Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теория графов и комбинаторики. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет
О. Р. ПОЛЯКОВА
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРАФОВ
И КОМБИНАТОРИКИ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2017
1
УДК 519.17
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент А. Е. Михайлов (СПбГАСУ);
канд. техн. наук, доцент А. В. Гайков (СПбГТИ (ТУ))
Полякова О. Р.
Элементы теория графов и комбинаторики: учеб. пособие /
О. Р. Полякова; СПбГАСУ. – СПб., 2017. – 84 с.
ISBN 978-5-9227-0750-3
Приводятся основные определения и теоремы. Рассматриваются методики определения характеристик графа. Теоретическое изложение в теоретико-множественных терминах сопровождается большим количеством иллюстраций.
Предназначено для студентов специальностей «Прикладная математика» и «Прикладная математика и информатика». Пособие может быть рекомендовано также для самостоятельного изучения студентами всех форм обучения (дневной, вечерней и заочной) и всех специальностей СПбГАСУ, поскольку знакомство и овладение элементами данного раздела дискретной
математики становится все более необходимым для выпускников технических учебных заведений.
Ил. 60. Библиогр.: 7 назв.
Рекомендовано Учебно-методическим советом СПбГАСУ в качестве
учебного пособия.
ISBN 978-5-9227-0750-3
О. Р. Полякова, 2017
Санкт-Петербургский государственный
архитектурно-строительный университет, 2017
2
Введение
Данное пособие в первую очередь предназначено для самостоятельного изучения студентами специальностей «Прикладная
математики» и «Прикладная математика и информатика» СанктПетербургского государственного архитектурно-строительного
университета (СПбГАСУ). Также предусмотрена возможность использования некоторых методик данной разработки в практических
занятиях по предметам «Математика», «Теория вероятностей»,
«Теория вероятностей и математическая статистика» и при самостоятельном изучении предмета.
Теория графов рождалась при решении головоломок и занимательных задач. На настоящий момент эта теория – мощнейшее
средство для решения математических задач, относящихся к широкому спектру вопросов. Здесь и проектирование схем дорог,
и строительство объектов, и вопросы урбанистики и архитектуры,
и моделирование ситуаций между людьми и группами людей. Становление этого раздела математики происходит за счет стремительного расширения области приложения. Практически любую задачу, связанную с дискретными объектами, можно сформулировать
в теоретико-графовых терминах. Теория графов становится одним
из существенных частей математического аппарата кибернетики,
где используется язык дискретной математики.
Важность овладения языком теории графов, ее методиками
для студентов трудно переоценить. Хочется надеяться, что в ближайшей перспективе дисциплина «Теории графов и комбинаторика» найдет свое достойное место в учебном процессе студентов
инженерных и экономических специальностей всех форм обучения
ввиду ее значимости и одновременно доступности при определенном способе подачи материала.
Актуальность учебного пособия обусловлена отсутствием
разработок, небольшим количеством аудиторных часов по данной
дисциплине, а также потребностями формирования определенного
уровня мышления студентов для овладения основами дискретной
математики.
Дискретная математика – это часть математики, объединяющая и сближающая многие ее разделы. Сближение происходит по
3
мере того, как удается выяснить общность теоретических основ
разделов. В данной разработке акцент уделяется двум разделам –
теории множеств и алгебре, при помощи которых вводятся понятия, необходимые для углубления в теорию графов. Постепенное
включение незнакомых студентам элементов теории дискретных
множеств позволяет осуществить синтез различных разделов математики.
При разработке данного пособия были поставлены следующие
задачи:
отразить базовые моменты учебной программы курса «Тео-
рия графов и комбинаторика» в тексте пособия, создавая студентам
возможность самостоятельного изучения материала;
адаптировать материал к уровню подготовки студентов при
сохранении качества изложения;
пробудить интерес к задачам теории графов и их использо-
ванию в будущей профессиональной деятельности;
создать возможность самостоятельного формирования зна-
ний, умений и навыков по основам комбинаторного анализа и теории графов.
При изложении основ теории графов большое внимание уделено наглядности материала – учебное пособие содержит большое
количество иллюстраций.
В конце приведены задания для самостоятельной работы студентов, сформулированные в максимально «общем» виде, – студентам предлагается самим изобразить граф, характеристики которого
требуется определить. Как показывает опыт нескольких лет апробации курса, такие задания позволяют раскрыться индивидуальности студента. Картинки, создаваемые студентами при решении контрольных и домашних работ, активируют работу правого полушария головного мозга, которое, как правило, «парализовано» на
занятиях по математическим дисциплинам.
Файл с текстом пособия в формате pdf находится в свободном
доступе на сайте университета www.spbgasu.ru, и все желающие
могут ознакомиться с его содержанием.
