Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Читай и работай. Самоучитель по физике для студентов вузов. Механика, молекулярная физика, термодинамика. Учебное пособие
.pdf
Подставим выражение для ∆n в формулу для ∆p:
∆p = .
Теперь в полученную формулу подставим числа и найдём ответ:
∆p = .
Задача 8.3а (решить самостоятельно). На стенках сосуда всегда находятся абсорбированные молекулы газов, которые необходимо удалить
при получении глубокого вакуума. Для этого стенки сосуда прогревают. Найдите количество молекул, находившихся на стенках кубического
сосуда с длиной стороны a = 15 см, если при прогревании сосуда при
температуре T = 650 К давление газа повысилось на ∆p = 3.12 Па. От-
вет: N = 1.17 ×1018.
,
,
Задача 8.3б (решить самостоятельно). Для удаления молекул газа, абсорбированных на стенках сферического сосуда радиуса R = 12 см,
его прогревают при температуре T = 650 К. Когда все молекулы газа освободились и оказались внутри сосуда, его давление выросло на
∆p = 2.81 Па. Найти площадь поперечного сечения молекулы σ, считая,
что молекулы уложены на поверхность в один слой, и при этом молекулы
заполняют 90% поверхности сосуда. Ответ: σ = 7.18 × 10
−16см2
.
Задача 8.4 Измерение высоты при помощи барометра
Тренировочный вариант. Атмосферное давление на взлётной площадке
воздушного шара равно p0= 100 кПа, а после подъёма шара на высоту h
барометр показал давление p = 90 кПа. Найти h, предполагая, что температура воздуха T равна 290 К и не зависит от высоты. Молярная масса воздуха
µ = 29 г/моль. Ответ: h = 894 м.
101
Решение (законспектировать). Для определения высоты при помощи барометра используют распределение Больцмана
n = n0e
−U/(kT )
.
Здесь U — потенциальная энергия молекулы газа. Молекулы находятся в поле силы тяжести, поэтому
U = mgh,
где m — масса молекулы газа.
Важно заметить, что эта формула выведена в предположении, что темпе-
ратура не меняется с высотой. В реальной атмосфере это не совсем так,
следовательно, найденное значение высоты будет приближённым.
Воздух — это смесь газов. Чтобы применить для неё распределение Больцмана в приведённой выше форме, необходимо вычислить распределения для
каждого газа смеси, а затем найти суммарную концентрацию.
Есть более простой вариант решения. Выразим массу молекулы через молярную массу газа µ и постоянную Авогадро NА:
m = .
Подставим это значение в формулу для U :
U = .
Теперь запишем распределение Больцмана с учётом найденного выражения
для U, а также приняв во внимание, что R = kNА:
n = .
Умножим левую и правую части равенства на kT и используем основное
уравнение молекулярно-кинетической теории p = nkT . В результате получим формулу зависимости давления от высоты:
p = .
102
Осталось выразить отсюда высоту h:
h = .
Подставим числовые значения и найдём ответ:
h = .
,
,
,
Задача 8.4а (решить самостоятельно). Аэронавты, поднявшись на воздушном шаре на высоту h = 450 м, зарегистрировали понижение давления воздуха на 5%. Найти температуру воздуха, считая, что она не
меняется с высотой. Молярная масса воздуха µ = 29 г/моль. Ответ: t =
27◦C.
Задача 8.4б (решить самостоятельно). Два воздушных шара поднялись
в воздух так, что давление на высоте второго шара p2оказалось ниже,
чем давление на высоте первого p1на 3%. Найти, на сколько метров
второй шар выше первого. Считать температуру воздуха постоянной T =
305 К. Молярная масса воздуха µ = 29 г/моль. Ответ: ∆h = 272 м.
Задача 8.5 Давление газа на стенки ротора центрифуги
Тренировочный вариант. Газ радон
222
Rn заполняет ротор центрифуги,
86
вращающийся с частотой ν = 50 с-1. Считая давление вблизи оси ротора
равным нормальному атмосферному, p0= 101325 Па, найти давление газа p
на его внешние стенки. Ротор имеет радиус b = 0.5 м, температура газа по
всему объёму равна 300 К. Ответ: p = 304 кПа.
Решение (законспектировать). В этой задаче нужно воспользоваться распределением Больцмана. Домножив его левую и правую части на kT и учтя,
что p = nkT , получим:
p = p0e
−U/(kT )
.
103
В эту формулу входит U — потенциальная энергия молекулы. Рассмотрим
молекулу, находящуюся на расстоянии r от центра. Эта молекула движется
по окружности, следовательно, она находится под действием центростремительной силы и имеет нормальное (центростремительное) ускорение. Запишем для неё второй закон Ньютона, выразив центростремительное ускорение через угловую скорость:
#»
F = m × .
Мы получили зависимость силы, действующей на одну молекулу, от радиус-вектора#»r , который направлен от оси центрифуги вдоль её радиуса до
молекулы.
