Добавил:
okley
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Курсовой проект 5 кафедра (спецы 4 курс) / 172_Моделирование физических процессов в энергетических ядерных реакторах на быстрых нейтронах
.pdf
51
Нетривиальные и отвечающие физическому смыслу решения
уравнений (3.2), (3.4) с условиями (3.3), (3.5) существуют, если в
качестве собственных чисел и , называемых соответственно
аксиальным и радиальным геометрическими параметрами, берутся:
(3.6)
Этим собственным числам соответствуют собственные функции:
ζ(z) = cos(ω
z
z) — в основной задаче;
(3.7)
ψ(r) = J
0
(ω
r
r) — во вспомогательной задаче.
При известных значениях собственные функции ψ
(k)
(r) и
ζ
(k)
(z) находятся путем решения уравнений (3.2) и (3.4) методом ите-
раций источников. В этом методе слагаемые, описывающие скорость
генерации нейтронов деления, рассчитываются с использованием
распределения потока нейтронов, полученного на предыдущей ите-
рации. Например, при нахождении распределений на итера-
ции с номером n следующие уравнения решаются последовательно
для всех энергетических групп, начиная с первой:
где
ω
z
2
ω
r
2
ω
z
2
π
H
а.з
2δ
z
+
---------------------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
2
; ω
r
2
2,405
R
а.з
δ
R
+
------------------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
2
.==
ω
z
2
и ω
r
2
ψ
n
k()
r()
1
r
---
d
dr
-----
rD
k()
r()
dψ
n
k()
dr
--------------
– Σ
ad
k()
ω
z
2
D
k()
r()+ ψ
n
k()
+=
q
n 1–
k()
r() Σ
jk→
ψ
n
j()
,
j 1=
k 1–
∑
+=
q
n 1–
k()
r()
1
k
эф
n 1–()
-----------------
χ
k()
ν
f
j()
Σ
f
j()
ψ
n 1–
j()
r();
j 1=
m
∑
=
k
эф
n 1–()
ν
f
j()
Σ
f
j()
r()ψ
n 1–
j()
r()r dr.
0
R
∫
j 1=
m
∑
=
⎭
⎬
⎫
52
Процесс итераций продолжается до тех пор, пока значение
эффективного коэффициента размножения нейтронов k
эф
не стаби-
лизируется в рамках заданной погрешности ε, т.е.
.
Эффективные добавки и расчет НФ-характеристик
реактора
Значения эффективного коэффициента размножения нейтронов
k
эф
, полученные при решении основной и вспомогательной задач,
могут не совпадать, если эффективные добавки δ
R
и δ
z
заданы произ-
вольно. Чтобы этого не случилось, проводятся дополнительные ите-
рации, связанные с решением основной и вспомогательной задач и с
определением эффективных добавок δ
R
и δ
z
через разность размеров
критических реакторов с экраном и без экрана.
Приведем последовательность этих дополнительных расчетов.
1. Рассчитывается одномерная цилиндрическая MR-модель реак-
тора с боковым экраном, но без торцевых экранов (см. рис. 3.4).
Утечка нейтронов в торцевые экраны учитывается с помощью акси-
ального геометрического параметра . Это экви-
валентно тому, что высота активной зоны увеличивается на двойное
значение эффективной добавки δ
z
, задаваемой для начала пользова-
телем, т.е. . Находится этой модели.
2. Рассчитывается эта же цилиндрическая модель реактора, но без
бокового экрана. Вариантными расчетами надо найти такой радиус
активной зоны , при котором k
эф
= . Тогда δ
R
= .
3. Выполняется расчет одномерной MZ-модели реактора с торце-
выми экранами, но без бокового экрана (см. рис. 3.5). Утечка нейтро-
нов в боковой экран учитывается с помощью радиального геометри-
ческого параметра . Это эквивалентно тому, что
радиус активной зоны увеличивается на значение эффективной
добавки δ
R
, определенной на предыдущем этапе, т.е. = R
а.з
+ δ
R
.
Находится этой модели.
k
эф
n()
k
эф
n 1–()
–
k
эф
n()
---------------------------------
ε≤
ω
z
2
π
H
а.з
2δ
z
+
---------------------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
2
=
H
′
а.з
H
а.з
2δ
z
+=
k
эф
1()
R
′
а.з
k
эф
1()
R
′
а.з
R
а.з
–
ω
R
2
2,405
R
′
а.з
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
2
=
R
′
а.з
k
эф
2()
53
4. Далее рассчитывается эта же модель, но без торцевых экранов.
