Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теория графов и комбинаторики. Учебное пособие
.pdf
2. Дерево – это связный граф с числом ребер на единицу
меньшим, чем число вершин, то есть m = n – 1
3. Дерево – это ациклический граф, обладающий тем свойством, что если любую пару несмежных вершин соединить ребром,
то полученный граф будет содержать ровно один простой цикл.
5.2. Остов графа
Большую роль в теории графов имеют задачи на отыскание
овного подграфа исходного графа, который бы представлял со-
ост
бой дерево. В общем случае взвешенного графа задача формулируется как поиск минимального остовного дерева. Минимальным
остовным деревом графа называется связный подграф, состоящий
из всех вершин исходного дерева и некоторых его ребер, причем
сумма весов ребер минимально возможная.
Пусть Н – остовный подграф произвольного графа G (опреде-
ление 2.23).
Определение 5.4. Если на каждой области связности графа G
графом Н порождается дерево, то Н называется
остовом графа G.
Очевидно, что в каждом графе существует остов: разрушая
в каждой компоненте циклы, то есть, удаляя лишние ребра, можно
прийти к остову, причем далеко не единственным способом. Приведем пример произвольного графа и одного из его остовов (рис. 5.2).
Рис. 5.2
В то время как число остовов для графа может быть достаточно большим, неизменным остается количество ребер, которые следует удалить из исходного графа для построения остова. Имеет место теорема, определяющая данное количество.
41
Теорема 5.1. Пусть G – (n, m) граф, имеющий k компонент
связности. Число ребер графа G, которые необходимо удалить для
получения остова, не зависит от последовательности их удаления
и равно m – n + k.
Пример 5.1. Определить число ребер, которые необходимо
удалить из двусвязного графа (рис. 5.3) для получения остова.
Рис. 5.3
Решение. Определим количество вершин и количество ребер
графа:
n = 12, m = 21.
Двусвязный граф имеет две компоненты, k = 2. Тогда
m – n + k = 21 – 12 + 2 = 11.
Именно такое число ребер необходимо удалить для получения
остова, который в этом случае будет являться лесом, объединяя два
дерева на двух компонентах связности графа. Представляем читателю проверить полученный результат непосредственным «разрушением» циклов в исходном графе.
Указанная в теореме величина является одной из важных характеристик графа и носит название цикломатического числа или
циклического ранга.
Определение 5.5. Число v = m – n + k называется циклома-
тическим числом
графа G.
Введение цикломатического числа позволяет дать еще одно
определение леса.
Определение 5.6. Лесом называется граф с цикломатическим
числом, равным нулю.
42
5.3. Центр дерева
В предыдущей главе было введено понятие центра произвольного графа как множество вершин с эксцентриситетом, равным радиусу графа, и рассматривался пример, в котором все вершины
графа становились его центром. Центр дерева – это всегда определенное множество, состоящее либо из одной, либо из двух вершин
графа.
Теорема 5.2. Центр любого дерева состоит из одной или
из двух смежных вершин.
Проиллюстрируем упомянутый факт на примере графа (рис. 5.4).
Рис. 5.4
Минимальный эксцентриситет, равный двум, имеет вершина
с номером 4, которая и является центром графа.
Можно доказать также, что центр дерева состоит из одной
вершины в случае, когда диаметр этого дерева является четным числом, и из двух смежных вершин, когда диаметр – число нечетное.
5.4. Теорема Кирхгофа о числе остовных деревьев в графе
Уже было отмечено, что число остовных деревьев может быть
достаточно большим. Использование матричных характеристик
графа, а именно матрицы Кирхгофа, позволяет ответить на вопрос
о количестве остовов, возможных для данного графа.
43
Теорема 5.3 (Теорема Кирхгофа). Число остовных деревьев
в связном графе G порядка n ≥ 2 равно алгебраическому дополнению любого элемента матрицы Кирхгофа.
Пример 5.2. Найти число остовных деревьев графа через мат-
рицу Кирхгофа, вычислив алгебраическое дополнение произвольного элемента матрицы (рис. 5.5).
Рис. 5.5
Решение. Выпишем матрицу Кирхгофа для приведенного на
рисунке графа:
11013
B
11040
.
01210
14111
31021
Поскольку можно вычислить алгебраическое дополнение любого элемента матрицы – матрица Кирхгофа обладает таким свойством, что все алгебраические дополнения равны между собой –
вычислим таковой для элемента В
. При выборе элемента мы ру-
42
ководствуемся тем, что четвертая строка и второй столбец не имеют нулевых элементов, а значит, их «вычеркивание» позволит
упростить последующие вычисления.
44
Проведем необходимые вычисления:
1103
1100
0120
3101
)1(
2324
2)1(1
113
110
311
003
)2(
110
311
3)2(
31
.24)4()6(
11
Таким образом, существует ровно 24 варианта остовных дере-
вьев графа, представленного на рис. 5.5.
5.5. Изображение p-адических чисел
Поле p-адических чисел представимо в виде однородного дерева с ветвлением на р частей в каждой вершине. Такое дерево
называют иерархическим.
