Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теория графов и комбинаторики. Учебное пособие
.pdf
Теорема 6.3. У всякого выпуклого многогранника сумма чис-
ла вершин n и числа граней f без числа ребер m равна двум:
n + f – m = 2.
Пример 6.1. Рассмотрим для примера пирамиду, имеющую
в основании одну грань в виде пятиугольника, пять боковых граней,
шесть вершин и десять ребер, то есть n = 6, m = 10, f = 6 (рис. 6.6).
Рис. 6.6
Очевидно, формула Эйлера выполнена, поскольку
n + f – m = 6 + 6 – 10 = 2.
Теперь отметим, что с каждым выпуклым многогранником,
который можно легко вписать в сферу, согласно теореме 6.1 можно
связать плоский граф. Рассмотрим в трехмерном пространстве выпуклый многогранник с n вершинами, m ребрами и f гранями.
Cпроецируем многогранник на описанную вокруг него сферу. Далее уложим его так, чтобы северный полюс находился внутри одной из граней. Произведя затем стереографическую проекцию, получим связный плоский граф.
Переформулируем теорему Эйлера в теоретико-графовых
терминах, подчеркивая, что утверждение справедливо только для
связных плоских графов.
Теорема 6.4. Для связного плоского (n, m) графа с f гранями
имеет место формула
n + f – m = 2.
Сопоставим пирамиде (см. рис. 6.6) плоский связный граф
(рис. 6.7).
51
Вычислим количество
вершин, ребер и граней, не
забывая о внешней грани
графа. Имеют место равенства: n = 6, m = 10, f = 6. Следовательно, формула Эйлера
верна. Еще раз подчеркнем,
Рис. 6.7
что равенство имеет место
для связного плоского графа.
6.4. Следствия из теоремы Эйлера
Следствие 6.1.
Число граней любой плоской укладки связного
планарного (n, m) графа постоянно и равно m – n + 2.
Другими словами, число m – n + 2 является инвариантом планарного (n, m) графа, то есть не зависит от способа укладки этого
графа на плоскости.
Следствие 6.2. Для связного планарного (n, m) графа
m 3n – 6 при n 3.
Пример 6.2. Применить утверждение следствия 6.2 при ис-
следовании на планарность полного графа K
.
5
Решение. Для полного графа с пятью вершинами (см. рис. 2.4)
величины n и m определяются следующим образом: n = 5, m = 10.
Вычисляя 3n – 6, получаем неверное неравенство 10 ≤ 9, из которого можно утверждать следующее.
Следствие 6.3. Граф K
не планарен.
5
Можно доказать еще одно следствие, важное для класса планарных графов.
Следствие 6.4. Граф K
Особое внимание уделено графам K
не планарен.
3,3
и K
5
, поскольку эти
3,3
графы являются минимальными непланарными графами и играют
важную роль в критериях планарности.
6.5. О непланарных графах
Остановимся подробнее на графе K
введенном в параграфе 2.3.
3,3,
Данный граф родился из задачи о трех домах и трех колодцах.
Имеются три дома 1, 2, 3 и три колодца 4, 5, 6 (см. рис. 2.5). Каждый хозяин пользуется любым из трех колодцев. В некоторый момент обитатели домов решили проложить дорожки до колодцев так,
52
чтобы исключить встречи на дорожках, то есть чтобы дорожки не
пересекались. Возникает вопрос: возможно ли это? Другими словами – существует ли плоская укладка графа K
3,3
?
Все попытки нарисовать девять непересекающихся дорожек,
соединяющих дома с колодцами, заканчиваются неудачей. При
этом легко нарисовать восемь непересекающихся дорожек, но девятая обязательно пересечет хотя бы одну из этих восьми. Этот факт
неудивителен, поскольку граф K
не является планарным, то есть
3,3
не укладывается на плоскости.
На самом деле не только существуют непланарные графы, но
верно достаточно «сильное» утверждение.
Утверждение 6.2. Почти все графы не являются планарными.
Первым критерием планарности графов является критерий,
доказанный Л. С. Понтрягиным и К. Куратовским независимо друг
от друга.
Теорема 6.5. Теорема Понтрягина – Куратовского. Граф
планарен тогда и только тогда, когда он не содержит подграфов,
гомеоморфных K
или K
5
3,3
.
Подробно ознакомиться с понятием гомеоморфности графов
и другими критериями планарности можно в работах [3, 4].
6.6. Плоская триангуляция
Плоские триангуляции представляют собой особый класс планарных графов. Они выделяются в особый класс, поскольку любой
планарный граф может быть представлен в виде подграфа некой
плоской триангуляции.
Определение 6.8. Треугольником называется грань плоского
графа, ограниченная треугольником (циклом длины 3 или 3-циклом).
