Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теория графов и комбинаторики. Учебное пособие
.pdf
Иногда слово «связная» опускают и говорят просто о компо-
ненте графа.
Определение 2.22. Множество вершин связной компоненты
называется
областью связности графа.
Граф, представленный на рис. 2.8, имеет две компоненты. Область связности первой – это множество вершин {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Остальные восемь вершин образуют область связности второй
компоненты.
2.5. Подграфы. Колода
Определение 2.23. Граф H называется подграфом графа G,
если
VH ⊆ VG, EH ⊆ EG. Говорят, что H содержится в G, если H
является подграфом графа
G.
Определение 2.24. Подграф H называется остовным подгра-
, если VH = VG.
фом
Определение 2.25. Если множество вершин подграфа H есть U,
а множество его ребер совпадает со множеством всех ребер графа
G, оба конца которых принадлежат U, то H называется подграфом,
порожденным множеством
U, и обозначается через G(U).
На рис. 2.9 изображен граф G. Рассмотрим несколько его подграфов. Первый подграф (рис. 2.10
жеством
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.
) – подграф, порожденный мно-
Рис. 2.9 Рис. 2.10
21
Следующий подграф (рис. 2.11) является остовным.
Рассмотрим один важный
класс подграфов, которые получаются в результате удаления вершин.
графа
из графа
ния вершины
Пусть v – вершина
G. Граф Gv получается
G в результате удале-
v и всех инци-
дентных ей ребер. Очевидно,
Gv = G(VG\v), то есть мно-
что
жество вершин графа
Рис. 2.11
держит
меньше, чем множество вер-
на одну вершину
шин графа.
Соответственно, количество ребер будет меньше ровно
настолько, насколько граф
содержит ребер, инцидентных
вершине
v.
На рис. 2.12 изображен
G
, полученный из
8
G, представленного на
Рис. 2.12
подграф
графа
рис. 2.9, удалением вершины 8.
Определение 2.26. Для каждой вершины v ∈ VG построим
подграф
G
. Система {Gv: v ∈ VG} всех таких подграфов называется
v
колодой графа G.
Пример 2.5. Построить колоду графа (рис. 2.13):
Gv со-
G
Рис. 2.13
22
Решение. Поочередно удаляя вершины, получаем множество
из шести подграфов
, G2, G3,
1
, G5, G6, являющееся колодой
G4
G
(рис. 2.14).
Рис. 2.14
2.6. Степени вершин графа
Определение 2.27. Степенью вершины
графа называется
число инцидентных ей ребер.
Используя понятие окружения вершины, можно сказать, что
степень вершины
Степень вершины
v равна числу вершин в ее окружении.
v обозначается через deg v. Тем самым
deg v = |N(v)|.
Определение 2.28. Степенная последовательность есть
список степеней вершин графа, причем порядок членов в этой последовательности роли не играет.
Пример 2.6. Найти степенную последовательность графа,
приведенного на рис. 2.13.
Решение. Выпишем степени вершин:
2, 2, 5, 1, 2, 2.
Данная последовательность будет являться степенной после-
довательностью.
Пример 2.7. Найти степенную последовательность графа,
приведенного на рис. 2.11. Записать в порядке возрастания степеней.
Решение.
0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 6.
23
Используя приведенный пример, легко прийти к следующим
определениям.
Определение 2.29. Вершина степени 0 называется изолиро-
ванной
дентное концевой вершине, также называется
. Вершина степени 1 называется концевой. Ребро, инци-
концевым.
В рассмотренных примерах по заданному графу строилась
степенная последовательность. Попробуем поставить обратную задачу.
Пример 2.8. Построить граф, имеющий степенную последова-
тельность
0, 0 , 1, 1, 1, 2, 3.
Решение. Ясно, что граф не будет односвязным с учетом
наличия двух изолированных вершин. Варианты построения могут
быть различными – например, можно начать с вершины, имеющей
самую большую степень и, нарисовав ее, построить три ребра,
ей инцидентных. Число членов последовательности определяет количество вершин, то есть в нашем случае их семь. С учетом сказанного получаем следующий граф (рис. 2.15).
Рис. 2.15
Пример 2.9. Построить граф по его степенной последователь-
ности
1, 1, 2, 2, 2, 3, 4.
Решение. Все попытки построить такой граф обречены на не-
удачу, поскольку степенная последовательность обладает одним
свойством, полезным для решения определенного класса задач.
