Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Читай и работай. Самоучитель по физике для студентов вузов. Механика, молекулярная физика, термодинамика. Учебное пособие
.pdf
ренняя энергия при нагревании. Известно, что U =
mµi
RT . Следовательно:
2
∆U = U2− U1=
mµi
R(T2− T1) =
2
mµi
R∆T.
2
Нам нужно найти коэффициент i, связанный с числом степеней свободы
молекулы. В общем случае он вычисляется следующим образом:
где i
пост
, i
вращ
и i
i = i
— числа поступательных, вращательных и колебатель-
колеб
пост
+ i
вращ
+ 2i
колеб
,
ных степеней свободы соответственно.
Для возбуждения колебательных степеней свободы требуется достаточно
высокая температура, и их игнорируют, если это специально не оговорено.
Число поступательных степеней свободы всегда равно трём, i
пост
= 3.
Число «включённых» вращательных степеней свободы зависит от конфигурации молекулы. Вспомним формулу для кинетической энергии вращения:
K = Jω2/2. Также вспомним, что момент инерции J зависит не только от
массы, но и от радиуса вращения. Одноатомные молекулы считаются точечными объектами, поэтому момент инерции равен нулю для каждой из трёх
возможных осей вращения. Следовательно, для них i
= 0. Двухатом-
вращ
ные молекулы имеют ненулевой момент инерции для двух осей, перпендикулярных собственной оси молекулы. Момент инерции по отношению к
собственной оси молекулы равен нулю. Следовательно, для таких молекул
имеем: i
= 2. Наконец, для многоатомных молекул, атомы которых не
вращ
выстроены вдоль одной линии, не равны нулю моменты инерции для каждой из трёх возможных осей вращения. Поэтому i
= 3. Таким образом,
вращ
для водорода
i = .
Теперь можно записать окончательную формулу для приращения внутренней энергии:
∆U = .
Подставив числа, найдём ответ:
∆U = .
111
Теперь, используя формулу первого начала термодинамики Q = ∆U + A,
вычислим работу:
A = .
Задача 9.2а (решить самостоятельно). Водяному пару массой m = 60 г
(µ = 18 г/моль, молекула нелинейная) сообщили теплоту в количестве
Q = 14.17 кДж, в результате чего его внутренняя энергия выросла на
∆U = 8.31 кДж. Найти, насколько выросла температура пара, и какую
работу он при этом совершил. Ответ: ∆T = 100 К, A = 5.86 кДж.
Задача 9.2б (решить самостоятельно). Смесь газов массой m = 36 г
(µ = 24 г/моль) нагрели на ∆T = 240 К, сообщив ей количество теплоты
Q = 16.602 кДж. При этом была совершена работа A = 9.123 кДж. Опре-
делите, какую форму имеют молекулы газов смеси, если известно, что
она одинакова у всех компонент. Ответ: Линейная.
Задача 9.3 Показатель адиабаты смеси газов
Тренировочный вариант. Найти показатель адиабаты γ смеси водорода
H2(µ1= 2 г/моль) и неона Ne (µ2= 10 г/моль), если массовые доли обоих
газов в смеси одинаковы и равны w1= w2= 0.5. Ответ: γ = 1.42.
Решение (законспектировать). Показатель адиабаты равен отношению удельных теплоёмкостей, γ = c
удел
p
/c
удел
. Следовательно, нам нужно вычислить
V
теплоёмкость смеси газов.
Вспомним: теплоёмкость определяется следующим соотношением:
δQ
C =
.
Известно, что при условиях близких к нормальным теплоёмкость не зависит от температуры. Значит, вместо бесконечно малых можно записать
конечные приращения:
Q
C =
.
∆T
Пусть C обозначает теплоёмкость смеси, а C1и C2— теплоёмкости водорода
и неона соответственно. Аналогично c
удел
, c
удел
1
и c
удел
обозначают удельные
2
теплоёмкости смеси, водорода и неона.
