Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Читай и работай. Самоучитель по физике для студентов вузов. Механика, молекулярная физика, термодинамика. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет
имени Гагарина Ю. А.
П.В. Купцов, А.В. Купцова
Читай и работай: самоучитель
по физике для студентов вузов.
Механика, молекулярная физика,
термодинамика
Саратов 2017
Все права на размножение и распространение в любой форме остаются за
разработчиком.
Нелегальное копирование и использование данного продукта запрещено.
УДК 53 (075)
ББК 22.3
К 92
Рецензенты:
заведующий кафедры Нелинейной физики
Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
образования «Саратовский национальный исследовательский государственный
университет имени Н. Г. Чернышевского», д.ф.-м.н., профессор Н. М. Рыскин,
профессор кафедры Радиофизики и нелинейной динамики
Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего
образования «Саратовский национальный исследовательский государственный
университет имени Н. Г. Чернышевского», д.ф.-м.н., профессор Т. Е. Вадивасова,
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного технического университета
Купцов П.В.
К 92 Читай и работай: самоучитель по физике для студентов вузов. Механика, молекулярная физика, термодинамика [Электронный ресурс]: учеб.
пособие / П.В. Купцов, А.В. Купцова. — Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т,
2017. Системные требования: для локального распространения: Windows
98, 2000, XP, Vista. CD-ROM, Acrobat Reader, клавиатура, мышь, локальная
сеть. — Загл. С экрана.
ISBN 978-5-7433-3092-8
Учебное пособие содержит комплект задач, которые могут быть использованы как для
самостоятельного изучения физики, так и для организации практических занятий в вузе.
Каждая задача дана в трёх вариантах. Первый — тренировочный, он полностью разобран.
Два других варианта предназначены для самостоятельного решения. Задачи разделены на
девять тем, что соответствует одному семестру физики, включающему изучение «Механики», «Механических колебаний», «Основ специальной теории относительности», «Молекулярной физики и термодинамики». Предназначено для студентов технических вузов.
Редактор С.Ю. Каляева
ISBN 978-5-7433-3092-8
c
Саратовский государственный
технический университет, 2017
c
Купцов П.В., Купцова А.В., 2017
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Кинематика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1 Зная радиус-вектор, найти перемещение, путь и скорость . . . . . 6
1.2 Зная скорость, найти путь, радиус-вектор и ускорение . . . . . . . 9
1.3 Скорость, нормальное и тангенциальное ускорения материальной
точки, движущейся под действием силы тяжести . . . . . . . . . . 12
1.4 Снаряд выпущен под углом к горизонту . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Скорость и ускорения заданы их декартовыми компонентами . . . 16
1.6 Относительная скорость машин, разъезжающихся под углом . . . . 18
2 Динамика поступательного движения . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1 К бруску на столе привязаны шнуры, перекинутые через блоки, а
к концам шнуров подвешены гири . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Брусок поместили на доску и начали медленно поднимать конец
доски . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.3 Два соприкасающихся бруска толкают с некоторой силой . . . . . 25
2.4 Воздушный шар опускается с постоянной скоростью. . . . . . . . 26
2.5 Импульс силы при упругом ударе. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Продолжительность выстрела пушки, соскальзывающей по на-
клонной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Работа, мощность, энергия. Закон сохранения импульса . . . . . . 34
3.1 Баллистический маятник поднимается на некоторую высоту после
попадания пули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Мощность, затрачиваемая снегоходом, поднимающимся в гору. . . 36
3.3 Работа изменяющейся во времени силы . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Работа при выкачивании воды из подвала. . . . . . . . . . . . . . 39
3.5 Энергия, запасённая в сегнеровом колесе . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6 Скорости лодок после того, как с каждой лодки во встречную пе-
ребрасывается мешок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Динамика вращательного движения. Закон сохранения момента
импульса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1 Момент инерции системы из трёх шариков в виде равносторонне-
го треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.2 Однородный диск вращается под действием силы, приложенной
по касательной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.3 Два груза висят на шнуре, перекинутом через массивный блок. . . 47
4.4 Линейное ускорение центра диска, который скатывается по на-