Например, фрагмент 3-адического дерева показан на рис. 5.6.
Рис. 5.6
Данное изображение в точности соответствует описанию
двухуровневой фрактально-кластерной системы.
45
Развитие математического аппарата для моделирования систем, обладающих явной или скрытой иерархической структурой,
с необходимостью приводит к использованию р-адических чисел,
а значит, и иерархических деревьев для описания эволюции фрактально-кластерных систем.
Для знакомства с элементами p-адического анализа можно обратиться к работе [6].
46
Глава 6. ПЛАНАРНОСТЬ
6.1. Плоские и планарные графы
В практических задачах возникает вопрос о возможности такого изображения графа, при котором ребра графа не пересекаются,
то есть вершины графа можно представить в виде точек плоскости,
а ребра – в виде непересекающихся кривых. Такие задачи возникают, например, при прокладке коммуникаций между объектами при
условии, что пересечение коммуникаций нежелательно.
Определение 6.1. Граф называется плоским графом, если его
вершины являются точками плоскости, а ребра непрерывными
плоскими линиями без самопересечений, соединяющими соответствующие вершины так, что никакие два ребра не имеют общих точек, кроме инцидентной им обоим вершины.
Другими словами, если ребра не пересекаются в точках, отличных от вершин графа.
Данное понятие касается только геометрического изображе-
ния графа, но не графа как множества вершин и ребер. Приведем
пример графа, который в одном случае изображен как плоский
граф, в другом – не плоский (рис. 6.1).
Рис. 6.1
Плоский граф является частным случаем графа, уложенного
на поверхность S, где в данном случае в качестве поверхности берется плоскость.
47
Определение 6.2. Граф укладывается на поверхность S, ес-
ли его можно нарисовать на поверхности так, что никакие его два
ребра не пересекаются.
Определение 6.3. Граф называется планарным, если его мож-
но уложить на плоскости.
На рис. 6.2 приведены два графа – планарный и изоморфный
ему плоский граф.
Рис. 6.2
Сформулируем утверждение об укладке графа на сфере –
утверждение будет использовано в следующем параграфе при обсуждении выпуклых многогранников и формулы Эйлера.
Теорема 6.1. Граф укладывается на сфере тогда и только то-
гда, когда он планарен.
Определение 6.4. Будем говорить, что граф G укладывается
в пространство L
, если существует такое отображение вершин
и ребер графа G соответственно в точки и жордановы кривые этого
пространства, что различным вершинам соответствуют различные
точки, а кривые, соответствующие различным ребрам, пересекаются только в инцидентных этим ребрам вершинах. Изображенный
таким образом граф называется укладкой графа G в пространство L.
Имеет мест теорема.
Теорема 6.2. Каждый граф укладывается в трехмерное про-
3
странство Е
.
6.2. Грани плоского графа
Определение 6.5. Гранью плоского графа называется макси-
мальное по включению множество точек плоскости, каждая пара
48
которых может быть соединена жордановой кривой, не пересекающей ребра графа.
Тем самым каждая точка плоскости принадлежит хотя бы одной грани плоского графа. Границей грани будем считать множество вершин и ребер, принадлежащих этой грани.
Обращаем внимание, что каждый плоский граф имеет одну
единственную неограниченную грань. Условимся называть ее
внешней, в отличие от остальных внутренних граней. Так, граф,
представленный на рис. 6.3, имеет три грани – две внутренние, образованные треугольниками, и одну внешнюю, лежащую вне трапеции.
Рис. 6.3
Определение 6.6. Границей грани будем называть множество
вершин и ребер, принадлежащих этой грани.
Перед тем как сформулировать следующее утверждение, введем понятие моста (более подробно мосты и точки сочленения будут рассматриваться дальше). Определение моста, как и большинство понятий теории графов, вполне согласуется с нашими «общечеловеческими представлениями», что есть мост.
Определение 6.7. Мостом графа называется ребро, удаление
которого увеличивает число компонент графа. Примером графа
с двумя мостами может быть изображение вида (рис. 6.4).
Очевидно, что последовательное удаление мостов увеличивает
число компонент связности, увеличивая их вначале до двух, а после
удаления второго моста – до трех.
49
Рис. 6.4
Утверждение 6.1. Для любого плоского графа каждая точка
плоскости, не лежащая на ребре, входит только в одну грань; каждая точка ребра, не являющаяся вершиной, входит только в одну
грань, если это ребро является мостом, и точно в две грани, если
оно не мост.
В справедливости утверждения можно убедиться, проанализировав картинку графа, представленного на рис. 6.5, где по сравнению с рис. 6.4 добавлены три точки – на внешней грани, на мосту
и на внутренней грани соответственно.
Рис. 6.5
6.3. Формула Эйлера
Изучение планарных графов было начато Л. Эйлером в его исследованиях выпуклых многогранников. В 1758 г. в «Записках Петербургской Академии наук» была опубликована теорема о свойстве выпуклых многогранников.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]