Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Элементы теория графов и комбинаторики. Учебное пособие
.pdf
Рис. 7.4
Решение. Варианты клик разной мощности:
{1, 2, 3}, {3, 6, 7}, {6, 7, 8},
{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 4, 5},
{1, 2, 3, 4, 5}.
Из них максимальными – не допускающими расширения – яв-
ляются три:
{3, 6, 7}, {6, 7, 8}, {1, 2, 3, 4, 5}.
Наибольшая клика – {1, 2, 3, 4, 5}. Кликовое число равно чис-
лу элементов в этой клике, то есть φ(G) = 5.
Для того чтобы установить связь между плотностью графа
и его неплотностью (кликовым числом и числом независимости),
введем понятие дополнительного графа или дополнения.
Определение 7.9. Граф G называется дополнением графа G,
если выполнены два условия:
1.
2. Вершины
.GVGV
v
и v
смежны в G <=> v
i
j
и vj не смежны в G.
i
На рис. 7.5 приведен пример графа и его дополнения.
Рис. 7.5
61
Теорема 7.3. Подмножество вершин графа G является кликой
тогда и только тогда, когда оно является независимым множеством
в дополнительном графе
G .
Это означает, что плотность графа совпадает с неплотностью
его дополнения:
).()(
GG
0
62
Глава 8. РАСКРАСКИ
8.1. Вершинная раскраска
Пусть
G – некоторый граф, k – натуральное число.
Определение 8.1. Произвольная функция вида
f
: VG →{1, 2, ..., k},
ставящая в соответствие каждой вершине графа одно из натуральных чисел от 1 до
k, называется вершинной k-раскраской.
Часто слово «вершинная» опускают, называя просто
k-раскраской графа G. Если позволяет контекст, то k в этом опреде-
лении опускается. Ясно, что
графе путем соответствующего «приписывания» чисел (от 1 до
вершинам графа.
k-раскраска может быть изображена на
k)
Пример 8.1. Изобразить k-раскраску графа для k = 4 (рис. 8.1).
Рис. 8.1
Решение. В качестве 4-раскраски можно предложить следую-
щий вариант.
63
Рис. 8.2
Определение 8.2. Раскраска называется правильной, если для
любых смежных вершин
и и v верно
f(u) ≠ f(v).
Раскраска, изображенная на рис. 8.2, не является правильной –
две самые «верхние» вершины, будучи смежными, имеют одинаковые значения функции, равные единице.
Определение 8.3. Граф называется k-раскрашиваемым, если
для него существует правильная
В этом случае можно сказать, что граф
.
тами
k-раскраска.
раскрашиваем k цве-
Поясним появление слова «цвета» в определении раскраски.
Дело в том, что вместо множества {1, 2, ...,
вольное
k-элементное множество, например, множество с элемен-
тами {красный, синий, желтый}. То есть правильную
k} можно взять произ-
k-раскраску
графа можно трактовать как окрашивание каждой его вершины
в один из
k цветов, при этом смежные вершины должны получать
различные цвета.
Пример 8.2. Раскрасить граф пятью цветами – красным, жел-
тым, зеленым, синим и фиолетовым (рис. 8.3).
64
Рис. 8.3
Решение. Выберем пятиэлементное множество {к, ж, з, с, ф}, под-
разумевая под каждой из букв соответствующий цвет (по начальным
буквам слова). Тогда граф принимает нижеследующий вид (рис. 8.4).
Рис. 8.4
Поскольку множество всех вершин одного цвета включает
в себя несмежные вершины, оно является независимым.
Вообще говоря, правильную
сматривать как разбиение множества вершин
k-раскраску графа G можно рас-
VG на не более чем
k непустых классов, каждый из которых является независимым
множеством.
....
kjVVVVG
Классы
классами
21
V
такого разбиения называются одноцветными
i
j
.
65
8.2. Хроматическое число
При решении практических задач с применением графов возникает необходимость в разбиении множества вершин графа на
классы попарно несмежных вершин. Естественным дополнительным требованием такого разбиения может быть наименьшее число
таких классов.
Рассмотрим задачу размещения
n предметов v
, v2, …, vn по
1
емкостям. Пусть каждый предмет соответствует определенной
вершине графа
G. Всякий раз, когда два предмета v
быть размещены в одной емкости,
няющее две эти вершины.
Если емкости имеют неограниченную
в граф G вводится ребро, соеди-
, vj не могут
i
вместимость, так что в каждый из них можно поместить сколько
угодно предметов, то задача нахождения наименьшего числа емкостей для размещения предметов эквивалентна задаче нахождения
хроматического числа графа
G. В этом случае каждому ящику со-
ответствует определенный «цвет», а предметы, окрашенные в один
цвет, укладываются в один и тот же ящик.
Определение 8.4. Минимальное число k, при котором граф G
является k-раскрашиваемым, называется хроматическим числом
этого графа и обозначается χ(G).
Определение 8.5. Минимальной раскраской называется пра-
вильная
k-раскраска графа G при k = χ(G).
Определение 8.6. Граф называется k-хроматическим при
G) = k.
χ(
Пример 8.3. Найти хроматическое число графа, изображенно-
го на рис. 8.3. Построить минимальную раскраску.
Решение (рис. 8.5).
Рис. 8.5
66
Для раскраски графа понадобилось всего два цвета; обозначим
их цифрами 1 и 2. Четыре верхние вершины образовали один одноцветный класс, пять нижних вершин – другой одноцветный класс.
Хроматическое число графа χ(
G) = 2.