Вариантными расчетами надо найти такую высоту активной зоны
, при которой k
эф
= . Тогда δ
z
= .
5. Затем необходимо вернуться к п. 1 и использовать найденную
эффективную аксиальную добавку δ
z
для расчета одномерной цилин-
дрической модели.
Итерационный процесс следует продолжать до тех пор, пока зна-
чения эффективных добавок δ
R
и δ
z
не будут определены с заданной
точностью.
При расчете НФ-характеристик реактора следует иметь в виду,
что функции ϕ
(k)
(r, z) в основной и вспомогательной задачах будут
найдены с точностью до постоянных и разных по значению множи-
телей. Выбирая их так, чтобы в каждой модели реактора поток ней-
тронов, проинтегрированный по объему зоны (1,1) (см. рис. 3.3),
принимал одно и то же значение, получаем
(3.8)
где ; V
(1,1)
— объем зоны (1,1); А — произ-
вольный множитель, значение которого можно определить с помо-
щью соотношений (2.7), (2.8).
Следует также обратить внимание на такие НФ-характеристики,
которые определяются как отношение скорости процессов взаимо-
действия в одной зоне F
(i, j)
к скорости процессов взаимодействия в
другой зоне F
(k, l)
. Их нетрудно вычислить, учитывая условия норми-
ровки (3.8), когда рассматриваются зоны (1,1), (1,2) и (2,1). Что каса-
ется зоны (2,2), то отношение F
(2,2)
/F
(1,1)
можно получить с вводом
дополнительных предположений. Например, при нахождении коэф-
фициента воспроизводства в зоне (2,2), равного отношению скорости
образования
239
Pu в зоне (2,2) к скорости его выгорания в зоне (1,1),
примем следующие предположения:
— спектры нейтронов в зонах (1,2) и (2,2), т.е. в зонах бокового
экрана, различаются незначительно;
— отношение средних потоков нейтронов в зонах (2,2) и (1,2)
близко к отношению этих потоков в зонах (2,1) и (1,1).
H
′
а.з
k
эф
2()
0,5 H
′
а.з
H
а.з
–()
ϕ
k()
rz,()
Aψ
k()
r()ζz() — в основной задаче;
Aγζ
k()
z()ψr() — во вспомогательной задаче,
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
=
γ
ψ
k()
r()ζz()dV
V
1,1()
∫
k
∑
ζ
k()
z()ψr()dV
V
1,1()
∫
k
∑
---------------------------------------------------------
=
54
Тогда для оценки коэффициента воспроизводства в зоне (2,2)
можно воспользоваться соотношением
,
где — мак-
росечение радиационного захвата нейтронов изотопом
238
U, усред-
ненное по спектру нейтронов в зоне (1,2); — макросечение
поглощения нейтронов изотопом
239
Pu, усредненное по спектру ней-
тронов в зоне (1,1).
Модели реактора с неоднородными активными зонами
Пусть теперь двумерная модель реактора имеет неоднородную
активную зону, состоящую из нескольких зон с разными концентра-
циями ядерного топлива и окруженную боковым и торцевыми экра-
нами с разными характеристиками. Такие компоновки встречаются,
когда выравнивается поле тепловыделения или над активной зоной
размещается прослойка теплоносителя для повышения безопасности
эксплуатации реактора.
В подобных системах распределения потока нейтронов Φ
(k)
(r, z)
симметричны в радиальном направлении, но не обладают симмет-
рией в аксиальном направлении. Поэтому, ориентируясь на исполь-
зование метода разделения переменных, рассмотрим две следующие
одномерные модели реактора с неоднородной активной зоной:
— MRI-модель цилиндрического реактора высотой
, имеющего несколько зон разного состава в радиаль-
ном направлении. Последняя зона i = I + 1 является боковым экраном
толщиной R
б.э
(рис. 3.6);
— MZJ-модель многослойного цилиндрического реактора радиу-
сом и высотой
(ΔH
пр
— высота прослойки), имеющего несколько зон разного
КB
2,2()
Σ
c,8
k()
ϕ
k()
dV
V
2,2()
∫
k
∑
Σ
a,9
k()
ϕ
k()
dV
V
1,1()
∫
k
∑
------------------------------------------------
Σ
c,8
1,2()
Σ
a,9
1,1()
---------------
V
2,2()
V
1,2()
--------------
α
1
α
2
≈=
α
1
ϕ
k()
dV
V
1,2()
∫
k
∑
ϕ
k()
dV
V
1,1()
∫
k
∑
-------------------------------------
;=
α
2
1
V
2,1()
--------------
ϕ
k()
dV
V
2,1()
∫
k
∑
1
V
1,1()
--------------
ϕ
k()
dV
V
1,1()
∫
k
∑
----------------------------------------------------
;=
Σ
c,8
1,2()
Σ
a,9
1,1()
H H
а.з
+=
δ
z
1()
δ
z
2()
++
R
~
R
а.з
δ
R
+=
H
~
H
а.з
ΔH
т.э
1()
ΔH
т.э
2()
ΔH
пр
+++=
55
состава в аксиальном направлении (рис. 3.7). Составы бокового и
торцевых экранов совпадают с составами, использованными ранее в
основной и вспомогательной задачах.
