Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Читай и работай. Самоучитель по физике для студентов вузов. Механика, молекулярная физика, термодинамика. Учебное пособие
.pdf
С таким ускорением пушка проходит путь ` за время t
известную формулу
` = /2.
скольж
. Используем
Найдём отсюда t
скольж
:
t
скольж
= .
Теперь можно вычислить скорость, приобретаемую пушкой за это время:
v
u
u
u
vп=
t
2` × .
Значит, импульс пушки перед выстрелом равен
pп= Mvп= M × .
Таким образом, перед выстрелом полный импульс системы был равен импульсу пушки pп, а после — импульсу снаряда pс(пушка остановилась, поэтому импульс имеет только снаряд).
Запишем второй закон Ньютона:
d#»p
=#»F .
dt
Решим относительно d#»p :
d#»p =#»F dt.
Проинтегрируем за время выстрела t
#»
p (t
) −#»p (0) =
выст
выст
:
t
выст
Z
#»
F dt.
0
В правой части#»F — это результирующая сила, действующая на пушку.
#»
F = + .
31
Подставим это в предыдущую формулу:
#»
p (t
) −#»p (0) = .
выст
Так как длительность выстрела мала, то силы, действующие на пушку, не
успевают измениться существенно за это время. Значит, их можно вынести
из-под знака интеграла как общий множитель:
#»
p (t
) −#»p (0) =
выст
.
Тогда интеграл легко вычислить:
#»
p (t
) −#»p (0) = × t
выст
выст
.
Спроецируем импульсы из левой части на ось X. Учтём, что до выстрела
импульсом обладала только пушка, а после — только снаряд:
p(0)x= ,
p(t
выст)x
= .
Учтя это, запишем предыдущее уравнение в проекции на ось X:
− pп= mg × × t
Отсюда можно выразить t
t
выст
=
pс× − M
,
. С учётом выражения для pпполучим:
выст
v
u
u
u
u
t
.
Подставив числовые значения, найдём время выстрела:
t
= .
выст
32
выст
.
,
Задача 2.6а (решить самостоятельно). Пушка начинает свободно скользить вниз по гладкой плоскости, составляющей угол α = 33◦с горизонтом. Когда пушка прошла путь ` = 9 м, произвели выстрел, в результате
которого снаряд вылетел с импульсом#»pс= 7200 кг·м/с в горизонтальном
направлении, а пушка начала двигаться вверх со скоростью vп2= 5 м/с.
Длительность выстрела составила t
= 0.016 с. Найти массу пушки.
выст
Массой снаряда пренебречь. Ответ: M = 406 м.
Задача 2.6б (решить с амостоятельно). Пушка массы M = 360 кг на-
чинает свободно скользить вниз по гладкой плоскости, составляющей
угол α = 25◦с горизонтом. Когда пушка прошла некоторый путь, произвели выстрел, в результате которого снаряд вылетел с импульсом
#»
pс= 5850 кг·м/с в горизонтальном направлении, а пушка останови-
лась. Продолжительность выстрела составила t
= 0.053 с. Определи-
выст
те, произойдёт ли при этом разрушение опоры, на которой расположена
пушка, если известно, что она выдерживает максимальную нормальную
нагрузку F
= 50 кН. Массой снаряда пренебречь. Ответ: Разрушения
макс
не произойдёт, т.к. нормальная реакция опоры при выстреле составит
N = 49.8 кН.
33
ТЕМА 3. РАБОТА, МОЩНОСТЬ, ЭНЕРГИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
h
v
m
M
ИМПУЛЬСА
Формулы (законспектировать и выучить)
Элементарная работа: δA =#»F d#»r .
Мощность: P = δA/dt.
Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести: U = mgh.
Второй закон Ньютона:#»F = m#»a .
Сила вязкого трения:#»F
= −η#»v .
вяз
Справочник
R
dx/x = ln x + C.
g = 9.8 м/c2.
1 л.с. = 735.499 Вт.
Задача 3.1 Баллистический маятник поднимается на некоторую
высоту после попадания пули
Тренировочный вариант. В баллистический маятник массой M = 6 кг
попадает пуля, летящая со скоростью v = 570 м/с, и застревает в нём. Масса
пули m = 14 г. Найти высоту h, на которую поднимется баллистический
маятник. Ответ: h = 9 см.
Решение (законспектировать). Схема установки показана на рисунке.
Чтобы найти высоту подъёма, примем во внима-
ние, что в верхней точке подъёма полная механическая энергия баллистического маятника равна
потенциальной энергии:
E
= U = M gh.