клонной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Человек переходит от края к центру вращающегося диска . . . . . 53
3
4.6 Человек на скамье Жуковского ловит мяч. . . . . . . . . . . . . . 55
5 Специальная теория относительности . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1 Релятивистское изменение длины стержня при движении под уг-
лом к его оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2 Релятивистское изменение плотности вещества при движении . . . 59
5.3 Релятивистское изменение времени жизни движущейся частицы. . 61
5.4 Работа, совершаемая при релятивистском разгоне частицы . . . . . 62
5.5 Релятивистское сложение скоростей частиц. . . . . . . . . . . . . 63
5.6 Релятивистские энергия и закон сохранения импульса . . . . . . . 65
6 Колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.1 Период малых колебаний частицы в потенциальном поле . . . . . 69
6.2 Уравнение движения проекции вращающейся точки . . . . . . . . 72
6.3 Сложение колебаний при помощи векторной диаграммы . . . . . . 75
6.4 Энергия колебаний двух математических маятников . . . . . . . . 77
6.5 Зависимость периода колебаний физического маятника от поло-
жения точки подвеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.6 Период колебаний физического маятника и его момент инерции . . 82
7 Уравнение состояния идеального газа . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.1 Наполненный гелием воздушный шарик висит в воздухе . . . . . . 84
7.2 Часть газа из сосуда была выпущена наружу . . . . . . . . . . . . 86
7.3 Горлышко колбы погрузили в воду на незначительную глубину . . 88
7.4 Стеклянная трубка погружена в ртуть, трубку заткнули и вынули . 90
7.5 В манометр в форме буквы U залита ртуть . . . . . . . . . . . . . 91
7.6 Давление после соединения двух сосудов трубкой . . . . . . . . . 94
8 Функции распределения. Кинетическая теория газов . . . . . . . . 96
8.1 Кинетическая энергия молекул . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.2 Среднее число столкновений молекулы в секунду . . . . . . . . . 98
8.3 Сосуд прогревают при откачке для получения высокого вакуума . . 100
8.4 Измерение высоты при помощи барометра . . . . . . . . . . . . . 101
8.5 Давление газа на стенки ротора центрифуги . . . . . . . . . . . . 103
8.6 Доли атомов двух изотопов вблизи стенок ротора центрифуги . . . 106
9 Работа идеального газа. Термодинамика . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.1 Работа при изотермическом расширении газа. . . . . . . . . . . . 109
9.2 Изменение внутренней энергии и работа газа при нагревании . . . 110
9.3 Показатель адиабаты смеси газов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.4 Максимальная работа тепловой машины . . . . . . . . . . . . . . 115
9.5 Микро- и макросостояния, статистический вес . . . . . . . . . . . 117
9.6 Приращение энтропии при нагревании . . . . . . . . . . . . . . . 120
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие содержит комплект задач, которые могут быть использованы как для самостоятельного изучения физики, так и для организации практических занятий в вузе.
В отличие от традиционных задачников, здесь каждая задача представлена в трёх вариантах. Сначала предлагается тренировочный вариант.
Для него приведено подробное решение, которое студенту необходимо разобрать. Чтобы стимулировать неформальное отношение к работе, часть промежуточных выкладок опущена. Их нужно выполнить самостоятельно. Желательно либо законспектировать решение тренировочного варианта, либо
распечатать текст решения и заполнить пропущенные места прямо в распечатке.
После тренировочного варианта приведены две задачи для самостоятельного решения. Существенный момент состоит в том, что эти задачи
максимально похожи на тренировочную, и студент будет в состоянии их
решить при условии, что тренировочный вариант тщательно проработан.
Задачи разделены на девять тем. Это соответствует одному семестру
курса физики, включающему в себя изучение «Механики», «Механических
колебаний», «Основ специальной теории относительности» и «Молекулярной физики и термодинамики». Каждая тема может изучаться в течение одного или двух аудиторных занятий. В первом случае студентам предлагается
решить по одной самостоятельной задаче на выбор, во втором необходимо
решить обе задачи.
Каждая тема начинается с перечня используемых в дальнейшем формул и законов, которые рекомендуется законспектировать и заучить. По мере необходимости в начале темы приводятся также справочные данные. При
решении задач в качестве исходных разрешается брать формулы из материалов для запоминания и из справочных материалов. Если формула получена
в тренировочном варианте, то при самостоятельном решении требуется воспроизвести этот вывод. В готовом виде такие формулы использовать нельзя.
