Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теория графов и комбинаторики. Учебное пособие
.pdf
321
132
213
;
321
213
;
132
)3,3()2,2()1,1(
.
)2,1()1,3()3,2(
)1,2()3,1()2,3(
Эйлером была выдвинута гипотеза о существовании ортогональных пар латинских квадратов – для любых положительных целых чисел k не существует пар ортогональных латинских квадратов
порядка n = 4k – 2. Для случая n = 6 действительно «нерешаемая»
задача, сформулированная Эйлером, носит название задачи о шести
офицерах.
Спустя почти 200 лет гипотеза была опровергнута тем, что
были построены контрпримеры для случая n = 10, n = 22.
Рассмотрим пример, приводящий к понятию графов в задачах
с латинскими квадратами.
Пример 1.9. Показать зависимость между строками и столб-
цами латинского квадрата порядка 6:
654321
165432
426153
.
231564
312645
543216
Решение. Между строками возможны несколько типов связей.
Например, первые две строки
654321
165432
представляют собой шестичленный цикл (1, 2, 3, 4, 5, 6).
11
Вторая и четвертая строки
165432
231564
это произведение транспозиции (3, 6) на четырехчленный цикл
(2, 4, 5, 1).
Далее рассмотрим вторую и шестую строки:
165432
.
543216
Очевидно, их связь можно представить в виде произведения
двух трехчленных циклов (2, 6, 4) и (3, 1, 5).
Наконец, последний вариант связи – первая и третья строка –
как произведение трех транспозиций (1, 3), (2, 5), (4, 6).
Итак, возможны всего четыре типа связи, которые условимся
обозначать следующим образом:
Е
– произведение трех транспозиций;
222
Е
– произведение двух циклов длины 3;
33
Е
– произведение двух циклов длины 4 и 2;
42
Е
– цикл длины 6.
6
Проанализируем все возможные комбинации попарных соединений строк и напишем возможные варианты, обозначая строку
цифрой, соответствующей номеру строки:
Е
: 1 – 3, 1 – 4, 1 – 5,
222
Е
: 2 – 6, 3 – 4, 3 – 5, 4 – 5,
33
Е
: 2 – 3, 2 – 4, 2 – 5, 3 – 6, 4 – 6, 5 – 6,
42
Е6: 1 – 2, 1 – 6. (3)
Число таких комбинаций определяется числом сочетаний из
шести по два, поскольку каждый раз выбирается пара строк из шести, и равно
2
=C
6
!6
.15
!2!)26(
Пускай первая строка латинского квадрата будет изображена
в виде вершины шестиугольника. Вторая строка – второй вершиной
шестиугольника и так далее. Изобразим на рис. 1.2 связи
Е
и Е33
222
графически, соединяя вершины согласно соотношениям (3):
12
Два оставшихся вида связи
рис. 1.3.
Рис. 1.2
Е
и Е6 можно представить в виде
42
Рис. 1.3
Если объединить четыре изображения в одном, нарисовав
один шестиугольник с соединениями вершин линиями четырех видов, то можно получить полное геометрическое изображение связей строк латинского квадрата.
Проделывая аналогичную процедуру со столбцами, получаем
другой шестиугольник, фиксирующий связи столбцов латинского
квадрата.
Подобные графические интерпретации оказываются незаменимыми при решении задач на установление изоморфизма латинских квадратов. Ясно, что изображение связей строк для изоморфного латинского квадрата может отличаться лишь «нумерацией»
вершин шестиугольника.
Вершины шестиугольников и соответствующие связи между
ними представляют собой геометрическое изображение графа,
к изучению которого мы приступаем в следующей главе.
13
Глава 2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕОРИИ ГАФОВ
2.1. Из истории теории графов
Родоначальником теории графов является Леонард Эйлер.
Фрагмент текста из письма Эйлера к итальянскому математику
и инженеру Маринони, отправленного из Петербурга 13 марта 1736 года, гласит:
«Некогда мне была предложена задача об острове, расположенном в городе Кенигсберге и окруженном рекой, через которую
перекинуто семь мостов. Спрашивается, может ли кто-нибудь
непрерывно обойти их, проходя только однажды через каждый
мост. И тут же мне было сообщено, что никто еще до сих пор не
мог это проделать, но никто и не доказал, что это невозможно. Вопрос этот, хотя и банальный, показался мне, однако, достойным
внимания тем, что для его решения недостаточны ни геометрия, ни
алгебра, ни комбинаторное искусство… После долгих размышлений я нашел легкое правило, основанное на вполне убедительном
доказательстве, с помощью которого можно во всех задачах такого
рода тотчас же определить, может ли быть совершен такой обход
через какое угодно число и как угодно расположенных мостов или
не может. Кенигсбергские же мосты расположены так, что их можно представить на рис. 2.1, на котором
и
D – части континента, отделенные друг от друга рукавами реки.