Рис. 3.6. MRI-модель реактора
Эффективная добавка
Эффективная добавка
Активная зона
z
r
∆R
1
H
a.з
d
z
(1)
d
z
(2)
∆R
2
∆R
3
∆R
б.э
R
a.з
Боковой экран
Рис. 3.7. MZJ-модель реактора
Верхний торцевой экран
Прослойка ВТЭ
Нижний торцевой экран
Эффективная добавка
Гомогенная
активная зона
R
a.з
H
а.з
∆H
пр
∆H
т.э
z
r
d
R
(2)
∆H
т.э
(1)
56
Учитывая, что значения эффективных добавок определяются в
основном характеристиками областей, окружающих активную зону,
примем, что значения δ
R
и совпадают с уже найденными в
основной и вспомогательной задачах. Кроме того, будем считать, что
в MZJ-модели макроскопические сечения активной зоны полу-
чены путем усреднения с весом интегральных потоков группы k, рас-
считанных для MRI-модели:
. (3.9)
Тогда, представив решение уравнений (2.5) для рассматриваемых
моделей в виде (3.1), придем к уравнениям для функций ζ(z), ψ
(k)
(r) в
MRI-модели и ζ
(k)
(z), ψ(r) в MZJ-модели, которые отличаются от
(3.2)—(3.5) лишь тем, что в (3.2) надо принять
, при определении ζ(z) в качестве гранич-
ных условий использовать равенство , а вместо
макроскопического сечения в MZJ-модели следует брать значе-
ния . В этом случае ζ(z) = sin (ω
z
z) при 0 ≤ z ≤ .
Что касается значения , то для его определения следует вос-
пользоваться таким же итерационным процессом, который был рас-
смотрен ранее для MRI- и MZJ-моделей в основной и вспомогатель-
ных задачах метода разделения переменных. Начальные значения
аксиальной добавки и макроскопических сечений в MRI-
модели можно определить как
,
где — площадь поперечного сечения зоны i в MRI-
модели.
δ
z
1()
Σ
~
p
k()
Σ
~
p
k()
Σ
pi,
k()
ψ
k()
r()r dr
ΔR
i
∫
i 1=
I
∑
ψ
k()
r()r dr
ΔR
i
∫
i 1=
I
∑
-------------------------------------------------------
=
ω
z
2
π
H
а.з
δ
z
1()
δ
z
2()
++
-------------------------------------------
⎝⎠
⎜⎟
⎜⎟
⎛⎞
2
=
ζ 0() ζH
~
()0==
Σ
p
k()
Σ
~
p
k()
H
~
δ
z
2()
δ
z
2()
Σ
~
p
k()
δ
z
2()
δ
z
1()
; Σ
~
p
k()
1
S
---
Σ
pi,
k()
S
i
i 1=
I
∑
==
SS
i
; S
i
i 1=
I
∑
=
57
3.3. Численный метод расчета нейтронных потоков
В основе синтеза двумерных распределений плотности потока
нейтронов ϕ
(k)
(r, z) лежит решение уравнений (3.2) и (3.4) для функ-
ций ψ
(k)
(r) и ζ
(k)
(z), зависящих только от одной переменной. Исполь-
зуя метод итераций источников для нахождения этих функций, при-
ходим к решению следующего одномерного уравнения на каждой
итерации (номер энергетической группы опущен):
, (3.10)
где коэффициент диффузии D(r), макроскопическое сечение Σ(r) и
источник нейтронов q(r) — известные функции, терпящие разрыв на
границе раздела зон с разными свойствами; α — параметр, который
может принимать значения: α = 0 — для плоскости, α = 1 —
для цилиндра и α = 2 — для сферы. Под ϕ(r) понимается одна из
неизвестных функций ψ
(k)
(r) или ζ
(k)
(z).