Зная силу, можно найти потенциальную энергию. Если в каждой точке пространства задана сила (т. е. задано поле сил), то разность потенциальных
энергий между двумя точками в пространстве равна:
#»
r
2
Z
U1− U2=
#»
F (#»r )d#»r .
#»
r
1
(Тонкий момент: вообще говоря, формула справедлива только если сила#»F
является потенциальной, но в нашем случае это требование выполняется.
Это можно увидеть, если перейти в неинерциальную систему отсчёта, которая вращается вместе с молекулой. В этой системе отсчёта действует сила
инерции, равная#»F , которая всегда потенциальна.)
Сила#»F направлена вдоль радиуса и зависит только от расстояния до оси
центрифуги, т.е. от модуля вектора#»r . Поэтому от векторов можно избавиться. Интегрировать нужно от 0 (точка на оси) до b (точка на внешней
стенке). Потенциальную энергию на оси примем за ноль, U1= 0. Тогда U
будет искомой потенциальной энергией на внешней стенке:
b
Z
−U =
0
.
В формулу входит масса молекулы. Эту массу можно выразить через молярную массу газа и число Авогадро:
,
2
m =
.
104
Теперь подставим массу молекулы в формулу для потенциальной энергии и
учтём, что R = kNА. В результате получим:
U = .
Вернёмся к формуле для давления p = p0e
−U/(kT )
. Подставим сюда выраже-
ние для потенциальной энергии и получим итоговую расчётную формулу:
p = .
Осталось подставить числа. Нам пока не известна угловая скорость ω, которая измеряется в радианах в секунду. Зная частоту вращения ν в оборотах
в секунду, учтём, что один оборот равен 2π радиан. Тогда:
ω = .
Для определения молярной массы радона
222
Rn вспомним, что, выраженная
86
в граммах на моль, она равна его атомной массе, т. е.
µ = .
Подставим числа в расчётную формулу и найдём ответ:
p = .
Задача 8.5а (решить самостоятельно). Ротор центрифуги радиусом b =
0.8 м, заполненный неизвестным газом, вращается с частотой ν = 60 с-1.
Давление газа на стенки ротора в d = 3 раза выше, чем в его центре. Температура T по всему объёму постоянна и равна 310 К. Найти молярную
массу газа. Ответ: µ = 62.23 г/моль.
Задача 8.5б (решить самостоятельно). С какой частотой ν должен
вращаться ротор центрифуги, заполненный газом с молярной массой
µ = 94.67 г/моль, чтобы концентрация газа у его стенок была в d = 4
раза выше, чем у оси? Температуру T по всему объёму считать равной
350 К. Радиус центрифуги b = 0.6 м. Ответ: ν = 77.4 с-1.
105
Задача 8.6 Доли атомов двух изотопов вблизи стенок ротора
центрифуги
Тренировочный вариант. Для разделения изотопов хлора
37
Cl и
17
35
Cl их
17
смесь, взятую в пропорции w1/w2= 1/3, поместили в ротор центрифуги
радиусом b = 0.2 м и сообщили ему угловую скорость ω = 104рад/с. Температура смеси равна T = 3 кК, так что произошла диссоциация молекул, и
газ стал атомарным. Найти относительные доли атомов w
пов вблизи внешних стенок ротора. Ответ: w
0
= 0.28, w
1
0
1
0
2
0
и w
этих изото-
2
= 0.72.
Решение (законспектировать). Сначала воспроизведём рассуждения из прошлой тренировочной задачи, чтобы получить потенциальную энергию молекулы в центрифуге. Напомним вкратце, как это сделать: найдём центро-
стремительную силу#»F в зависимости от#»r , проинтегрируем её от 0 до b
и примем потенциальную энергию на оси за ноль, выразим массу молекулы через молярную массу изотопа и число Авогадро и, наконец, учтём, что
R = kNА. В итоге получим формулу для потенциальной энергии:
U = .
Подставим найденное U в формулу распределения Больцмана n = n0e
−U/(kT )
:
n = n0× .
В нашем случае имеется смесь двух газов. Перепишем формулу для каждого
из них, обозначая молярные массы изотопов
37
Cl и
17
35
Cl буквами µ1и µ
17
соответственно:
n1= n01× ,
n2= n02× .
Исходное соотношение между изотопами сохранится вблизи оси центрифуги. Так как w1/w2= 1/3, то их относительные доли равны w1= 0.25 и
w2= 0.75. Долю w1можно выразить через концентрации вблизи оси:
n
w1=
01
n01+ n
.
02
2
106
Решим это уравнение относительно n02:
n02= .
Теперь выразим w
0
через концентрации на внешнем ободе центрифуги (нуж-
1
но использовать соответствующие формулы распределений Больцмана):
n
w
0
=
1
1
n1+ n
=
2
= .
Здесь нам неизвестны концентрации n01и n02. Однако ранее мы выразили
n02через n01. Подставим это выражение в формулу w
0
. Неизвестная кон-
1
центрация n01сократится, и мы получим итоговую формулу:
0
w
= .