Семь мостов обозначены буквами
A обозначает остров, а B, C
a, b, c, d, e, f, g».
Рис. 2.1
14
По поводу обнаруженного им способа решать задачи подобно-
го рода Эйлер писал:
«Это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало
отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее
от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь
другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только
рассуждением, и нет необходимости привлекать для нахождения
этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак,
я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешается математиками, чем другими».
Первая книга и термин «граф» появились только спустя 200 лет
после задачи Эйлера. Автором их стал венгерский математик Юлиус Кениг. Получив в 1907 году докторскую степень и находясь под
большим влиянием лекций Минковского о проблеме четырех красок, он стал все больше углубляться в теории графов. В 1935 году
Юлиус Кениг стал полным профессором университета в Будапеште, а в 1936 вышла его книга «Теория конечных и бесконечных
графов», где впервые и появился термин «граф».
2.2. Определение графа
Определим понятие обыкновенного графа.
Определение 2.1. Пусть V – непустое множество, V
жество всех его двухэлементных подмножеств.
V, Е), где Е – произвольное подмножество множества V
пара (
Графом называется
Пример 2.1. Дано множество V = {1, 2, 3, 4}. Тогда множество V
будет состоять из следующих пар элементов множества V:
(2)
– мно-
(2)
.
(2)
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4},{3, 4}.
Если в качестве
Е выбрать, например, подмножество
{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {3, 4},
то пара (
V, Е), где V = {1, 2, 3, 4}, Е ={{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {3, 4}},
будет назваться графом.
Определение 2.2. Элементы множества V называются верши-
графа.
нами
Определение 2.3. Элементы множества E называются ребрами
графа.
15
Другими словами, граф – это конечное множество V вершин
и множество
ментами
Множества вершин и ребер графа
E ребер. Вершины и ребра графа называются его эле-
.
G обозначаются символами
VG и EG соответственно.
Определение 2.4. Порядком графа называется число вершин
графа
G. Порядок графа принято обозначать через |G|.
Определение 2.5. Граф G, имеющий n вершин и m ребер, то
G| = n, |EG| = m, называется (n, m)-графом.
есть |
Если вершинам графа поставить в соответствие точки плоскости, а ребрам графа – линии, соединяющие соответствующие пары
точек, то можно получить геометрическое изображение графа. Так,
V, Е) из примера 2.1 соответствует изображение (рис. 2.2)
паре (
Рис. 2.2
Приведенный рисунок соответствует (4, 4)
-графу.
Пример 2.2. Описать пару (V, Е) для графа, приведенного на
рис. 2.3.
Рис. 2.3
16
Решение. Приведен (5, 6)-граф, VG = {А, Б, В, Г, Д}, EG = {{А, Б},
{Б, B}, {Б, Г}, {Б, Д}, {В, Г}, {Г, Д}}.
Определение 2.6. Две вершины u и v графа называются
смежными, если множество {и, v} является ребром. В этом случае
говорят, что ребро соединяет вершины
единены ребром, они называются
несмежными.
u и v. Если вершины не со-
Определение 2.7. Два ребра графа называются смежными,
если они имеют общий конец.
Определение 2.8. Вершина u и ребро e называются инци-
дентными
, если вершина u является концом ребра e.
Определение 2.9. Множество всех вершин графа G, смежных
с некоторой вершиной
v, называется окружением вершины v
и обозначается N(v).
Пример 2.3. Для графа (см. рис. 2.3) привести примеры смеж-
ных вершин, смежных ребер, инцидентной вершины и ребра, найти
множество
Решение
N(В).
. Смежными вершинами являются вершины графа А
и Б, смежными ребрами – БВ и ВГ. Вершина Б и ребро БВ – инцидентные. Множество
N(В) состоит из двух элементов: N(В) = {Б, Г}.
2.3. Графы специального вида
Определение 2.10.