В программе TIME26 уравнение (3.10) решается численно с пере-
ходом к конечно-разностному аналогу и использованием алгоритма
«двойной прогонки».
Сначала перейдем к конечно-разностному аналогу уравнения
(3.10), заменив непрерывную пространственную зависимость ϕ(r)
значениями этой функции в дискретных пространственных точках. В
данном случае для каждой зоны вводится равномерная (т.е. с посто-
янным шагом) сетка пространственных точек. На границах раздела
зон размещаются две точки с одинаковыми координатами: одна
слева от границы, другая — справа от нее, т.е. эти точки принадле-
жат разным зонам системы. Затем уравнение (3.10) интегрируется
в окрестности произвольной (внутренней) точки l, т.е. в пределах
интервала [r
l
– 0,5Δr
i
, r
l
+ 0,5Δr
i
], где r
l
— координата точки; Δr
i
—
шаг между точками в зоне i. Такое интегрирование приводит к сле-
дующим результатам:
.
1
r
α
-----
d
dr
-----
r
α
Dr()r
dϕ r()
dr
--------------
– Σ r()ϕr()+ qr(), 0 rR≤≤=
1
r
α
-----
d
dr
-----
r
α
D
dϕ
dr
-------
r
α
dr
∫
r
α
D
dϕ
dr
-------
⎝⎠
⎛⎞
l 0,5+
r
α
D
dϕ
dr
-------
⎝⎠
⎛⎞
l 0,5–
–==
r
l
0,5Δr
i
+()
α
D
i
ϕ
l 1+
ϕ
l
–
Δr
i
-------------------------
r
l
0,5Δr
i
–()
α
D
i
ϕ
l
ϕ
l 1–
–
Δr
i
-------------------------
;–=
Σ r()ϕr()r
α
dr
∫
Σ
i
ϕ
l
r
l
α
Δr
i
;=
qr()r
α
dr
∫
q
l
r
l
α
Δr
i
=
58
Окончательно конечно-разностный аналог уравнения (3.10)
может быть записан в следующем трехточечном виде:
A
l
ϕ
l – 1
+ B
l
ϕ
l
+ C
l
ϕ
l + 1
= Q
l
,(3.11)
где
;
.
Итак, дифференциальное уравнение (3.10) преобразовалось в сис-
тему алгебраических уравнений вида (3.11), число которых равно
числу точек конечно-разностной сетки. Решение этой системы нахо-
дится с использованием так называемого алгоритма «двойной про-
гонки», суть которого заключается в следующем. Значение плот-
ности потока нейтронов в точке l выразим через ее значение в
следующей точке l + 1 как
ϕ
l
= α
l
ϕ
l + 1
+ β
l
.(3.12)
Подставив (3.12) в (3.11), получим систему рекуррентных уравне-
ний для нахождения коэффициентов α
l
и β
l
через их значения в пре-
дыдущей точке α
l – 1
и β
l – 1
:
A
l
(α
l – 1
ϕ
l
+ β
l – 1
) + B
l
ϕ
l
+ C
l
ϕ
l + 1
= Q
l
;
(A
l
α
l – 1
+ B
l
)ϕ
l
= –C
l
ϕ
l + 1
+ (Q
l
– A
l
β
l – 1
);
(3.13)
A
l
D
i
Δr
i
--------
r
l
0,5Δr
i
–()
α
;–=
C
l
D
i
Δr
i
--------
r
l
0,5Δr
i
–()
α
;–=
B
l
Σ
i
r
l
α
Δr
i
D
i
Δr
i
--------
r
l
0,5Δr
i
+()
α
r
l
0,5Δr
i
–()
α
++=
Q
l
q
l
r
l
α
Δr
i
=
α
l
C
l
A
l
α
l 1–
B
l
+
-------------------------------
;–=
β
l
Q
l
A
l
β
l 1–
–
A
l
α
l 1–
B
l
+
-------------------------------
.=
⎭
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎫
59
Для того чтобы начать вычисления коэффициентов α
l
, β
l
во всех
пространственных точках системы, необходимо определить их зна-
чения в первой точке (значения α
1
, β
1
), а затем использовать рекур-
рентные соотношения (3.13).