1
Для вычислений нам потребуются молярные массы изотопов. Будучи выраженными в граммах на моль, они численно равны атомным массам изотопов. Следовательно, для изотопов
37
17
Cl и
35
Cl имеем
17
µ1= ,
µ2=
соответственно. Теперь можно подставить числа и получить ответ:
0
w
= .
1
Задача 8.6а (решить самостоятельно). В центрифугу поместили в равных долях смесь изотопов ксенона
129
54
Xe и
132
Xe при температуре
54
T = 4.2 кК. С какой частотой ν должна вращаться центрифуга радиусом b = 0.3 м, чтобы у её боковых стенок концентрация более тяжёлого изотопа превышала бы концентрацию более лёгкого на 10%? От-
вет: ν = 790 с-1.
107
Задача 8.6б (решить самостоятельно). В центрифугу радиусом b =
0.25 м поместили смесь изотопов газов, молярные массы которых от-
личаются в два раза. Температура смеси T = 4 кК. Концентрация более
лёгкого газа в десять раз выше, чем тяжёлого. Когда центрифуга начала
вращаться с частотой ν = 39.38 с-1, у краёв центрифуги доли газов стали одинаковыми. Найти молярные массы газов. Ответ: µ1= 40 г/моль,
µ2= 80 г/моль.
108
ТЕМА 9. РАБОТА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. ТЕРМОДИНАМИКА
Формулы (законспектировать и выучить)
Работа идеального газа: δA = p dV .
Первое начало термодинамики: Q = ∆U + A.
Внутренняя энергия: U =
mµi
RT , где i = i
2
пост
+ i
вращ
+ 2i
Теплоёмкость: C = δQ/dT .
Удельная теплоёмкость: c
Молярная теплоёмкость: c
Молярная теплоёмкость при постоянном объёме: c
Молярная теплоёмкость при постоянном давлении: c
Показатель адиабаты: γ = c
К. П. Д. тепловой машины: η = A/Q
удел
= δQ/(m dT ).
моль
= µ δQ/(m dT ).
моль
p
/c
моль
V
удел
= c
p
от нагр.
моль
V
моль
p
удел
/c
.
V
= A/(A + Q
К. П. Д. идеальной тепловой машины: η = (T1− T2)/T1.
Формула Больцмана: S = k ln Ω.
Равенство Клаузиуса: dS = δQ/T .
Уравнение Менделеева—Клапейрона: pV =
m
µ
RT .
=
к хол.
колеб
i
R.
2
=
i+2
2
).
.
R.
Справочник
k = 1.38 ×10
−23
Дж/К.
R = 8.31 Дж/(моль·К).
Задача 9.1 Работа при изотермическом расширении газа
Тренировочный вариант. Водород изотермически расширился в три раза.
Найти совершённую им при этом работу A. Масса газа m = 5 г, молярная
масса µ = 2 г/моль, температура T = 290 К. Ответ: A = 6.62 кДж.
Решение (законспектировать). Считаем водород идеальным газом. Элементарная работа идеального газа равна δA = p dV . Чтобы найти полную
работу, нужно проинтегрировать эту формулу от V1до 3V1. Здесь V1— неизвестный начальный объём газа.
3V
1
Z
A =
V
p dV.
1
109
Чтобы вычислить этот интеграл, нужно знать, как давление газа зависит от
объёма. Выразим давление из уравнения Менделеева—Клапейрона:
p = .
Подставим это выражение в формулу для работы и, вычислив интеграл,
получим итоговую формулу (отметим, что неизвестный объём V1сокращается):
A = .
Подставим числа и получим ответ:
A = .
Задача 9.1а (решить самостоятельно). Вычислите работу, совершаемую кислородом при расширении в четыре раза, если его температура и плотность поддерживаются постоянными. Температура газа равна
T = 300 К, молярная масса µ = 32 г/моль, а начальная масса m1= 10 г.
Ответ: A = 2.3 кДж.
Задача 9.1б (решить самостоятельно). Азот массой m = 6 г (µ =
14 г/моль) нагревают от T1= 300 К до T2= 350 К так, что он при этом
расширяется, и его объём растёт по закону V =√f T , где f — некоторая константа. Найти работу, которую при этом совершает газ. От-
вет: A = 45 Дж.
Задача 9.2 Изменение внутренней энергии и работа газа при
нагревании
Тренировочный вариант. Чему равно приращение ∆U внутренней энер-
гии водорода H2и совершенная им работа A, если при нагревании на
∆T = 200 К газ получил количество теплоты Q = 40 кДж? Масса газа
m = 10 г (µ = 2 г/моль). Ответ: ∆U = 20.8 кДж, A = 19.2 кДж.
Решение (законспектировать). Согласно первому началу термодинамики,
теплота, сообщённая газу, расходуется на повышение его внутренней энергии и совершение им работы. Вычислим, насколько повысилась его внут-
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]