Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Читай и работай. Самоучитель по физике для студентов вузов. Механика, молекулярная физика, термодинамика. Учебное пособие
.pdf
Задача 3.4б (решить самостоятельно). Колодец построен из двух нахо-
y
0
Y
y + dy
R
r
дящихся одно над другим бетонных колец. Нижнее кольцо имеет радиус
r1= 2 м и высоту a1= 1.5 м, верхнее — радиус r2= 1.8 м и высоту
a2= 3.5 м. Колодец залит водой так, что расстояние от уровня воды до
мостовой b = 1 м. Найти работу, которую необходимо затратить, чтобы
откачать воду. Ответ: A = 1.1 МДж.
Задача 3.5 Энергия, запасённая в сегнеровом колесе
Тренировочный вариант. Ёмкость сегнерова колеса, имеющая форму сфе-
ры с внутренним радиусом R = 20 см, заполнена водой до краёв. Найти
энергию, запасённую в приборе. Ответ: U = 65.68 Дж.
Решение (законспектировать). Сегнерово колесо — это двигатель, основанный на реактивном действии вытекающей воды. На схеме достаточно
изобразить ёмкость. Колесо с трубками, из которых вытекает вода и создёт
вращающий момент, предполагается установленным снизу. Воду в ёмкость
заливают сверху. Направим ось Y вертикально вниз, начало координат совместим с центром сферы.
Энергия, запасённая в приборе, равна потенциальной
энергии воды, вычисленной по отношению к нижней точке
ёмкости.
Вода в ёмкости имеет форму шара. Поделим его на слои
толщиной dy с одинаковой потенциальной энергией. Радиус слоя равен:
v
u
u
u
t
r =
Площадь слоя:
S = πr2= π
R2− .
R2−
.
Масса слоя:
dm = dySρ =
= .
41
Потенциальная энергия слоя:
dU = dmg(R − y) =
= .
Чтобы найти полную энергию, проинтегрируем левую и правую части выражения для dU. Пределы интегрирования — от верхней границы ёмкости
до нижней.
U = πρg
Z
__
(R2− y2)(R − y)dy.
__
Вычислим интеграл и найдём искомую энергию:
U = =
= =
= .
Задача 3.5а (решить самостоятельно). Ёмкость сегнерова колеса имеет форму прямоугольного конуса: в горизонтальном сечении это прямоугольник, две боковые стороны расположены вертикально, а две другие
сходятся книзу, образуя с вертикалью угол α = 15◦каждая. Расстояние между вертикальными стенками равно a = 10 см, а максимальное
расстояние между наклонными стенками у верхнего края ёмкости равно
b = 50 см. Высота ёмкости h = 1 м. Вычислить энергию, запасённую в
приборе. Ответ: U = 157.47 Дж.
Задача 3.5б (решить самостоятельно). Ёмкость сегнерова колеса имеет
форму круглого цилиндра радиуса r = 35 см. Высота ёмкости h = 1.5 м.
В ёмкость залита жидкость, такая, что её плотность убывает снизу вверх
по закону ρ = 1000−100y2, где значение y = 0 соответствует дну сосуда.
Найти энергию, запасённую в приборе. Ответ: U = 3.77 кДж.
Задача 3.6 Скорости лодок после того, как с каждой лодки во
встречную перебрасывается мешок
Тренировочный вариант. Навстречу друг другу параллельными курсами
двигались две лодки, на каждой из которых находилось по мешку массой
42
m = 50 кг. Массы нагруженных лодок равны m1= 500 кг и m2= 1 т со-
#»
v
2
#»
v
1
X
ответственно. Когда лодки поравнялись, с первой на вторую и со второй
на первую одновременно аккуратно переложили мешки так, что импульс в
поперечном направлении не возник. В результате первая лодка остановилась, а вторая продолжила движение в прежнем направлении со скоростью
0
v
= 8.5 м/с. Найти скорости лодок v1и v2до того, как произошёл обмен
2
мешками. Ответ: v1= 1 м/с, v2= 9 м/с.
Решение (законспектировать). На рисунке показаны лодки до того, как
были переброшены мешки.
Заливка белым и серым цветом показывает объек-
ты, которые обмениваются импульсами: мешок первой
лодки взаимодействует со второй лодкой без мешка
(серая заливка), и одновременно с этим мешок второй
лодки взаимодействует с первой (белая заливка). Запишем для них законы сохранения импульса (без штриха — до взаимодействия, со штрихом — после):
#»
p
мешок1
+#»p
лодка2
0
=#»p
мешок+лодка2
,
+ = .
Спроецируем импульсы на ось X, подставим их значения:
mv1− (m2− m)v2= −v
0
m2,
2
+ = .
Мы получили систему из двух уравнений. Решив её относительно v1и v2,
получим рабочую формулу:
,
,
,
.