Также нельзя использовать готовые формулы, взятые из сторонних учебников.
Вероятно, в ходе решения задач потребуется более глубоко познакомиться с теоретическим материалом. Для этого можно использовать различные учебники по курсу физики для вузов. Например, можно порекомендовать книги И.В. Савельева [1] и И.Е. Иродова [2; 3], а также первые два
тома учебника Д.В. Сивухина [4; 5]. При необходимости большее количество задач можно найти в задачниках указанных авторов [6—9], а также в
задачниках А.Г. Чертова и А.А. Воробьева [10] и В.С. Волькенштейн [11].
5
ТЕМА 1. КИНЕМАТИКА
Формулы (законспектировать и выучить)
Вектор перемещения: ∆#»r =#»r (t2) −#»r (t1).
Скорость:#»v = d#»r /dt.
Ускорение:#»a = d#»v /dt.
Модуль вектора скорости: |#»v | =qv
R
t
Пройденный путь: s =
2
v(t)dt.
t
1
2
x
+ v
2
y
+ v
2
.
z
Разложение ускорения на тангенциальную и нормальную
компоненты:#»a =#»aτ+#»an.
Модуль тангенциального ускорения: aτ= dv/dt.
Модуль нормального ускорения: an= v2/ρ.
Скалярное произведение: (#»p ,#»q ) = p q cos α = pxqx+ pyqy+ pzqz.
Справочник
√
R
x2+ a2dx = x√x2+ a2/2 + a
R
2
ln
x +√x2+ a
2
/2 + C.
dx/x = ln |x| + C.
R
t sin t dt = sin t − t cos t + C.
R
t cos t dt = cos t + t sin t + C.
dxn/dx = nx
n−1
.
2 sin α cos α = sin 2α.
sin(π − α) = sin α.
g = 9.8 м/с2.
Задача 1.1 Зная радиус-вектор, найти перемещение, путь и скорость
Тренировочный вариант. Радиус-вектор частицы определяется выражени-
#»
ем:#»r (t) = 30t#»ex+ 5t
2
ey+ 3#»ez(м). Определить:
(а) модуль перемещения |∆#»r | за первые 7 секунд движения;
(б) выражения для векторов скорости#»v и ускорения#»a частицы;
(в) модуль скорости v в момент t = 2 с;
(г) путь s, пройденный частицей за первые 10 секунд движения.
Ответ: (а) |∆#»r | = 322.68 м; (б)#»v (t) = 30#»ex+ 10t#»ey(м/с),#»a (t) =
10#»ey(м/с2); (в) v = 36.06 м/с; (г) s = 608.37 м .
6
Решение (законспектировать). (а) Запишем вектор перемещения:
∆#»r = 30(t2− t1)#»ex+
#»
ey+
#»
ez.
Компоненты вектора — это коэффициенты перед ортами#»ex,#»eyи#»ez:
rx= 30(t2− t1), ry=
, rz= .
Модуль вектора перемещения — это корень из суммы квадратов компонент
вектора:
v
u
u
u
|∆#»r | =
t
(30(t2− t1))2+ + .
Перемещение за первые 7 секунд — значит t1= 0, t2= 7. Подставляем в
формулу для |∆#»r |:
v
u
u
u
|∆#»r | =
t
2102+ + = 322.68 м.
(б) Вектор скорости — это производная радиус-вектора по времени:
#»
v (t) =
= 30#»ex+
d
30t#»ex+ 5t
dt
#»
ey+
2
#»
ey+ 3#»e
=
z
#»
ez.
Вектор ускорения — это производная вектора скорости по времени:
#»
a (t) =
d
#»
v (t) =
#»
ex+
#»
ey+
dt
(в) Компоненты вектора скорости — это коэффициенты при ортах:
vx= 30, vy= , vz= .
#»
ez.
7
Запишем выражение для модуля вектора скорости как корень из суммы
квадратов компонент:
=
v
u
u
u
t
v(t) =rv
2
x
+ + =
+ v
2
y
+ v
2
=
z
= 10√9 + t2.
Подставим t = 2 с:
v
v = 10
u
u
u
u
u
t
9 +
2
= 36.06 м/с.