верх
Здесь мы учли, что m M , поэтому массой пули при вычислении потенциальной энергии можно пренебречь.
Сразу после попадания пули маятник начинает двигаться со скоростью V .
При этом его полная механическая энергия равна кинетической:
2
E
низ
= K =
MV
.
2
34
Здесь мы снова пренебрегаем массой пули из-за её малости.
По закону сохранения полной механической энергии E
верх
= E
. Из этого
низ
равенства можно получить выражение для высоты подъёма:
h = .
В этой формуле мы нам неизвестна скорость V баллистического маятника,
приобретаемая им сразу после попадания пули. Её можно найти из закона
сохранения импульса.
До попадания пули полный импульс системы равен импульсу пули. После
попадания полный импульс — это импульс баллистического маятника (снова
с учётом того, что m M ).
.
Из этого равенства найдём V :
V = .
Подставив найденное выражение для V в формулу для h, получим рабочую
формулу:
h = .
Теперь подставим числовые значения и найдём высоту подъёма:
h = .
Задача 3.1а (решить самостоятельно). В баллистический маятник массой M = 7 кг попадает пуля и застревает в нём. Масса пули m = 16 г.
Найти скорость пули, если баллистический маятник поднимается на высоту h = 8 см. Ответ: v = 549 м/с.
35
Задача 3.1б (решить самостоятельно). Два груза висят на нитях оди-
α
# »
mg
#»
N
#»
F
тр
#»
a = 0
X
Y
α
#»
F
наковой длины ` = 2.5 м и соприкасаются. Массы грузов m1= 8 кг и
m2= 16 кг. Меньший груз отклонили на угол α = 55◦и отпустили.
Опредлить высоту h, на которую поднимутся шары после соударения,
если удар был абсолютно неупругим. Ответ: h = 12 см.
Задача 3.2 Мощность, затрачиваемая снегоходом, поднимающимся в
гору
Тренировочный вариант. Снегоход массой m = 150 кг поднимается в го-
ру с углом наклона α = 20◦, двигаясь с постоянной скоростью v = 2 м/с.
Сила трения между полозьями снегохода и поверхностью постоянна, коэффициент трения k = 0.13. Найдите мощность P , развиваемую мотором
снегохода. Запишите ответ в лошадиных силах. Ответ: P = 1.86 л.с.
Решение (законспектировать). Нарисуем рисунок. Ось X направим вдоль
наклонной плоскости.
Снегоход движется равномерно и прямолинейно в направлении действия силы тяги F . При таком движении мощность можно найти как P = F v, где F — сила,
с которой мотор тянет снегоход. Чтобы вычислить P ,
необходимо найти эту силу.
Так как скорость постоянна, сумма всех сил, действующих на снегоход,
равна нулю. Исходя из этого, имеем:
#»
F + + + = 0.
Спроецируем это равенство на оси X и Y и найдём F :
,
,
,
.
36
Теперь можно найти формулу для мощности:
P = mg × .
Подставим числовые значения и получим ответ в ваттах:
P = .
Так как 1 л.с. = 735.499 Вт, мощность в ваттах равна:
P = .
Задача 3.2а (решить самостоятельно). Снегоход поднимается в гору c постоянной скоростью v = 1.7 м/с, развивая при этом мощность
P = 1.2 л.с. Масса снегохода m = 177 кг. Трение между полозьями и
поверхностью горы постоянно. Угол наклона горы α = 15◦. Вычислите
коэффициент трения. Ответ: k = 0.042.
Задача 3.2б (решить самостоятельно). Парашютист снижается с постоянной скоростью v = 4.5 м/с. Вычислить мощность, затрачиваемую силой тяжести на преодоление силы сопротивления воздуха, считая коэффициент вязкости воздуха равным η = 180 Па c м. Ответ: P = 3.6 кВт.
Задача 3.3 Работа изменяющейся во времени силы
Тренировочный вариант. Частица массой m = 3 г движется по траекто-
#»
рии, заданной радиус-вектором#»r (t) = 12t
3
ex− (6t4+ 400t)#»eyпод дей-
ствием некоторой силы. Найти работу A этой силы за первые 10 секунд
движения. Ответ: A = 912 кДж.
Решение (законспектировать). Работа на элементарном перемещении равна δA =#»F d#»r . Чтобы найти работу за конечное время, нужно проинтегри-
ровать эту формулу. Но для этого требуется предварительно выяснить, как
сила меняется вдоль траектории.