Все замечания и пожелания отправляйте, пожалуйста, по адресу matem@spbgasu.ru.
4
Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
1.1. Основные комбинаторные формулы
Правило произведения: если некоторый объект А можно вы-
брать m различными способами, а для каждого из этих способов
другой объект В можно выбрать n способами, то выбрать А и В
(в указанном порядке) можно m
n способами.
·
Правило суммы: если некоторый объект Х можно выбрать k
различными способами, а другой объект Y (не зависящий от Х)
можно выбрать l способами, то выбрать либо Х, либо Y (в указанном порядке) можно k + l способами.
Определение 1.1. Размещением из n элементов по m называ-
ется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из некоторого множества n элементов.
Пример 1.1. Дано множество из пяти элементов {a, g, r, u, m}.
Привести пример размещения из 5 по 3.
Решение. Таким размещением может быть набор {r, m, a}. Об-
ращаем внимание, что набор {m, a, r} будет представлять собой
уже другое размещение.
Теорема 1.1. Число размещений из n элементов по m без по-
вторений равно:
m
n
.
1))((...1)( mnnn=A
Теорема 1.2. Число размещений из n элементов по m с повто-
рениями равно:
~
mm
.
n=A
n
Определение 1.2. Сочетанием из n элементов по k называется
набор k элементов, выбранных из данного множества, содержащего
n различных элементов. Наборы, отличающиеся только порядком
следования элементов, считаются одинаковыми.
Пример 1.2. Описать одно сочетание из 5 по 4 для множества
{a, g, r, u, m}.
Решение: {r, m, a, u}.
Теорема 1.3. Число сочетаний из n элементов по k без повто-
рений равно:
k
n
где n! = 1
n
=C
· 2 · 3 · … ·
,
!!!kkn
n, и по определению 0! = 1.
5
Величина
k
является биномиальным коэффициентом, то
C
n
есть коэффициентом в разложении по степеням х бинома Ньютона
n
332210
nnnnn
n
nn
k
kk
xCxCxCxCxCCx (1)
n
0
....1
Пример 1.3. Используя бином Ньютона, показать, что спра-
ведливо равенство
n
n
n
nn
n
n
n
n
nn
0111
n
k
0
n
n
kknk
baCbaCbaC
n
.
n
33322211100
baCbaCbaCbaCba
n
...
(2)
Используя данное разложение, найти коэффициент, содержа-
7y6
щий x
в разложении выражения (2х – 3у)13 по степеням x и y.
Решение. Для доказательства формулы (2) достаточно вынести
за скобку a
n
, после чего можно применять соотношения (1).
Необходимое слагаемое в разложении (2х – 3у)
13
получается,
если в формуле (2) положить n = 13, k = 6, и представляет собой
выражение:
13
)3()2(
8910111213
123456
!13
!6!)613(
6667766136
3)1(2
yx=yxC
67676767
.3211121332
yxyx
Пример 1.4. Доказать тождество
m
m
n
CCCС
n
.
kn
km
k
k
Решение. Преобразуем отдельно левую и правую части и по-
кажем, что они равны:
n
k
m
CС
m
n
!
mnm
)!(!
m
!
kmk
n
;
kmkmn
!)(!!)(!!)(!
n
km
k
CC
kn
n
!
knk
!)(!
kn
!)(
kmknkm
!))((!)(
n
!
.
mnknk
!)(!)(!
6
1.2. Матрица инцидентности
Определение 1.3.
Матрица называется бинарной, если она со-
стоит из элементов 1 и 0.
Пусть даны множество S, состоящее из n элементов {s
и его некоторые подмножества S
, j = 1, 2, …, m.
j
, s2, …, sn},
1
Определение 1.4. Матрицей инцидентности для данной си-
стемы подмножеств по отношению ко множеству S называется бинарная матрица размерами m×n с элементами a
a
= 1, если s
ij
∊ S
j
,
i
, где
ij
= 0, если s
a
ij
∉ S
, i = 1, 2,…., m, j = 1, 2, …, n.
j
i
Пример 1.5. Рассмотрим исходное множество S = {x, y, z, 1, 9,
p, q} и четыре его подмножества:
S
= {x, y, 1, p}
1
S
= {x, 9, p}
2
S
= {z, 1, 9, p, q}
3
S
= {y, z, p, q}.
4
Решение. Найдем матрицу инцидентности данной системы
подмножеств. Отметим, что она будет содержать ровно четыре
строки и семь столбцов
0101011
A
0110001
.
1111100
1100110
Очевидно, что количество столбцов совпадает с количеством
элементов исходного множества, количество строк – с количеством
рассматриваемых подмножеств. Внутри j-строки количество единиц определяется количеством элементов множества S
.
j
Позже мы определим понятие матрицы инцидентности для
графа. По существу оно будет вытекать из данного определения.