(г) Пройденный путь — это интеграл от модуля скорости:
t
2
Z
s =
10√9 + t2dt.
t
1
Используя справочные материалы, найдём неопределённый интеграл:
Z
√
x2+ a2dx = x√x2+ a2/2 + a
2
ln
x +√x2+ a
2
/2 + C.
Тогда определённый интеграл запишется так:
x
b
x
b
Z
√
x2+ a2dx =x√x2+ a2/2 + a
x
a
q
=x
−x
2
x
b
q
2
x
a
a
+ a2/2 + a
+ a2/2 + a
b
2
ln
x +√x2+ a
2
ln
xb+qx
2
ln
xa+qx
2
b
2
a
+ a
+ a
2
2
/2
/2
/2
2
−
=
x
a
.
В нашем случае a = 3, переменная интегрирования не x, а t, t1= 0, t2= 10,
и, кроме того, нужно не забыть про множитель 10 перед интегралом.
8
t
2
Z
√
= 10
= 10
s = 10
32+ t2dt =
t
1
−
10
=
0
=
= 608.37 м.
Задача 1.1а (решить самостоятельно). Радиус-вектор частицы определяется выражением:#»r (t) = 2t
#»
2
ex− 6#»ey− 4t
#»
2
ez(м). Определить:
(а) модуль перемещения |∆#»r | за первые 5 секунд движения;
(б) выражения для векторов скорости#»v и ускорения#»a частицы;
(в) модуль скорости v в момент t = 2 с;
(г) путь s, пройденный частицей за первые 10 секунд движения.
Ответ: (а) |∆#»r | = 50√5 м; (б)#»v (t) = 4t#»ex− 8t#»ez(м/с),#»a (t) =
4#»ex− 8#»ez(м/с2); (в) v = 8√5 м/с; (г) s = 200√5 м .
Задача 1.1б (решить самостоятельно). Радиус-вектор частицы опреде-
#»
ляется выражением:#»r (t) = 3t
2
ex+ 6t#»ey− 9#»ez(м). Определить:
(а) модуль перемещения |∆#»r | за первые 3 секунды движения;
(б) выражения для векторов скорости#»v и ускорения#»a частицы;
(в) модуль скорости v в момент t = 10 с;
(г) путь s, пройденный частицей за первые 5 секунд движения.
Ответ: (а) |∆#»r | = 9√13 м; (б)#»v (t) = 6t#»ex+ 6#»ey(м/с),#»a (t) =
6#»ex(м/с2); (в) v = 6√101 м/с; (г) s = 13.90 м .
Задача 1.2 Зная скорость, найти путь, радиус-вектор и ускорение
Тренировочный вариант. Частица, начиная движение в момент времени
t0= 1 с из точки с радиус-вектором#»r0= 3#»ex−#»ez, движется со скоростью
#»
v (t) = 3#»ey/(2t) + 4#»ez/(5t) (м/с). Найти:
(а) пройденный путь s за интервал времени между 2-й и 8-й секундами;
(б) выражения для радиус-вектора частицы#»r ;
(в) вектор ускорения частицы#»a и его модуль a.
9
Ответ: (а) s = 2.36 м; (б)#»r (t) = 3#»ex+ (1.5 ln t)#»ey+ (0.8 ln t − 1)#»ez( м);
(в)#»a (t) = −(1.5#»ey+ 0.8#»ez) /t2( м/с2), a(t) = 1.5/t2( м/с2) .
Решение (законспектировать). (а) Найдём модуль вектора скорости:
v
u
!
2
3
+ =
2t
× =
17
.
10t
v(t) =
v
u
u
u
1
t
=
t
u
u
t
1
100
Путь — это интеграл модуля скорости. В справочнике найдём:
Z
dx
= ln |x| + C.
x
В нашем случае t1= 2, t2= 8 и
8
Z
s =
17
dt =
10t
2
= = 2.36 м.
(б) Вектор скорости — это производная радиус-вектора:
#»
v =
d#»r
.
dt
Решим относительно d#»r :
dr =#»v dt.
Проинтегрируем левую и правую часть от t0до t1:
t
1
Z
dr =
t
0
#»
r (t1) −#»r (t0) =
t
t
Z
0
1
#»
v dt,
Z
t
t
1
0
#»
v dt.
10
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]