Вспомним второй закон Ньютона:#»F = m#»a . Чтобы определить силу, нужно
знать ускорение. Учтём, что#»v = dr/dt и#»a = dv/dt.
37
#»
v (t) = =
= .
#»
a (t) = =
= .
#»
F (t) = .
Снова посмотрим на формулу для работы: δA =#»F d#»r . Нам нужно отыскать
d#»r . Для этого используем формулу для скорости#»v = d#»r /dt. Выразим
отсюда d#»r :
d#»r =#»v dt
Таким образом, элементарная работа равна:
δA =#»F#»v dt = 2.592t3(#»ex− t#»ey)(3#»ex− 2t#»ey)dt
Чтобы двигаться дальше, нужно вычислить скалярное произведение векторов (#»ex−t#»ey) и (3#»ex−2t#»ey). Для этого выполним почленное умножение,
помня, что вектора#»exи#»eyимеют единичную длину и перпендикулярны
друг другу. Следовательно (#»ex,#»ex) = 1, (#»ey,#»ey) = 1, (#»ex,#»ey) = 0.
(#»ex− t#»ey)(3#»ex− 2t#»ey) =
= .
Таким образом, элементарная работа равна:
δA = 2.592t
3
dt.
38
Теперь вычислим работу за 10 секунд:
a
b
Y
y + dy
0
y
A =
10
Z
2.592t
0
3
dt =
= =
= =
= .
Задача 3.3а (решить самостоятельно). Частица массой m = 5 г дви-
жется по траектории, заданной радиус-вектором#»r (t) = (100t −5t2)#»ex−
(6t3+ 50t)#»eyпод действием некоторой силы. Найти работу A этой силы
за первые 12 секунд движения. Ответ: A = 17 кДж.
Задача 3.3б (решить самостоятельно). Материальная точка движется
по траектории, заданной радиус-вектором#»r (t) = −64(t2+ 2t)#»ex− 6#»e
y
под действием некоторой силы. Найти работу A этой силы за первые
5 секунд движения, если тело теряет массу в ходе движения по закону
m = 0.002/(t + 1)2. Ответ: A = 59 Дж.
Задача 3.4 Работа при выкачивании воды из подвала
Тренировочный вариант. В прямоугольном подвале находится вода глуби-
ной a = 1.5 м. Расстояние от уровня воды до мостовой b = 5 м. Площадь
поперечного сечения подвала равна S = 50 м2. Какую работу необходимо
затратить, чтобы откачать всю воду? Плотность воды ρвд= 1000 кг/м3. От-
вет: A = 4.23 МДж.
Решение (законспектировать). Нарисуем чертёж. Ось Y направим верти-
кально вниз.
Важное замечание: задача имеет простое решение.
Найдём центр масс жидкости — он с очевидностью находится в геометрическом центре объёма жидкости,
в точке y = b + a/2. Теперь вычислим работу, считая, что вся жидкость собрана в точке центра масс:
A = mg(b+a/2). Однако для подвала сложной формы
этот вариант не будет таким простым, так как положе-
39
ние центра масс в общем случае вычисляется с привлечением интегрирования. Далее мы рассмотрим другой вариант решения.
Ключевая идея: нужно разделить жидкость на бесконечно малые фрагменты
массой dm, записать формулу dA = dm gh для отдельного фрагмента, а затем выполнить интегрирование по всем фрагментам (вспомним: интеграл —
это сумма бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых).
Для решения данной задачи поступим следующим образом. Выделим внутри жидкости бесконечно тонкий горизонтальный слой на глубине y (см.
рис.). Найдём массу слоя. Так как толщина бесконечно мала, то и масса
тоже будет бесконечно малой:
dm = ρвдdy × .
Теперь можно найти работу по подъёму этого слоя:
dA = dmgy = ρвдdy × × gy.
Работа по подъёму всей воды равна сумме работ, затрачиваемых на подъём
каждого слоя. Это сводится к применению операции интегрирования левой и правой частей предыдущего выражения. Пределы интегрирования —
верхняя и нижняя границы воды.
Z
__
A =
ρвдdy gy =
__
= =
= .
Задача 3.4а (решить самостоятельно). Колодец в форме круглого цилиндра радиуса r = 1.2 м наклонён под углом α = 10◦к вертикали, а его
дно и горловина расположены горизонтально. Какую работу необходимо
затратить, чтобы откачать воду из колодца, если измеренная по вертикали глубина воды a = 2 м, а расстояние от уровня воды до мостовой
b = 5 м? Ответ: A = 549 кДж.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]