112
Предположим, что смесь газов нагрели на ∆T, сообщив при этом теплоту
в количестве Q. Тогда каждый из газов смеси получил теплоту Q1и Q2,
соответственно:
Q = Q1+ Q2.
Выразим каждую теплоту через теплоёмкость и температуру:
C∆T = + .
Сократив ∆T , получим, что теплоёмкость смеси равна сумме теплоёмкостей каждого из газов:
C = + .
Теперь перепишем эту формулу для удельных теплоёмкостей. Обозначим
через m1, m2и m = m1+ m2соответственно массу водорода, массу неона
и массу смеси. Тогда:
удел
m c
= + .
Теперь поделим обе части полученного равенства на m. Обозначим через
w1= m1/m и w2= m2/m массовые доли водорода и неона соответственно.
Тогда получим:
c
удел
= w1c
удел
1
+ w2c
удел
2
.
Эта формула справедлива для удельных теплоёмкостей всех типов, в том
числе для измеренных при постоянных давлении и объёме.
Чтобы найти удельные теплоёмкости, запишем сначала формулы для молярных теплоёмкостей:
моль
c
V
=
i
R, c
2
моль
p
=
i + 2
R.
2
Молярная теплоёмкость — это теплоёмкость одного моля вещества, а удельная теплоёмкость — это теплоёмкость единицы массы вещества. Следова-
113
тельно, из предыдущих формул можно получить удельные теплоёмкости:
удел
c
= R i
V
удел
c
= R(i + 2)
p
,
2 ×
,
2 ×
,
.
Осталось найти i1для двухатомного водорода H2и i2для одноатомного
неона Ne :
i1= ,
i2= .
Таким образом, для водорода получаем следующие выражения для удельных теплоёмкостей:
удел
c
= ,
V 1
удел
c
= .
p1
Аналогично для неона:
удел
c
= ,
V 2
удел
c
= .
p2
Теперь можно вернуться к формуле для показателя адиабаты γ = c
удел
p
/c
удел
V
Подставим сюда полученные выражения для теплоёмкостей и получим расчётную формулу:
γ = =
.
= =
= .
114
Теперь можно подставить числа и подсчитать ответ:
γ = .
Задача 9.3а (решить самостоятельно). Смешали две доли углекислого
газа CO2(µ = 44 г/моль, молекула линейная), три доли водяного пара
H2O (µ = 18 г/моль, молекула нелинейная) и четыре доли инертного
газа гелия He (µ = 4 г/моль). Считая газы идеальными, вычислите
показатель адиабаты смеси. Ответ: γ = 2.088.
Задача 9.3б (решить самостоятельно). Смешали одноатомный и двухатомный газы таким образом, что показатель адиабаты смеси оказался
равен γ = 1.491. Известно, что молярная масса одноатомного газа в два
раза меньше двухатомного. Найдите массовые доли газов в смеси. От-
вет: w1= 0.3, w2= 0.7.
Задача 9.4 Максимальная работа тепловой машины
Тренировочный вариант. Тепловая машина совершает работу, используя
в качестве нагревателя кусок железа массой m = 255 кг, а в качестве холодильника — воду мирового океана. Какую максимальную работу может
совершить такая машина, если начальная температура железа равна T1=
990 К, а океан имеет температуру T2= 280 К? Удельная теплоёмкость железа равна c = 0.44 Дж/(г·К). Ответ: A = 40 МДж.
Решение (законспектировать). Работа, совершённая тепловой машиной,
может быть выражена через её К. П. Д. η и сообщённую ей теплоту Q:
A = η Q.
Так как требуется найти максимальную работу, то используем формулу
К. П. Д. идеальной тепловой машины:
T1− T
η =
T
2
.
1
Особенность задачи в том, что совершение работы приводит к охлаждению
нагревателя (т. е. куска железа) от T = T1до T = T2. Температура T2холодильника (океана) остаётся постоянной.