Это свойство формулируется в виде «леммы о рукопожатиях» и основано на том, что каждое ребро вносит двойку в сумму степеней
графа, а значит, сумма степеней графа не может быть нечетным
числом. Сумма степеней вершин в примере 2.9 нечетна, стало быть,
такого графа не существует.
24
Согласно «лемме о рукопожатиях» сумма степеней всех вер-
шин графа – четное число, равное удвоенному числу ребер.
Отсюда можно утверждать – это является следствием леммы –
в любом графе число вершин нечетной степени обязательно четно.
В примере 2.9 вершины с нечетной степенью встречаются трижды,
значит, задача не может быть решена.
2.7. Виды графов
Основное внимание в пособии уделяется обыкновенным графам, введенным в параграфе 2.2. Однако этим видом не исчерпывается многообразие видов графов. Опишем некоторые из них.
Пусть по-прежнему
V – непустое множество, V
(2)
– множество
всех его двухэлементных подмножеств.
Напомним, что
вольное подмножество множества
графом называется пара (V, Е), где Е – произ-
(2)
V
.
Определение 2.30. Мультиграфом называется пара (V, Е),
где Е – семейство подмножеств множества V
(2)
.
Обратим внимание, что, в отличие от определения обыкновенного графа, вместо термина «подмножество» использован термин «семейство подмножеств», тем самым подчеркивается, что
(2)
V
элементы множества
могут повторяться. Это в геометрической
интерпретации соответствует появлению кратных ребер.
Следующий уровень обобщения состоит в том, что появляются петли, то есть ребра, соединяющие вершину саму с собой. Это
означает, что теперь под множеством
Е ребер следует понимать не-
которое семейство неупорядоченных пар вершин, которые могут
повторяться. В этом случае мы говорим о
псевдографе.
Пример 2.10. Описать теоретико-множественным языком па-
V, Е) для графа (рис. 2.16).
ру (
Решение. V = {1, 2, 3}, Е = {{1, 1}, {3, 3}, {1, 2}, {2, 3}}.
Введем понятие ориентированного графа, представляя вначале
его геометрическое изображение.
Ориентированный граф (рис. 2.17) можно рассматривать,
например, как схему движения транспорта: ребрам, соединяющим
вершины 1 и 4, 4 и 3 соответствует двустороннее движение, в то
время как два оставшихся ребра моделируют схему движения в одном направлении.
25
Рис. 2.16
Рис. 2.17
Определение 2.31. Ориентированным графом называется
V, А), где А – подмножество декартова произведения V×V.
пара (
Декартово произведение V×V состоит из упорядоченных пар
элементов множества
V; множество А определяет ориентированные
ребра.
Ориентированные ребра называют дугами, обозначая стрел-
ками, указывающими направления от начала дуги к концу.
Пример 2.11. «Записать» граф, изображенный на рис. 2.17.
Решение. V = {1, 2, 3, 4},
V×V = {{1, 2}, {2, 1}, {1, 3}, {3, 1},{1, 4}, {4, 1}, {2, 3},
{3, 2},{2 ,4}, {4, 2},{3, 4}, {4, 3},{1, 1}, {2, 2},{3, 3}, {4, 4}}.
Отметим, что количество элементов в декартовом произведе-
V×V вычисляется из комбинаторных формул и равно числу
нии
размещений из 4 элементов по 2 с повторениями, то есть для дан-
~
42
ного примера
Множество
4
А = {{2,1}, {2,3}, {3,4}, {4,3},{1,4}, {4,1}}.
.162
=A
Подчеркнем, что предметом рассмотрения во всех главах, за
исключением восьмой, где случаи появления мультиграфа будут
оговариваться отдельно, выступает «граф обыкновенный».
При решении практических задач приходится учитывать дополнительные условия, которым должны подчиняться ребра графа.
В этих случаях возникает понятие взвешенного графа, где каждому
ребру приписывается определенный вес. Эта величина может интерпретироваться и включать в себя такие характеристики, как расстояние между вершинами (населенными пунктами), качество автомобильной дороги и др.
Примером взвешенного графа может служить следующее
изображение (рис. 2.18).
26
Рис. 2.18
Определим понятие взвешенного графа. Если
G – граф, а EG –
множество его ребер, то можно ввести вещественнозначную функцию
w: EG → R
которая ставит в соответствие каждому ребру
число
w(e). Это число называется весом ребра.
+
,
е положительное
Определение 2.32. Взвешенным графом называется пара
G, w). Все остальные определения при этом сохраняются.
(
Полнота теоретико-графического описания иерархических
структур осуществляется в таком явлении как
метаграф, который
представляет уже набор метавершин и метаребер. Для знакомства
с метаграфами может быть рекомендована книга [7] .