Граф называется пустым, если множество
Е является пустым множеством. То есть пустой граф – это граф без
ребер. Пустой граф порядка
n обозначается через O
.
n
Определение 2.11. Граф G называется полным, если
EG = VG × VG,
то есть любые две его вершины смежны. Полный граф порядка n
K
обозначается символом
На рис. 2.4 приведены картинки полных графов порядка
.
n
n = 2,
3, 4, 5, 6:
Рис. 2.4
17
Особое место в теории графов занимает граф задачи о трех
P
K
колодцах. Такой граф обозначается
и имеет вид (рис. 2.5).
3,3
Рис. 2.5
Франка Харари начинает свою книгу «Теория графов» – одну
из фундаментальных книг по теории графов – с посвящения Кази-
K
и K
миру Куратовскому, «открывшему
5
для тех, кто думал, что
3,3
планарность относится лишь к топологии».
C
Выделим отдельно графы
циклом и простой цепью соответственно. Приведем приме-
стым
C
ры графов
и P5 (рис. 2.6), а почему они названы именно так, ста-
4
и Pn, которые называются про-
n
нет ясным после прочтения следующего параграфа.
C4
5
Рис. 2.6
2.4. Маршруты и связность
Рассмотрим граф со множеством вершин V = {v1, v2, ..., vn}
и множеством ребер
Е = {e
, e
, ..., e
1
2
}.
m
Определение 2.12. Последовательность вершин и ребер графа
v
, e1, v2, e2, ..., el, v
1
l+1
18
такая, что e
и v
ны v
1
= viv
i
(или (v1, v
l+1
, называется маршрутом, соединяющим верши-
i+1
)-маршрутом). Маршрут можно задать по-
l+1
следовательностью его вершин:
v
, v2 , ..., v
1
l+1
или последовательностью его ребер: e1, e2, ..., el .
Определение 2.13. Маршрут называется цепью, если все его
ребра различны.
Определение 2.14. Маршрут называется простой цепью, если
все его вершины, кроме, возможно, крайних, различны.
Определение 2.15. Маршрут называется циклическим, если
v1 = v
l+1
.
Определение 2.16. Циклическая цепь называется циклом.
То есть это маршрут, у которого все ребра различны и начало
маршрута «совпадает с концом».
Определение 2.17. Циклическая простая цепь называется про-
стым циклом.
Другими словами – это «замкнутый» маршрут, у ко-
торого различны все ребра и все вершины.
Определение 2.18. Число l ребер в маршруте называется его
длиной.
Определение 2.19. Минимальная из длин циклов графа назы-
вается его
обхватом.
Определим указанные параметры для конкретного графа.
Пример 2.4. Задан граф (рис. 2.7).
Рис. 2.7
Найти произвольный маршрут длины 10, цепь длины 8, цикл
длины 7, простой цикл длины 6 и обхват графа.
Решение. Будем описывать маршруты, используя последова-
тельность вершин графа
V = {1, 2, …, 11}.
19
Маршрут с длиной l = 10 зададим вершинами 1, 3, 4, 2, 6, 4, 5,
9, 10, 8, 11. Данный маршрут является цепью, поскольку не содержит одинаковых ребер, но не является простой цепью – вершина 4
входит в него дважды.
l = 8, например, имеет вид 1, 5, 9, 11, 8, 6, 2, 4, 3. Данная
Цепь
цепь является простой.
В качестве цикла
l = 7 рассмотрим последовательность 6, 4, 5,
1, 3, 4, 2, 6. Поскольку вершина 4 входит в маршрут дважды, можно
говорить о цикле, но не о простом цикле.
Простой цикл
l = 6 можно представить вершинами 2, 10, 11, 9,
5, 4, 2.
Обхват графа равен трем, поскольку граф содержит цикл 9, 10, 11,
длина которого является минимальной.
Введенные определения позволяют определить понятие связности
Определение 2.20. Граф называется связным, если любые две
его несовпадающие вершины соединены маршрутом.
Для того чтобы граф был связным, необходимо и достаточно,
чтобы в нем для какой-либо фиксированной вершины
другой вершины
v существовал (u, v)-маршрут. Действительно, на
u и каждой
графе (рис. 2.8)
Рис. 2.8
невозможно определить маршрут, например, из вершины 1 в вершину 10.
В следующем параграфе мы определим понятие подграфа,
а пока сформулируем следующее определение.
Определение 2.21. Связной компонентой графа G называет-
всякий максимальный связный подграф графа G.
ся
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]