Пусть нагреватель имеет температуру T . Найдём, какую работу δA совершит машина, охладившись на dT . Теплота, отдаваемая железом при охла-
115
ждении на dT , равна:
δQ = × × dT.
К. П. Д. идеальной тепловой машины при такой температуре нагревателя
равен:
η = .
Следовательно, совершённая работа будет равна:
δA = η δQ = .
Теперь осталось сложить значения работы, совершаемой при температуре
нагревателя в пределах от T2до T1. Это сводится к интегрированию:
T
1
Z
A =
T
2
dT =
= =
= .
Таким образом, рабочая формула для вычисления работы имеет вид:
A =
Подставим числовые значения и найдём ответ:
A = .
116
Задача 9.4а (решить самостоятельно). Тепловая машина использует в
5
4
3
2
1
качестве нагревателя болванку из оловянной бронзы массой m = 150 кг,
начальная температура которой T1= 900 К, а в качестве холодильника —
мировой океан, температура которого T2= 280 К. Какую максимальную
работу может свершить такая машина? Оловянная бронза представляет
собой сплав 77% меди (удельная теплоёмкость cм= 385 Дж/(кг·K)) и
23% олова (удельная теплоёмкость cо= 218 Дж/(кг·K)). Ответ: A =
15.2 МДж.
Задача 9.4б (решить самостоятельно). Нагреватель тепловой машины
поддерживают при постоянной температуре T1= 800 К, а в качестве
холодильника используют чугунную болванку массой m = 103кг. Чему
равна максимальная работа, которую может совершить такая машина?
Удельная теплоёмкость чугуна c = 540 Дж/(кг·K), начальная температура
болванки T2= 200 К. Ответ: A = 275 МДж.
Задача 9.5 Микро- и макросостояния, статистический вес
Тренировочный вариант. Пусть в сосуде содержатся пять молекул, и мы
имеем возможность их пронумеровать. Пусть макросостояние такой системы определяется тем, сколько молекул находится в левой половине сосуда.
Вычислить:
(а) полное число макро- и микростояний такой системы, N
макро
и N
микро
;
(б) статистический вес Ω и вероятность p каждого макростояния;
(в) энтропию S наиболее вероятного макросостояния.
Ответ: N
макро
= 6, N
микро
= 32, Ω(0) = 1, Ω(1) = 5, Ω(2) = 10, Ω(3) = 10,
Ω(4) = 5, Ω(5) = 1, p(0) = 0.031, p(1) = 0.156, p(2) = 0.313, p(3) = 0.313,
p(4) = 0.156, p(5) = 0.031, S = 3.18 ×10
Решение (законспектировать). Число макросостояний равно N
−23
Дж/К.
макро
= 6.
Первое состояние возникает, когда слева нет ни одной молекулы, второе
состояние — слева одна молекула, третье — две, и так далее.
Статистический вес — это число микросостояний, соответствующих данному макросостоянию. Рассмотрим макростояние k = 2, т. е. когда слева две молекулы, а справа три. Этому макросостоянию отвечают
несколько микросостояний. Одно из них показано на
рисунке.
Чтобы перебрать все остальные микростояния, будем попарно переставлять
молекулы. Например, можно переставить молекулы 2 и 3, или 4 и 5. Если
117
дано n элементов, то полное число их перестановок равно факториалу n:
Pn= n! = 1 ×2 ×3 ×. . . × (n −1) ×n.
Однако не каждая перестановка приводит к новому микросостоянию. Нас
интересуют только те, при которых молекулы переходят из одной части
сосуда в другую, т. е. пересекают пунктирную линию на рисунке. Поэтому
перестановка 2 −3 приводит к новому микросостоянию, а 4 −5 — нет.