Определение 6.9. Связный плоский
граф называется
, если каждая его грань, в том числе
ей
плоской триангуляци-
и внешняя, является треугольником.
Условие того, что внешняя грань
тоже является треугольником, чрезвычайно важно. Например, граф, представленный на рис. 6.8, не является плоской
триангуляцией – его внешняя грань
представляет собой 4-цикл, то есть не
является треугольником.
Рис. 6.8
53
Определение 6.10. Максимальным плоским (планарным)
графом называется n-вершинный (n > 3) граф, который перестает
быть плоским (планарным) при добавлении любого ребра.
На рис. 6.9 приведен максимальный плоский граф.
Рис. 6.9
Граф, приведенный на рис. 6.8, является плоским, но не мак-
симально плоским.
Следующая теорема определяет соотношение классов плоских
триангуляций и максимальных плоских графов. Оказывается, что
они «не различимы».
Теорема 6.6. Граф является максимальным плоским графом
тогда и только тогда, когда он представляет собой плоскую триангуляцию.
Приведем несколько следствий из теоремы. Первое из них говорит о том, что любой плоский граф можно дополнить ребрами
так, чтобы он стал плоской триангуляцией. Действительно, если
в графе (см. рис. 6.8) добавить одно ребро, соединяющее вершины
В и D, то полученный граф станет плоской триангуляцией.
Следствие формулируется в терминах остовного подграфа таким образом:
Следствие 6.5. Всякий плоский граф является остовным под-
графом некоторой плоской триангуляции.
Следствие 6.6. Для всякого максимального планарного (n, m)
графа верно
m = 3n – 6 при n ≥ 3.
(Сравни со следствием 6.2.)
54
Глава 7. ПОДМНОЖЕСТВА ВЕРШИН
7.1. Независимые множества
Предположим, что необходимо найти в некотором множестве
объектов максимальную систему объектов, попарно не связанных
друг с другом. Подобная формулировка задачи приводит к понятию
независимого множества, которое применяется относительно вершин графа.
Определение 7.1. Множество вершин графа называется независимым
, если никакие две вершины из этого множества не смежны.
Наряду с определением «независимое» множество используется «внутренне устойчивое».
Можно утверждать также следующее: если S
⊆ VG и S неза-
висимо в графе G, то порожденный множеством S подграф является
пустым.
Пример 7.1. Построить независимые множества разной мощ-
ности. Убедиться, что подграфы, порожденные этими множествами, являются пустыми (рис. 7.1).
Рис. 7.1
Решение. Приведем независимые множества по мере возрастания их мощности:
{1}, {10},
{2, 4}, {6, 12},
{1, 4, 8}, {3, 9, 12}, {3, 9, 7},
55
{3, 5, 9, 11}, {3, 5, 7, 9},
{2, 4, 6, 8, 12},
{1, 4, 6, 8, 10, 12}, {2, 4, 6, 8, 10, 11}.
Определение 7.2. Независимое множество называется макси-
мальным
, если оно не является собственным подмножеством неко-
торого другого независимого множества.
Пример 7.2. Из множеств, приведенных в предыдущем при-
мере, выделить максимальные множества.
Решение. Таковыми являются
{3, 5, 7, 9}, {3, 5, 9, 11},
{1, 4, 6, 8, 10, 12}, {2, 4, 6, 8, 10, 11}.
При добавлении любого элемента свойство независимости теряется, то есть множество не может быть «расширено» без сохранения независимости.
Определение 7.3. Наибольшее по мощности независимое
множество называется
наибольшим.
Наибольшее независимое множество обязательно является
максимальным. Обратная импликация неверна. Это видно в примере 7.2. Так, наибольшее множество {1, 4, 6, 8, 10, 12} с шестью
элементами является максимальным.
Множество {3, 5, 7, 9} является максимальным, но при этом не
является наибольшим, поскольку содержит всего четыре элемента.
Естественно ввести понятие числа независимости как количества элементов наибольшего – как самого «большого» – независимого множества.
7.2. Число независимости
Определение 7.4.
множестве графа G называется
и обозначается через α
Для α
устойчивости
используют еще два термина – число внутренней
0
(в отличие от числа внешней устойчивости, когда
речь идет о доминирующих множествах) и
Число вершин в наибольшем независимом
числом независимости графа
(G).
0
неплотность графа
(в отличие от плотности графа при обсуждении клики).
Для графа на рис. 7.1 справедливо α
= 6.
0
Вообще говоря, задача отыскания наибольшего множества
трудна для решения. Тем не менее можно предложить алгоритм,
который позволяет построить максимальное независимое множество. Оно строится следующим образом: каждый раз в графе выби-
56
рается вершина минимальной степени и заносится во множество М.