Для вычисления значений α
1
и β
1
применяется краевое условие
уравнения (3.10) в центре системы. В большинстве случаев им явля-
ется условие симметрии нейтронного потока, т.е. ∇
r
ϕ(r = 0) = 0.
Тогда интегрируя уравнение (3.10) в окрестности первой точки (она
размещена на расстоянии полушага от центра системы), можно полу-
чить соотношение
,
т.е.
Теперь, используя рекуррентные соотношения (3.13), можно
определить значения коэффициентов α
l
, β
l
во всех точках первой
зоны кроме последней точки. Последняя точка первой зоны n и
первая точка второй зоны n + 1 имеют одни и те же координаты r
n
=
= r
n + 1
, но расположены по разные стороны границы раздела зон.
Для определения значений α
l
, β
l
в этих точках используются условия
непрерывности плотности потока и проекции тока нейтронов на гра-
нице раздела зон:
ϕ(r
n
) = ϕ(r
n + 1
);
.
Из условия непрерывности плотности потока нейтронов следует,
что α
n
= 1, β
n
= 0.
Σ
1
0,5()
α
Δr
1
2
D
1
–⋅ϕ
1
q
1
0,5()
α
Δr
1
2
D
1
ϕ
2
–⋅=
α
1
D
1
D
1
Σ
1
0,5()
α
Δr
1
2
⋅–
---------------------------------------------------
;=
β
1
q
1
0,5()
α
Δr
1
2
⋅
Σ
1
0,5()
α
Δr
1
2
D
1
–⋅
---------------------------------------------------
.=
D
1
d
dr
-----
ϕ r
n
() D
2
d
dr
-----
ϕ r
n 1+
()=
60
Условие непрерывности проекции тока нейтронов позволяет
определить значения α
n + 1
и β
n + 1
следующим образом. Уравнение
(3.10) необходимо проинтегрировать по области сначала слева от
границы зоны, т.е. в интервале [r
n
– 0,5Δr
1
, r
n
], а потом по области
справа от границы зоны, т.е. в интервале [r
n + 1
, r
n + 1
+ 0,5Δr
2
], и
результаты сложить.
После первого интегрирования получим
После второго интегрирования будем иметь
где .
Сложив результаты интегрирования, получим
С учетом того, что ϕ
n + 1
= ϕ
n
, а ϕ
n – 1
= α
n – 1
ϕ
n
+ β
n – 1
=
= α
n – 1
ϕ
n + 1
+ β
n – 1
, можно связать величины ϕ
n + 1
и ϕ
n + 2
следую-
щим уравнением:
r
n
α
D
1
dϕ
dr
-------
⎝⎠
⎛⎞
n
– r
n 0,5–
α
D
1
ϕ
n
ϕ
n 1–
–
Δr
1
--------------------------
0,5Σ
1
ϕ
n
r
n
α
Δr
1
+ + 0,5q
n
r
n
α
Δr
1
.=
r
n 1,5+
α
D
2
ϕ
n 2+
ϕ
n 1+
–
Δr
2
------------------------------------
– r
n 1+
α
D
2
dϕ
dr
-------
⎝⎠
⎛⎞
n 1+
++
0,5Σ
2
ϕ
n 1+
r
n 1+
α
Δr
2
+ 0,5q
n 1+
r
n 1+
α
Δr
2
,=
r
n 0,5–
r
n
0,5Δr
1
; r
n 1,5+
= r
n 1+
0,5Δr
2
+–=
2
r
n 0,5–
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
1
ϕ
n
ϕ
n 1–
–
Δr
1
---------------------------
2
r
n 1,5+
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
2
ϕ
n 1+
ϕ
n 2+
–
Δr
2
------------------------------------
++
Σ
1
Δr
1
Σ
2
Δr
2
+()ϕ
n
+ q
n
Δr
1
q
n 1+
Δr
2
.+=
ϕ
n 1+
2
r
n 0,5–
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
1
Δr
1
---------
1 α
n 1–
–()2
r
n 1,5+
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
2
Δr
2
---------
++
Σ
1
Δr
1
Σ
2
Δr
2
++]ϕ
n 2+
2
r
n 1,5+
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
2
Δr
2
---------
+=
q
n
Δr
1
q
n 1+
Δr
2
+()2
r
n 0,5–
r
n
----------------
⎝⎠
⎜⎟
⎛⎞
α
D
2
Δr
2
---------
β
n 1–
.++
Соседние файлы в папке Курсовой проект 5 кафедра (спецы 4 курс)