Нужно исключить из подсчёта перестановки, которые происходят внутри
каждой из половин сосуда. В нашем случай слева — две молекулы, и для них
есть 2! перестановок. Справа — три молекулы, которые можно переставить
3! раз. Поделив полное число перестановок всех молекул на количество
«фальшивых» перестановок, получим нужное нам число микросостояний:
=
5!
.
2! 3!
C
2
5
В математике полученная величина называется числом сочетаний из 5 элементов по 2.
В общем случае для макросостояния k число микросостояний, т. е. статистический вес, можно вычислить по формуле
Ω(k) = C
Чтобы найти полное число микросостояний, учтём, что величины C
k
= .
n
k
также
n
равны так называемым биномиальным коэффициентам в формуле бинома
Ньютона:
(a + b)n=
Если подставить сюда a = b = 1, получим формулу для суммы всех C
n
X
k=0
C
k
n
akb
n−k
.
k
. Эта
n
величина равна полному числу микросостояний
N
микро
=
n
X
k=0
Ω(k) =
n
X
k=0
C
k
=
n
= .
Подставив в полученные формулы n = 5, получим:
N
микро
= .
118
Найдём статистические веса макросостояний. Можно использовать найденную выше формулу, а можно воспользоваться так называемым треугольником Паскаля, информацию о котором предлагается найти самостоятельно.
Ω(0) = ,
Ω(1) = ,
Ω(2) = ,
Ω(3) = ,
Ω(4) = ,
Ω(5) = .
Молекулы двигаются хаотично, и, следовательно, можно сказать, что в каждый момент времени происходит случайный переход из одного микросостояния в другое. Всего имеется N
микро
микросостояний. Из них Ω(k) реализуют макросостояние k. Значит, вероятность обнаружить систему в k-ом
макросостоянии равна:
p(k) = .
Подставив в полученную формулу числовые значения, получим:
p(0) = ,
p(1) = ,
p(2) = ,
p(3) = ,
119
p(4) = ,
p(5) = .
Теперь определим состояние, имеющее максимальную вероятность, и по
формуле Больцмана найдём его энтропию:
S = .
Задача 9.5а (решить самостоятельно). Пусть в сосуде содержатся
шесть молекул, и мы имеем возможность их пронумеровать. Пусть макросостояние такой системы определяется тем, сколько молекул находится в левой половине сосуда. Вычислите вероятность p(k) каждого макростояния. Ответ: p(0) = 0.016, p(1) = 0.093, p(2) = 0.234, p(3) = 0.313,
p(4) = 0.234, p(5) = 0.093, p(6) = 0.016.
Задача 9.5б (решить самостоятельно). Пусть в сосуде содержатся семь
молекул, и их можно пронумеровать. Сосуд поделён на три одинаковые части так, что молекулы могут свободно проходить из одной части
в другую. Макросостояние такой системы определим через количество
молекул в каждой из частей. Например, одному из макросостояний соответствует слева ноль, в центре ноль, справа семь; другому — слева одна,
в центре две, справа четыре и так далее. Определить статистические
веса состояний (1, 1, 5), (1, 2, 4) и (2, 2, 3) и вычислить энтропии этих
состояний. Ответ: Ω(1, 1, 5) = 42, Ω(1, 2, 4) = 105, Ω(2, 2, 3) = 210,
S(1, 1, 5) = 5.16×10
−23
, S(1, 2, 4) = 6.42×10
−23
, S(2, 2, 3) = 7.38×10
−23
.
Задача 9.6 Приращение энтропии при нагревании
Тренировочный вариант. Водород H2массой m = 2.5 г нагрели изо-
хорно так, что его давление увеличилось в полтора раза. Считая процесс
обратимым, найти приращение ∆S энтропии газа. Молярная масса водорода µ = 2 г/моль. Ответ: ∆S = 10.5 Дж/К.
Решение (законспектировать). Так как процесс обратимый, бесконечно
малое приращение энтропии можно найти по формуле Клаузиуса
δQ
dS =
.
T
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]