43
Теперь подставим числовые значения и получим ответ:
Задача 3.6а (решить самостоятельно). Две лодки идут в одном направлении параллельными курсами с разными скоростями v1и v2. Когда лодки находятся рядом друг с другом, с каждой лодки в другую перебрасывается мешок массой m = 30 кг, в результате чего первая лодка приобретает скорость v
0
= 9.4 м/c, а вторая v
1
0
= 3.3 м/c. Вычислить скорости
2
лодок до обмена мешками. Массы лодок с грузом равны m1= 900 кг и
m2= 1 т соответственно. Ответ: v1= 9.6 м/с, v2= 3.1 м/с.
Задача 3.6б (решить самостоятельно). Две лодки идут навстречу параллельными курсами. Когда лодки находятся друг против друга, с первой
лодки на вторую перебрасывают мешок массой m = 40 кг, а со второй
мешок такой же массы сбрасывают вводу. После этого лодки приобретают скорости v
0
= 8.5 м/с и v
1
0
= 10.3 м/с. Какова была скорость второй
2
лодки v2до переброски мешков? Масса второй лодки с грузом равна
m2= 700 кг. Ответ: v2= 11.4 м/с.
.
44
ТЕМА 4. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ. ЗАКОН
ℓ
1
2 3
СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТА ИМПУЛЬСА
Формулы (законспектировать и выучить)
# »
Момент силы:
M = [#»r ,#»F ].
# »
Основное уравнение динамики вращательного движения:
M = J#»ε .
Момент импульса относительно неподвижной оси: L = mvr = Jω.
Кинетическая энергия вращательного движения: K = Jω2/2.
Тангенциальное ускорение: aτ= εR.
Момент инерции материальной точки: J
мат.точ.
Момент инерции цилиндра относительно оси симметрии: J
Момент инерции шара: J
= 2mR2/5.
шар
= mr2.
цил.ось
= mR2/2.
Справочник
g = 9.8 м/c2.
Задача 4.1 Момент инерции системы из трёх шариков в виде
равностороннего треугольника
Тренировочный вариант. Жёсткие невесомые стержни длиной ` = 20 см
соединяют попарно друг с другом три одинаковые шарика массой m = 10 г,
образуя равносторонний треугольник. Найти момент инерции такой конструкции относительно оси, проходящей через одну из вершин треугольника и середину противолежащей стороны. Размерами шариков пренебречь.
Ответ: J = 2 ×10−4кг м2.
Решение (законспектировать). Нарисуем схему системы шариков.
Шарики можно считать материальными точками. Момент
инерции материальной точки, отстоящей от оси, равен
J
мат.точ.
следовательно, полный момент инерции равен сумме моментов инерции всех точек системы.
J = J1+ J2+ J3= + + .
= mr2. Момент инерции — величина аддитивная,
45
Подставив числа в полученную формулу, найдём ответ
J = .
Задача 4.1а (решить самостоятельно). Шарики массами m1= 10 г,
m2= 20 г, m3= 30 г и m4= 40 г расположены в вершинах квадра-
та со стороной ` = 20 см и жёстко соединены между собой невесомыми
стержнями. Найти момент инерции этой системы относительно оси, перпендикулярной плоскости квадрата и проходящей через центр описанной
окружности. Ответ: J = 2 ×10−3кг·м2.
Задача 4.1б (решить самостоятельно). Четыре одинаковых шарика массой m = 15 г расположены в вершинах прямоугольника со сторонами
a = 10 см и b = 15 см и жёстко соединены между собой невесомы-
ми стержнями. Найти момент инерции этой системы относительно оси,
лежащей в плоскости прямоугольника, проходящей параллельно его коротким сторонам и делящей его длинные стороны в отношении 1:2. От-
вет: J = 7.5 ×10−4кг·м2.
Задача 4.2 Однородный диск вращается под действием силы,
приложенной по касательной
Тренировочный вариант. Однородный диск вращается под действием си-
лы F = 50 Н, приложенной по касательной к краю диска. На диск также действует момент сил трения, равный Mтр= 3 Н·м. Определите массу диска, если его угловое ускорение равно ε = 50 рад/с2, а радиус диска
R = 0.15 м. Ответ: m = 8 кг.
Решение (законспектировать). Так как в этой задаче ускорение и моменты
направлены вдоль одной оси, то уравнение динамики можно записать сразу
в скалярной форме.
Основное уравнение динамики вращательного движения имеет вид: M =
Jε. Запишем это уравнение применительно к данному случаю (нужно учесть,
что момент силы трения тормозит вращение):
Jε = F R + .
46
Подставим сюда формулу для момента инерции диска: J = J
цил.ось
= mR2/2
и выразим m:
Теперь подставим числовые значения и получим ответ:
m = .
Задача 4.2а (решить самостоятельно). Однородный диск радиуса R =
80 см вращается под действием силы F = 75 Н, приложенной по ка-
сательной на расстоянии r = 30 см от оси вращения. На диск также
действует сила трения, создающая тормозящий момент Mтр= 4.5 Н·м.
Найдите массу диска, если его угловое ускорение равно ε = 9 рад/с2.
Ответ: m = 6.25 кг.
,
,
.
Задача 4.2б (решить самостоятельно). Найти угловое ускорение однородного шара массы m = 5 кг и радиуса R = 30 см, который вращается
под действием касательной силы F = 10 Н, приложенной к поверхности
шара на максимальном расстоянии от оси вращения. Момент сил трения
равен M = 2.5 Н·м. Ответ: ε = 2.78 рад/с2.
