Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теория графов и комбинаторики. Учебное пособие
.pdf
Теорема 3.1. Элемент с номером (i j) матрицы
маршрутов длины
в вершину v
.
Следствие 3.1. Элемент с номером (i i) матрицы
степени вершины
.
Следствие 3.2. Элемент с номером (i i) матрицы
удвоенному числу треугольников, содержащих
ком здесь подразумевается простой цикл дины 3.
Пример 3.3. Построить матрицы
, 2, 3для графа (рис. 3.3).
По построенным матрицам
найти степени вершин графа и число
треугольников с вершиной в каждой
из вершин графов.
Решение. Найдем матрицу А:
1110
A
0001
.
1001
0101
Умножим матрицу А на саму себя:
1103
2
A
1110
.
1211
2111
Построим
3
, перемножая матрицы 2 и
4432
3
A
1103
.
3214
2314
равен числу
2
равен
3
равен
. Под треугольни-
Рис. 3.3
:
31
Диагональные элементы матрицы
A
A
вод о степенях вершин. Степенная последовательность – в соответствии с нумерацией – 3, 1, 2, 2.
Диагональные элементы матрицы
дают информацию о том, что каждая из вершин 1, 3, 4 содержится
ровно в одном треугольнике, что вполне согласуется с рис. 3.3.
Определение 3.2. Рангом графа называется ранг его матрицы
смежности.
Так же, как это принято в алгебре при описании ранга матрицы, ранг графа G будем обозначать через rank G.
Определение 3.3. Характеристический полином графа –
это характеристический полином его матрицы смежности.
Определение 3.4. Совокупность корней характеристического
полинома с учетом их кратностей называется
Пример 3.4. Найти ранг, характеристический полином
и спектр графа (рис. 3.4).
2
позволяют сделать вы-
3
после деления на два
спектром графа.
Рис. 3.4
Решение. Найдем матрицу смежности
0010
A
Несложно увидеть, что ранг матрицы не превышает двух –
этот вывод можно сделать на основании того, что четвертая строка
матрицы – нулевая, и, кроме того, совпадают, а значит, линейно за-
0101
.
0010
0000
32
висимы первая и третья строки. Первая и вторая строки линейно
независимы, то есть rank G = 2.
Характеристическим полиномом матрицы является выражение
,EA
а спектром матрицы – корни уравнения
.0 EA
Запишем в развернутом виде
и проведем соответствующие вычисления, раскрывая определитель
по последней строке:
Продолжая раскрывать определитель (теперь по первой строке),
имеем
Таким образом, характеристический полином графа
имеет корни
Следовательно, спектр графа определяется этими четырьмя
числами.
10
))(1(
001
011
010
000
01
11
1
1
.0222
0
.0
11
.2,2,0,0
0
2
222
33
3.2. Матрица Кирхгофа
Р
Второй матрицей, ассоциированной с графом, считается матрица Кирхгофа. По-прежнему рассматривается помеченный граф
порядка
n,
= {1, 2, ..., n}.
VG
Определение 3.5. Матрицей Кирхгофа называется (n×n)
матрица
B с элементами
B
ij
jii
. если , deg
ji
смежны, и вершины если ,1
jiji
смежны, не и вершины и если 0,
Пример 3.5. Построить матрицу Кирхгофа для следующего
графа (рис. 3.5).
Рис. 3.5
Решение.
010012
B
100131
101310
.
012100
131001
300110
34
Для неориентированного графа матрица Кирхгофа симмет-
Р
рична и обладает тем свойством, что сумма элементов в каждой
строке (столбце) равна нулю.
Еще одно свойство матрицы Кирхгофа будет обсуждаться при
рассмотрении особого класса графов, называемых деревьями.
3.3. Матрица инцидентности графа
Для определения матрицы инцидентности графа необходимо
описать не только вершины, но и ребра графа. Пусть G – (n, m)
граф, VG = {1, 2, ..., n}, EG = {e
, e2, ..., em}.
1
Определение 3.6. Матрицей инцидентности называется
бинарная (n×m) матрица I с элементами
I
kl
случае. противном в 0
ek
l
,инцидентны ребро и вершина если ,1
Пример 3.6. Построить матрицу инцидентности, соответ-
ствующую графу (рис. 3.6).
ешение. Данных условий задачи недостаточно, поскольку не
определены ребра графа. Введем
следующие обозначения. Пусть
– ребро, соединяющее вершины
e
1
3 и 5, ребро e
3 и 4, ребро e
ребро e
4
строк в матрице инцидентности
равно пяти – по количеству вершин, число столбцов – четырем, по
соединяет вершины
2
– вершины 2 и 3,
3
– вершины 1 и 2. Число
Рис. 3.6
количеству ребер графа. По определению
1000
I
1100
.
0111
0010
0001
35
Отметим, что в каждом столбце матрицы ровно две единицы,
и одинаковых столбцов нет. Это свойство сохраняется для любой
матрицы инцидентности любого неориентированного простого
графа.
Кроме того, сумма единиц в каждой строке определяет степень соответствующей номеру строки вершины.
Так же, как в случае с матрицей смежности, существует взаимно однозначное соответствие между (n, m)
графом и (n×m) би-
нарной матрицей, удовлетворяющей указанным свойствам.
36
Глава 4. МЕТРИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ГРАФА
4.1. Расстояние как метрика
Пусть G – связный граф, а u и v – две его несовпадающие вершины. Напомним, что длина маршрута определялась как количество ребер в маршруте.
Определение 4.1.