2.8. Изоморфизм графов
Естественно предположить, что графы, которые получаются
один из другого изменением наименований вершин, разумно не
различать. Для описания такой «неразличимости» введем понятие
изоморфизма графа, предварительно напомнив определение биек-
Под биекцией понимается отображение, которое является од-
ции.
новременно и сюръективным, и инъективным. Это означает, что
при отображении каждому элементу одного множества соответствует ровно один элемент другого множества, при этом определено обратное отображение, которое обладает тем же свойством.
Другими словами, биективное отображение обладает свойством
«взаимнооднозначности».
27
Определение 2.33. Пусть G
VG
φ:
Если для любых вершин
G2 тогда и только тогда, когда u и v смежны в G
ны в
ция называется
→ VG2 – биекция.
1
u и v графа G
изоморфизмом графа G
и G2 – графы,
1
их образы φ(u) и φ(v) смеж-
1
на граф G
1
, то эта биек-
1
.
2
Если такой изоморфизм существует, говорят, что графы G
и G
изоморфны.
2
Таким образом, изоморфизм графов удается доказать, если
удается найти функцию φ.
Очевидно, что изоморфизм графов является отношением эквивалентности. Следовательно, множество всех графов можно разбить на классы так, что графы из одного класса попарно изоморфны, а графы из разных классов не изоморфны. Изоморфные графы
естественно считать совпадающими.
Определение 2.34. Инвариантом графа G называется такое
число, связанное с графом, которое принимает одно и то же значение на любом графе, изоморфном
G.
Количество ребер и вершин является инвариантами графа.
Еще один пример инварианта для планарных графов будет приведен в главе 6.
Полный набор инвариантов определяет граф с точностью до
изоморфизма. В настоящее время не известно ни одной полной системы инвариантов для графа. Известно лишь, что
полный набор лишь для графов в случае
n ≤ 3.
n и m образуют
Определение 2.33 относится к случаю обыкновенного графа.
Для всех других видов графов, введенных в предыдущем параграфе, естественно вводится понятие изоморфизма как биекции между
множествами вершин, сохраняющей смежность, кратности ребер,
петли и направления дуг.
1
28
Глава 3. МАТРИЧНЫЙ ПОДХОД
3.1. Матрица смежности и спектр графа
Как видно из предыдущей главы, граф полностью можно
определить его смежностями. Удобным оказывается представление
графа в матричной форме. Для этого используют несколько видов
матриц. Вначале определим матрицу смежности. Будем говорить,
что граф является помеченным, если его вершинам (ребрам) присвоены метки в виде некоторых символов, например, чисел.
Определение 3.1. Пусть G – помеченный граф порядка n,
= {1, 2, ... , n}. Матрицей смежности графа G называется
VG
бинарная (
n×n) матрица A с элементами
A
ij
случае. противном в 0
смежны, и вершины если,1
ji
Пример 3.1. Найти матрицу смежности графа (рис. 3.1).
Решение. Вершина 1 смеж-
на с вершинами 2 и 3, поэтому в
первой строке матрицы на второй и третьей позиции будут
стоять единицы. Аналогично
рассматривая смежности каждой
из вершин со всеми другими,
строим матрицу размерами 5×5:
00110
A
11101
.
11011
10110
01110
Рис. 3.1
Это симметрическая матрица с нулями на главной диагонали.
Число единиц в первой строке равно двум, то есть степени вершины 1. Число единиц во второй строке равно четырем и совпадает со
29
степенью вершины 2. Очевидно, что число единиц в строке равно
A
A
A
A
A
A
A
A
A
степени соответствующей вершины.
Существует взаимно однозначное соответствие между графами с n вершинами и симметрическими бинарными (n×n) матрицами
с нулями на главной диагонали.
Пример 3.2. Нарисовать граф по данной матрице смежности:
10000
A
.
10100
11010
00100
00111
Решение. Вершина 1 имеет степень, равную единице, и смежна с вершиной 5. Вершина 2 имеет две смежные вершины – третью
и пятую. Рассуждая аналогично, приходим к изображению графа
(рис. 3.2).
Рис. 3.2
В матричных терминах легко описать введенные ранее определения. Например, связность графа подразумевает, что не существует такой нумерации вершин, при которой матрица смежности
имеет блочно-диагональный вид
A .
А
00А
)1(
)2(
Особый интерес представляет теорема и ее следствия, определяющая параметры графа через элементы различных степеней матрицы смежности.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]