Определение 1.5. Матрицей попарных сравнений для мно-
жества чисел {s
n с элементами a
a
= 1, если sj < si ,
ij
a
= 0, если sj ≥ si , i, j = 1, 2, …, n.
ij
, s2, …, sn} называется квадратная матрица порядка
1
, где
ij
7
Ключевым в данном определении является тот факт, что рас-
сматриваются только множества чисел, то есть множества, для которых определены операции «больше» и «меньше». Это означает,
что приведенное в примере 1.5 множество не может быть описано
с использованием матрицы попарных сравнений. Поэтому рассмотрим пример с числовым множеством.
Пример 1.6. Пусть S = {3, –4, 0, 1, 9, 2}. Найти матрицу по-
парных сравнений.
Решение. Количество элементов множества равно шести
и матрица попарных сравнений будет иметь размер 6×6.
Выпишем соотношения, которые позволят определить эле-
менты первой строки матрицы:
3 ≥ 3, –4 < 3 , 0 < 3, 1 < 3, 9 ≥ 3, 2 < 3.
Значит, первая строка матрицы будет иметь вид
(0 1 1 1 0 1).
Рассуждая аналогичным образом, выводим матрицу попарных
сравнений для множества S:
101110
A
000000
100010
.
110011
101111
010001
Определение 1.6. Матрицей Адамара называется квадратная
матрица, состоящая из 1 и –1, в которой каждая строка ортогональна всем остальным строкам, а каждый столбец ортогонален всем
остальным столбцам.
Для того чтобы определить ортогональность строк матрицы,
достаточно вспомнить определение ортогональности двух векторов
в векторном пространстве и представить каждую строчку в виде
вектора соответствующей длины.
Пример 1.7. Проверить, является ли следующая матрица мат-
рицей Адамара:
1111
1111
.
1111
1111
8
Решение. Проверим последовательно ортогональность строк –
первой и второй, первой и третьей, первой и четвертой. Затем –
второй и четвертой, третьей и четвертой. Все «скалярные произведения» обращаются в нуль. Проделывая то же самое со столбцами,
приходим к выводу, что представленная матрица является матрицей Адамара.
Пример 1.8. Найти такие значения параметров а, в, с, при ко-
торых данная матрица будет являться матрицей Адамара:
1111
а
в
111
111
.
111
с
Решение. Ортогональность первых двух строк
1·1 + 1· a + (–1)·(–1) + 1·(–1) = 0
позволяет найти значение первого неизвестного параметра. Аналогично, записывая условие ортогональности первой и последующих
строк,
1·1 + 1(–1) + (–1) ·b + 1· (–1) = 0,
1·1 + 1(–1) + (–1) ·1 + 1· c = 0.
Определяем значения неизвестных параметров:
a = –1, b = –1, c = 1.
Определение 1.7. Перестановкой называется упорядоченный
набор чисел 1, 2, 3, …, n, который можно интерпретировать как биекцию на множестве {1, 2, …, n}, которая числу i ставит
в соответствие i-й элемент из набора. Число n называется
перестановки
.
порядком
В теории графов мы будем иметь дело с циклами, которые на
языке комбинаторного анализа представляют собой не что иное,
как перестановки (или подстановки).
Определение 1.8. Цикл длины k – это такая подстановка π,
которая тождественна на всем множестве X , кроме подмножества
{x
, x2, …, xk} X;
1
и имеют место соотношения π(x
Цикл обозначается как (x
1
) = x1, π(xi) = x
k
, x2, …, xk ).
i+1
.
9
Определение 1.9. Цикл дины 2 называется транспозицией.
B
A
Даже не вводя на данном этапе определение графа, можно
представить геометрический образ цикла (2, 5, 6, 8, 15), где число
два «отображается» в число пять, пять «отображается» в шесть,
и так далее. Таким образом, мы приближаемся к представлению
о графах как интерпретации комбинаторных схем (рис. 1.1).
Рис. 1.1
1.3. Латинские квадраты
Определение 1.10. Латинский квадрат n-го порядка – таб-
лица размеров n×n, заполненная n элементами множества M таким
образом, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы каждый
элемент из M встречается в точности один раз.
Определение 1.11. Два латинских квадрата называются изоморфными, если один получается из другого:
перестановкой строк;
перестановкой столбцов;
переобозначением элементов.
Изоморфизм может быть представлен в виде C
, где A –
подстановка, определяющая перестановку строк, В – перестановку
столбцов, С – переобозначение элементов.
Определение 1.12. Два латинских квадрата n-го порядка L и K
с элементами lij и kij называются ортогональными, если все упорядоченные пары (lij, kij) различны.
Приведем пример двух ортогональных латинских квадратов и
соответствующие им упорядоченные пары:
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]