ющей вершины u и v, называется
и v и обозначается через d (u, v).
u
Длина кратчайшей простой цепи, соединя-
расстоянием между вершинами
Если вершины не соединены, то будем считать, что расстояние между ними бесконечно. Положим еще d (u, u)
0. В связном
=
графе расстояние является метрикой, то есть некоторой функцией,
принимающей значения на множестве вещественных чисел (в данном случае целых, положительных). Известно, что метрика удовлетворяет условиям:
1) d (u, v) ≥ 0,
d (u, v) = 0 тогда и только тогда, когда u = v,
2) d (u, v)= d (v, и),
3) d (u, v) + d (v, w) ≥ d (u, w).
Предлагаем читателю самостоятельно проверить выполнение
третьего условия, называемого «неравенством треугольника», на
примере любого из вышеприведенных графов.
4.2. Диаметр и радиус графа
Зафиксируем определенную вершину графа.
Определение 4.2. Эксцентриситетом вершины u называет-
ся наибольшее из всех расстояний до любой вершины графа
VGv
).,(max)( vudue
Эксцентриситет вершины можно рассматривать как меру удаленности данной вершины от самой «дальней» вершины графа.
Определение 4.3. Максимальный среди всех эксцентрисите-
тов вершин называется
Обозначим его через d(G). Поскольку
VGu
диаметром графа G.
),(max)( ueGd
37
то для отыскания диаметра необходимо знать эксцентриситеты всех
вершин графа.
Пример 4.1. Найти диаметр графа (рис. 4.1)
Рис. 4.1
Решение. Найдем эксцентриситеты всех вершин. Максимально удалена от вершины 1 вершина с номером 7. Длина d (1, 7)
определяется количеством ребер на маршруте из 1 в 7 и равна шести, то есть е (1) = 6.
Рассуждая аналогично, приходим к соотношениям
е (2) = е (10) = е (9) = е (5) = 5,
е (14) = е (11) = е (13) = е (8) = е (6) = 6,
е (15) = е (16) = е (12) = е (7) = 7,
е (3) = е (4) = 4.
Следовательно, диаметр графа, как наибольший из эксцентриситетов, равен семи.
Определение 4.4. Вершина v называется периферийной, если
ее эксцентриситет равен диаметру графа, то есть e(v) = d(G).
Определение 4.5. Простая цепь длины d(G), расстояние между
концами которой равно d(G), называется
диаметральной цепью.
Для иллюстрации обратимся к графу на рис. 4.1. Здесь периферийными являются вершины 15, 16, 12, 7. В качестве диамет-
38
ральной цепи можно рассмотреть, например, маршрут из последовательности вершин 15 – 14 – 2 – 3 – 4 – 9 – 8 – 7.
Определение 4.6. Минимальный из эксцентриситетов вершин
связного графа называется
VGu
радиусом графа и обозначается через r(G):
.)(min)( ueGr
Очевидно, имеет место неравенство r(G) ≤ d(G), означающее,
что радиус графа не может превышать его диаметр.
Обратим внимание, что буква d используется в теории графов
в нескольких случаях, а именно для обозначения диаметра графа,
расстояния между вершинами, степени вершины, поэтому всегда
необходимо отслеживать контекст, в котором она возникает.
4.3. Центр графа
Важнейшим понятием при решении прикладных задач теории
графов в вопросах оптимизации является понятие центра графа.
Например, граф может представлять сеть дорог так, что вершины
его соответствуют населенным пунктам, а ребра – дорогам между
ними. Требуется разместить объекты социального обеспечения оптимальным образом. В подобных ситуациях местами размещения
должны быть центральные вершины графа.
Определение 4.7. Вершина v называется центральной, если
ее эксцентриситет совпадает с радиусом графа, то есть e(v) = r(G).
Определение 4.8. Центром графа называется множество всех
его центральных вершин.
Граф может иметь единственную центральную вершину или
несколько центральных вершин. Наконец, центр графа может совпадать со множеством всех вершин.
Пример 4.2. Найти центр графа, приведенного на рис. 4.1.
Решение. Минимальный из эксцентриситетов графа равен четырем, значит, r(G) = 4. Такой эксцентриситет имеют две вершины – с но-
мерами 3 и 4. Они-то и являются центральными, образуя центр графа.
Пример 4.3. Найти центр полного графа K
.
6
Решение. Все вершины полного графа (см. рис. 2.4) имеют
одинаковый эксцентриситет, равный единице. Это означает, что радиус равен единице и все вершины графа K
являются центральны-
6
ми. Центр графа совпадает с самим графом.
Реальные задачи о нахождении центра графа решаются для
взвешенных графов, введенных в параграфе 2.7. Их относят к классу минимаксных задач размещения.
39
Глава 5. ДЕРЕВЬЯ
5.1. Описание деревьев
Деревья представляют собой очень важный и предельно простой класс графов. Важный – для приложения в различных областях и простой – по структуре и построению самого дерева.
Определение 5.1. Граф называется ациклическим, если он не
содержит циклов.
Определение 5.2.
.
ревом
Связный ациклический граф называется де-
Определение 5.3. Любой (не обязательно связный) ацикличе-
ский граф называется
лесом.
Ясно, что компонентами леса будут являться деревья. На рис. 5.1
изображен лес, состоящий из различных деревьев с пятью вершинами
Рис. 5.1
Можно определять деревья иным способом. Следующие
утверждения эквивалентны исходному определению, но каждое из
них выделяет определенную специфику дерева.
1. Дерево – это граф, в котором любые две вершины соедине-
ны простой цепью.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]