Задача 4.3 Два груза висят на шнуре, перекинутом через массивный
блок
Тренировочный вариант. На горизонтальную неподвижную ось насажен
блок, представляющий собой сплошной цилиндр массы mб= 50 г. Через него перекинут невесомый шнур, на концах которого висят два груза массами m1= 100 г и m2= 200 г. Блок вращается так, что шнур не
скользит по нему. Определить ускорение грузов и натяжения шнура. От-
вет: a = 3.02 м/с2, T1= 1.28 Н, T2= 1.36 Н.
Решение (законспектировать). Шаг 1. Определим динамические объекты,
для которых справедливо: (а) массой нельзя пренебречь; (б) они участвуют
47
в движении. В нашем случае динамическими объектами являются два груза
# »
m1g
#»
T
1
#»
a
2
# »
m2g
#»
T
2
#»
ε
X
Y
# »
M
#»
a
1
#»
T
′
1
#»
T
′
2
и блок.
Шаг 2. Нарисуем схему, на которой изобразим: (а)
установку; (б) силы и вращающие моменты, действующие на каждый динамический объект; (в) оси координат; (г) направления ускорений. В нашем случае
m2> m1, поэтому блок вращается по часовой стрел-
ке, и скорость вращения нарастает. Тогда по прави-
# »
лу правого винта вращающий момент
M блока и его
угловое ускорение направлены от нас. Изобразим их
при помощи креста в круге (хвост стрелы, улетающей
от нас за плоскость рисунка). Направим ось Y вертикально вниз, а ось X от нас так, чтобы она совпадала
с осью вращения блока. Точку начала координат O
поместим в центре блока.
Шаг 3. Для каждого динамического объекта запишем уравнение динамики в
векторной форме. Для поступательного движения это второй закон Ньютона, для вращательного — основное уравнение динамики вращательного движения:
#»
m
a1= + ,
1
#»
m
a2= + ,
2
# »
J#»ε =
M.
Шаг 4. Спроецируем уравнения на оси координат.
X:
Jε = M.
Y :
−m1a1= + ,
m2a2= + .
Шаг 5. Выявим соотношения между величинами, фигурирующими в уравнениях.
48
(а) Считаем шнуры нерастяжимыми, тогда ускорения всех трёх объектов
будут равны по модулю: a = a1= a2.
(б) Угловое ускорение можно выразить через тангенциальное ускорение точек на краях блока (вспомним кинетматические формулы связи линейных и
угловых характеристик движения):
ε = aτ/R,
где R — радиус блока. Из-за нерастяжимости шнура это ускорение равно
ускорениям грузов, aτ= a.
(в) Блок имеет форму цилиндра, и его момент инерции равен J
цил.ось
=
mR2/2.
(г) Блок вращается благодаря действию результирующей#»F двух сил натяжений#»T
0
1
Так как шнур нерастяжим, то T1= T
и#»T
0
:
2
#»
F =#»T
0
1
0
1
0
+#»T
2
и T2= T
.
0
. Тогда модуль этой силы
2
можно записать следующим образом:
F = .
# »
Момент силы#»F равен
M = [#»r ,#»F ], где#»r — вектор, направленный из точки
O в точку приложения силы. В нашем случае точка O лежит в центре блока,
на оси вращения, а сила приложена к краю диска. Значит, |#»r | = R. Вспомним формулу для модуля векторного произведения:
[#»a ,#»b ]
= ab sin ∠a, b.
Таким образом, модуль момента силы#»F равен:
M = R × .
Шаг 6. Подставим полученные выше соотношения в уравнения динамики:
amб/2 = + ,
−m1a = + ,
m2a = + .
49
Шаг 7. Решим уравнения:
,
,
,
,
,
,
.
Задача 4.3а (решить самостоятельно). На краю горизонтального стола укреплён блок массы mб= 50 г, через который переброшен тонкий
невесомый нерастяжимый шнур. К свисающему концу шнура подвешена гиря массой m1= 100 г, а второй конец прикреплён к бруску массой m2= 300 г, которой скользит по столу. Коэффициент трения бруска о стол µ = 0.15. Найдите ускорение a, с которым движутся гиря и
брусок, а также силы натяжения шнура по обе стороны от блока. От-
вет: a = 1.20 м/с2, T1= 0.97 Н, T2= 0.80 Н.
Задача 4.3б (решить самостоятельно). Невесомый, нерастяжимый
шнур намотан на барабан массой mб= 800 г. К свисающему концу
шнура подвешена гиря массой mг= 75 г. Пренебрегая трением, найти
ускорение гири. Ответ: a = 1.55 м/с2.
Задача 4.4 Линейное ускорение центра диска, который скатывается по
наклонной плоскости
Тренировочный вариант. Сплошной однородный диск скатывается без
скольжения по наклонной плоскости, которая образует угол α = 25◦с
горизонтом. Чему равно линейное ускорение центра диска? Ответ: a =
2.76 м/с2.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]