффективного коэф-
фициента размножения нейтронов k
эф
находятся методом итераций
источников с использованием того же алгоритма «двойной про-
гонки» и такого же размещения точек конечно-разностной сетки, как
и при расчете распределения плотности потока нейтронов (см. § 3.3).
Знание пространственно-энергетических распределений ψ
(k)
(r) и
ψ
+(k)
(r) позволяет рассчитать такие важные НФ-характеристики
реактора, как эффективная доля запаздывающих нейтронов, время
жизни мгновенных нейтронов и чувствительность эффективного
коэффициента размножения нейтронов к изменениям концентраций
ядер изотопов в реакторе.
Коэффициенты чувствительности для ядер сорта l в зоне i
совпадают по значению с производными k
эф
:
1
r
α
-----
d
dr
-----
r
α
D
k()
r()
dψ
+ k()
r()
dr
-------------------------
– Σ
ad
k()
r() ω
z
2
D
k()
r()+ ψ
+ k()
r()+=
1
k
эф
--------
ν
j
k()
Σ
f
k()
χ
j()
ψ
+ j()
r() Σ
kj→()
r()ψ
+ j()
r()
jk 1+=
m
∑
+
j 1=
m
∑
=
D
k()
r()
dψ
+ k()
r()
dr
-------------------------
dψ
+ k()
r()
dr
-------------------------
r 0=
ψ
+ k()
R() 0==
H
i
l()
H
i
l()
dk
эф
dN
i
l()
-------------
=
68
и находятся по формулам (2.10)—(2.12) теории малых возмущений с
использованием следующих соотношений:
,
(3.17)
где фигурные скобки означают интегрирование по объему реактора
и суммирование по энергетическим группам.
Поскольку являются операторами многогруппового диф-
фузионного приближения, слагаемые (3.17), включающие в себя про-
изводные этих операторов, можно представить в следующем виде:
;
,
где
; ;
; .
Знаменатель уравнения (3.17), или ценность нейтронов деления
(ЦНД), вычисляют по следующей формуле:
.
H
i
l()
∂k
эф
∂N
i
l()
-------------
k
эф
2
∂
1
k
эф
--------
⎝⎠
⎛⎞
∂N
i
l()
-----------------
– k
эф
2
y
+
∂L
ˆ
∂N
i
l()
-------------
y
⎩⎭
⎨⎬
⎧⎫
1
k
эф
--------
y
+
∂Q
ˆ
∂N
i
l()
-------------
y
⎩⎭
⎨⎬
⎧⎫
–
y
+
Q
ˆ
y{}
----------------------------------------------------------------------------------
–== =
L
ˆ
и Q
ˆ
ψ
+
∂L
ˆ
∂N
i
l()
-------------
ψ
⎩⎭
⎨⎬
⎧⎫
∂D
i
k()
∂N
i
l()
--------------
∇ψ
k()
∇ψ
+ k()
r
α
dr
∂Σ
ad,i
∂N
i
l()
---------------
ω
r
2
∂D
i
k()
∂N
i
l()
--------------
+
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎛⎞
×+
ΔR
i
∫
k
∑
=
ψ
k()
ψ
+ k()
r
α
dr
∂Σ
i
jk→()
∂N
i
l()
----------------------
ψ
j()
ψ
+ k()
r
α
dr
ΔR
i
∫
j 1=
k 1–
∑
–
ΔR
i
∫
×
ψ
+
∂Q
ˆ
∂N
i
l()
-------------
ψ
⎩⎭
⎨⎬
⎧⎫
χ
k
∂ν
f
k()
Σ
fi,
k′()
∂N
i
l()
-------------------------
ψ
k′()
ψ
+ k()
r
α
dr
ΔR
i
∫
k′
∑
k
∑
=
∂D
i
k()
∂N
i
l()
--------------
3 D
i
k()
⎝⎠
⎛⎞
2
σ
tr l,
k()
–=
∂Σ
ad,i
∂N
i
l()
---------------
σ
ad,l
k()
=
∂Σ
i
jk→
∂N
i
l()
------------------
σ
l
jk→()
=
∂ν
f
k()
Σ
fi,
k()
∂N
i
l()
-----------------------
νσ
fl,
k()
=
ЦНД = y
+
Q
ˆ
y{}χ
k()
ν
f
j()
Σ
fi,
j()
ψ
j()
ψ
+ k()
r
α
dr
ΔR
i
∫
i
∑
j
∑
k
∑
=
69
В том случае, когда концентрации всех изотопов изменяются на
, возникающее изменение эффективного коэффициента раз-
множения нейтронов можно оценить по формуле
.