Пример 8.4. Найти хроматические числа графов, введенных
в параграфе 2.3.
Предлагаем читателю решить пример самостоятельно, воспользовавшись алгоритмом, представленным в следующем параграфе.
8.3. Алгоритмы раскраски
Алгоритм построения минимальной раскраски неизвестен.
Однако существует простой алгоритм построения правильной раскраски. Подчеркнем, что построенная с помощью алгоритма раскраска будет являться правильной, но не минимальной. Однако
в ряде случаев она приводит к раскраске, близкой к минимальной,
а для некоторых классов графов – минимальной.
Алгоритм последовательной раскраски может быть пред-
ставлен двумя шагами:
Выбираем произвольную вершину v
1.
графа G и приписыва-
1
ем ей цвет 1.
Если вершины v
2.
новой произвольно взятой вершине
, v2, ..., v
1
раскрашены j цветами 1, 2, ..., j, то
i
v
припишем минимальный
i+1
цвет, не использованный при раскраске вершин из ее окружения.
Раскраска, к которой приводит описанный алгоритм, называ-
последовательной.
ется
Пример 8.5. Применить алгоритм последовательной раскрас-
ки к графу (рис. 8.6).
Рис. 8.6
67
Решение. Выберем произвольную вершину, например А,
v
и припишем ей цвет 1. То есть вершина
Возьмем произвольно любую вершину, например
v
вершина
. В ее окружении нет раскрашенных вершин, значит, ей
2
уже раскрашена цветом 1.
1
Е. Это будет
можно приписать минимальный цвет, равный единице.
v
Теперь у нас две вершины –
бираем следующую вершину –
, v2, раскрашенные в цвет 1. Вы-
1
D и обнаруживаем, что в ее окруже-
нии есть вершины «в цвете 1». Согласно второму шагу алгоритма
v
вершине
(или D) необходимо приписать следующий минималь-
3
ный цвет, не использованный при раскраске вершин из окружения.
Это будет цвет 2.
Рассуждая аналогично, при раскраске вершины
цвет 3, поскольку в окружении уже есть цвета 1, 2. Для вершины
минимальным будет цвет 2. И наконец, вершину
F понадобится
В
С можно раскра-
сить цветом 1.
Еще одним вариантом рационального алгоритма раскраски
является
«жадный» алгоритм раскраски графа. В этом алгоритме
стоит задача сначала раскрасить как можно больше вершин в один
цвет. Затем закрасить во второй цвет максимальное число оставшихся вершин, и далее аналогично. При закраске вершин в новый
цвет выполняются следующие действия:
1. Выбирается произвольная незакрашенная вершина, и ей
назначается новый цвет.
2. Просматривается список незакрашенных вершин, и смеж-
ным с вновь раскрашенной вершиной приписывается новый цвет.
Алгоритм назван «жадным» из-за того, что каждый цвет применяется к максимально большому числу вершин, без возможности
пропуска некоторых из них или перекраски ранее закрашенных.
Возможны ситуации, будь алгоритм менее «жадным», получить
раскраску графа меньшим количеством цветов.
Пример 8.6. Применить алгоритм «жадной» раскраски к гра-
фу из примера 8.5.
Решение. Вершинам С и D припишем цвет 1. Вершине А
и вершине
нец, вершине
Е припишем цвет 2. Тогда вершине F – цвет 3 и, нако-
В – цвет 4.
Не слишком высокая эффективность «жадного» алгоритма показана. В примере 43 для раскраски графа было достаточно всего
три цвета.
68
8.4. Оценки хроматического числа
Задача на отыскание хроматического числа графа очень сложна, поэтому оказываются востребованными оценки хроматического
числа. Такие оценки стремятся выразить через достаточно легко
определяемые параметры графа.
Приведем две оценки хроматического числа, связанные со
степенями вершин графа.
Обозначим через
графа
G.
∆(G) максимальную из степеней вершин
Теорема 8.1. Для любого графа G верна оценка
χ(G) ≤ 1 + ∆(G).
Улучшенный вариант оценки для неполного графа дает следующая теорема.
Теорема 8.2. Если G – связный граф, не являющийся полным,
и Δ (G) ≥ 3, то
(G) ≤ Δ (G) .
χ
Рассмотрим более точную оценку хроматического числа графа
через количество его вершин и ребер.
Теорема 8.3. Для любого связного (п, m) графа G верно
q
q
G
2
)(893
nm
,
n
1
q
1
где парой квадратных скобок обозначена целая часть числа, а парой
– дробная часть. Величина q представляет комбинацию коли-
чества ребер и вершин графа:
2
2
mnq
.
n
Пример 8.7. Используя вышеприведенные теоремы, написать
оценки для χ(G) графа (рис. 8.7). Сравнить с непосредственно вы-
численным хроматическим числом.
69
Рис. 8.7
Решение. Максимальная из степеней вершин равна пяти, граф
не является полным, то есть справедлива теорема 8.2:
χ (G) ≤ 5.
Для того чтобы воспользоваться теоремой 8.3, подсчитаем
число ребер и вершин графа и найдем величину q:
п = 27, m = 38,
24
5
27
.
653
q
27
382729
27
Далее вычислим левую и правую части двойного неравенства
из теоремы 8.3:
q
1
98415
87502
n
1
2
q
q
nm
)(893
653
27
27
1
11893
2
275
241
,2)2(124,1
973
2
.6
Таким образом, имеет место оценка хроматического числа
2 ≤ χ(G) ≤ 6.
1352727
134653
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]