Затем эта вершина и все смежные с ней удаляются из графа и процесс продолжается. В некоторых случаях полученное решение будет соответствовать наибольшему множеству.
Для графа из примера 7.1 в качестве первого элемента с минимальной степенью вершины можно выбрать вершину 1. Тогда
вершины 2 и 3 будут удалены как смежные с ней. Далее выбираем
вершину 10 и так далее.
Для числа независимости, отыскание которого представляет
большие трудности, используют оценки.
Теорема 7.1. Для любого графа G со множеством вершин
V = {v
, v2, …, vn} верна оценка
1
n
0
1
.
deg1
j
1
v
j
Пример 7.3. Оценить число внутренней устойчивости α
0
для
графа (рис. 7.2).
Рис. 7.2
Решение. Выпишем степенную последовательность:
2, 7, 5, 3, 1, 2, 6, 4, 4, 4.
Тогда
0
1
deg1
1
nj
1
v
8
3
j
4
6
3
2
3
7
1
1
1
1
1
1
2059
0
.
840
57
1
,
5
Таким образом, α0 ≥ 3. Непосредственное использование вы-
шеупомянутого алгоритма построения максимального независимого множества приводит к значению α
= 5.
0
7.3. Матричное описание независимости
Независимое множество вершин графа допускает матричную
интерпретацию. Пусть
вершин графа
це
А можно поставить в соответствие подматрицу, элементы кото-
G, A(G) – матрица смежности. Множеству X в матри-
X = {v
, v2, ..., vk} – независимое множество
1
рой равны нулю. Эти элементы расположены в строках и столбцах,
соответствующих элементам множества
X.
Рассмотрим матрицу из примера 3.2:
10000
A
10100
.
11010
00100
00111
Нулевая подматрица из элементов, расположенных на пересечении первой, второй и четвертой строки и таких же столбцов соответствует независимому множеству вершин {1, 2, 4} графа, представленному на рис. 3.2.
Матричные интерпретации позволяют получить верхнюю
оценку числа α
Обозначим через p
с помощью характеристических чисел матрицы А.
0
+
, р– и р0 число положительных, отрицательных и нулевых собственных значений матрицы смежности
графа соответственно.
Теорема 7.2. Для всякого графа G справедливо неравенство
(G) ≤ p0 + min (p+, p–).
α
0
Пример 7.4. Написать верхнюю оценку α
для графа, исполь-
0
зуя спектр графа (рис. 7.3).
58
Рис. 7.3
Решение. Матрица смежности графа имеет вид
01010
A
00101
.
01010
00101
00000
Опуская вычисления определителей, приведем окончательный
ответ для характеристического полинома графа:
0101
0011
0110
0101
0000
3
).2()2(
Соответственно, спектром графа являются числа 2, –2, 0, 0, 0,
и значит,
0
= 3, p+= 1, р– = 1.
р
Таким образом,
(G) ≤ p0 + min (p+, p–) = 3 + 1 = 4.
α
0
59
Прямой подсчет величины α0 дает значение, равное трем.
G
Рассмотрим одно из применений независимости в теории информации. Пусть источник информации посылает сообщения, являющиеся последовательностями сигналов из множества V = {v
}. При передаче сигнала возможны искажения, то есть на при-
…, v
n
, v2,
1
нимающей станции некоторые сигналы могут быть получены не
такими, как они были отправлены.
Рассмотрим граф G, у которого VG = V и ребро v
ли и только если v
и vj могут быть перепутаны. Тогда, чтобы полу-
i
∈ EG, ес-
ivj
чить безошибочный код, следует пользоваться сигналами из независимого подмножества вершин графа G.
Для получения максимального количества таких сигналов
приходится обращаться к задаче отыскания наибольшего независимого множества вершин в графе G.
7.4. Клика
Еще одно понятие, связанное с подмножеством вершин графа,
– клика – является в некотором смысле «противоположным» понятию независимого множества. Если в независимом множество все
вершины должны были быть «несмежными», для клики все происходит в точности до наоборот.
Определение 7.5. Подмножество вершин графа G называется
кликой, если любые две входящие в него вершины смежны.
Можно утверждать следующее: если K
⊆ VG и K – клика
в графе G, то порожденный множеством K подграф является полным.
Определение 7.6. Клика называется максимальной, если она
не содержится в клике с большим числом вершин.
Определение 7.7. Клика называется наибольшей, если число
вершин в ней наибольшее среди всех клик.
Как и в случае независимых множеств, максимальная клика
графа может оказаться не наибольшей.
Определение 7.8. Число вершин в наибольшей клике графа G
называется
Второе название для кликового числа –
кликовым числом.
плотность графа.
Обозначается через φ(G).
Пример 7.5. Найти различные клики графа (рис. 7.4). Указать
максимальные и наибольшие. Найти кликовое число.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]