Согласно уравнениям нейтронной кинетики реакторов в точечном
приближении и соотношениям (2.34) время жизни мгновенных ней-
тронов и эффективная доля запаздывающих нейтронов могут
быть вычислены по следующим формулам:
;
где k, k′ — номера энергетических групп (26 групп); m — номер вре-
менной
′
группы запаздывающих нейтронов (6 групп);
v
(k)
— средняя
скорость нейтронов в энергетической группе k; — среднее
число запаздывающих нейтронов, образующихся при одном делении
изотопа сорта l; — среднее число мгновенных нейтронов, образу-
ющихся при одном делении изотопа сорта l; β
m, l
— доля запаздыва-
ющих нейтронов временной
′
группы m, образующихся при делении
изотопа l; — доля запаздывающих нейтронов, принадлежащих
временной
′
группе m и энергетической группе k.
3.6. Органы регулирования и эффекты реактивности
Обычно в активных зонах энергетических быстрых реакторов раз-
мещаются четыре группы органов регулирования:
1) регулирующие сборки (РС), необходимые для оперативного
варьирования уровня мощности путем введения малых положитель-
ных или отрицательных изменений реактивности. Общая положи-
тельная реактивность, которую способны внести все регулирующие
δN
i
l()
δk
эф
H
i
l()
δN
i
l()
l
∑
i
∑
=
Λ
~
β
~
Λ
~
1
ЦНД
------------
1
v
k()
---------
ψ
k()
ψ
+ k()
r
α
dr
ΔR
i
∫
i
∑
k 1=
26
∑
=
β
~
1
ЦНД
------------
ν
dl,
ν
l
----------
β
ml,
χ′
mk,
ν
f
k′()
σ
fl,
k′()
×
k′ 1=
26
∑
k 1=
26
∑
m 1=
6
∑
l
∑
=
N
i
l()
ψ
k′()
ψ
+ k()
r
α
dr,
ΔR
i
∫
i
∑
×
ν
dl,
ν
l
χ′
mk,
70
сборки, не должна превышать эффективную долю запаздывающих
нейтронов ;
2) сборки аварийной защиты (АЗ). Общая отрицательная реактив-
ность, вносимая этими сборками, обычно составляет около ;
3) сборки для компенсации температурного эффекта реактив-
ности. Общая реактивность, вносимая всеми температурными ком-
пенсаторами (ТК), рассчитывается с использованием температурных
коэффициентов реактивности и изменений температур топлива и
теплоносителя при переходе от «холодного» к «горячему» состоя-
нию активной зоны;
4) сборки для компенсации изменения реактивности в процессе
выгорания топлива — компенсирующие сборки (КС).
Таким образом, расчет эффективности органов регулирования
включает в себя:
определение эффективной доли запаздывающих нейтронов;
выбор состава и геометрических размеров органов регулирова-
ния;
оценку эффектов реактивности, вносимых органами регулирова-
ния при их размещении в различных областях активной зоны;
нахождение количества и мест расположения органов регулиро-
вания, способных удовлетворять требованиям безопасности эксплуа-
тации реактора.
Эффективность органов регулирования
Обычно органы регулирования оказывают влияние на реактив-
ность за счет их перемещения в аксиальном направлении внутри
канала, имеющего те же геометрические характеристики, что и ТВС,
и замены части теплоносителя материалом, который интенсивно
поглощает нейтроны. Поэтому наиболее подходящим для расчета
органов регулирования является выбор MRI-модели реактора и в
качестве основного поглощающего материала карбида бора B
4
C,
содержащего смесь изотопов
10
B и
11
B, из которых
10
B — сильный
поглотитель нейтронов. Обогащение бора изотопом
10
B зависит от
назначения сборки. Так, учитывая большое изменение реактивности,
которое должны обеспечить сборки аварийной защиты, выбирают
высокое обогащение (до 80 %
10
B) для того, чтобы уменьшить коли-
чество органов АЗ. Для остальных регулирующих сборок можно
выбрать и меньшее содержание
10
B, вплоть до 18 %, что соответ-
ствует природному бору.
β
~
10β
~
Соседние файлы в папке Курсовой проект 5 кафедра (спецы 4 курс)