Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Читай и работай. Самоучитель по физике для студентов вузов. Механика, молекулярная физика, термодинамика. Учебное пособие
.pdf
Теперь то, что получилось, приравняем нулю и получим искомое выражение
для a
экстр
:
,
,
.
Только одно из двух значений получилось положительным, т. е. имеет физический смысл. Строго говоря, нам следует проверить, является ли оно
максимумом или минимумом. Действуя формально, необходимо вычислить
вторую производную и проверить её знак. Однако в данном случае можно
обойтись без этого. Область определения исследуемой функции 0 6 a 6
`/2. При a → 0 (подвес в центре масс) колебания замедляются и прекра-
щаются, что означает, что период стремится к бесконечности, T → ∞. Это
больше любого конечного значения, которое период может иметь при a 6= 0.
Следовательно, найденное значение a
не может быть максимумом, т. е.
экстр
мы получили искомую величину.
Подставим числа и найдём ответ:
a = .
Задача 6.5а (решить самостоятельно). Физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной ` = 135 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удалённую
на некоторое расстояние a от центра масс стержня. Найти значение a,
если известно, что период колебаний в полтора раза больше минимально возможного. Почему из двух получаемых значений только одно имеет
физический смысл? Ответ: a = 9 см.
Задача 6.5б (решить самостоятельно). Точка подвеса физического маятника массой m = 3 кг находится на таком расстоянии от его центра
масс, что период колебаний имеет наименьшее значение T = 1.5 с. Чему равен момент инерции маятника J
центра масс? Ответ: J
= 0.23 кг·м2.
ц.м.
, вычисленный относительно его
ц.м.
81
Задача 6.6 Период колебаний физического маятника и его момент
инерции
Тренировочный вариант. Физический маятник массой m = 4 кг совершал
колебания с периодом T1= 0.8 с. После того, как к нему прикрепили диск,
так что ось симметрии диска совпала с осью качания, период колебаний T
стал равным 1.2 с. Найти момент инерции J исходного физического маятника относительно оси колебаний, если радиус R диска равен 20 см, а масса
равна массе маятника. Ответ: J = 6.4 ·10−2кг·м2.
Решение (законспектировать). Период колебаний в первом случае равен
v
u
u
J
T1= 2π
t
mg`
.
1
Здесь `1— расстояние от оси до центра масс физического маятника.
Диск насаживают так, что ось проходит через его собственную ось симмет-
рии. Это значит, что центр масс составной системы остаётся на прежнем
месте, т.е. `2= `1.
2
Момент инерции — величина аддитивная. Поэтому момент инерции составной системы равен сумме моментов инерции маятника J и диска mR2/2.
Следовательно, после насаживания диска период колебаний равен:
v
u
u
u
u
u
T2= 2π
t
mg`
.
1
Теперь выразим `1из формулы для T1:
,
,
,
`1= .
82
Подставим найденное выражение в формулу для T2и выразим искомое J:
,
,
,
J = .
Теперь найдём числовое значение момента инерции:
J = .
Задача 6.6а (решить самостоятельно). Закреплённое на горизонтальной оси тело совершало колебания с периодом T1= 0.5 с. Масса тела
равна m = 3 кг, а момент инерции J1= 1.3 · 10−2кг·м2. На эту же ось
насадили и жёстко скрепили с телом диск, после чего период составного маятника стал равен T2= 1.1 с. Ось качания проходит через ось
симметрии диска, его радиус R равен 25 см. Найти массу диска M. От-
вет: M = 4.9 кг.
Задача 6.6б (решить самостоятельно). Физический маятник вырезан из
тонкого металлического листа и подвешен так, что ось проходит перпендикуярно плоскости. Масса маятника равна m1= 5 кг, момент инерции
J1= 2.2 · 10−2кг·м2, период колебаний T1= 0.9 с. Из тонкого листа
пластика сделали точно такой же по форме маятник массой m2= 100 г
и, подвесив за ту же самую точку, приклеили его к первому маятнику. Получившийся составной маятник имеет период T2= 1.1 с. Найти
момент инерции пластикового маятника относительно оси, проходящей
через точку подвеса. Ответ: J2= 1.2 ·10−2кг·м2.
83
ТЕМА 7. УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Формулы (законспектировать и выучить)
Уравнение Менделеева—Клапейрона: pV =
m
µ
RT .
Давление столба жидкости: p = ρgh.
0
Закон Дальтона: p = p
1
+ p
0
.
2
Нормальные условия: p0= 101325 Па, T0= 273 К.
Справочник
1 атм = 1.01 ×105Па.
1 л = 10−3м3.
ρ
ρ
= 1000 кг/м3.
вода
= 13.6 г/см3.
ртуть
R = 8.31 Дж/(К·моль).
g = 9.8 м/c2.
Задача 7.1 Наполненный гелием воздушный шарик висит в воздухе
Тренировочный вариант. Наполненный гелием воздушный шарик радиуса
r = 10 см свободно висит в воздухе, т. е. его подъёмная сила равна нулю.
Чему равна масса оболочки шарика? Давление внутри шарика равно внешнему, воздух и гелий находятся при нормальных условиях. Молярные массы
воздуха и гелия равны µв= 28.98 г/моль, µг= 4 г/моль соответственно. От-
вет: mоб= 4.67 г.
Решение (законспектировать). Запишем условие равновесия шарика:
F
= mгg + mобg.
арх
Здесь F
= ρвgV — сила Архимеда, V — объём шарика. Произведение ρвV
арх
равно массе воздуха в объёме шарика. Поэтому условие равновесия можно
переписать, сократив g и выразив mоб:
mоб= .
Массу гелия в шарике и массу воздуха, занимающего такой же объём, найдём из уравнения Менделеева—Клапейрона. Учтём, что давление и темпе-
84
ратура равны нормальным:
m
p0V =
p0V =
µ
m
µ
г
RT0,
г
в
RT0.
в
Выразим отсюда массы воздуха и гелия и подставим их в уравнение равновесия. Также выразим объём V через радиус шара. В результате получим
расчётную формулу:
,
,
,
mоб= .
Теперь подставим числа и найдём ответ:
mоб= .
Задача 7.1а (решить самостоятельно). Наполненный водородом воздушный шарик радиусом r = 20 см свободно висит в воздухе. К шарику
подвешен груз массы mгр. Чему равна масса груза, если масса оболочки
шарика равна mоб= 3 г/моль? Давление внутри шарика равно внешнему,
воздух и водород находятся при нормальных условиях. Молярные массы
воздуха и водорода равны µ
= 28.98 г/моль, µ
воз
= 2 г/моль соответ-
вдр
ственно. Ответ: mгр= 37.4 г.
,
85
Задача 7.1б (решить самостоятельно). Каков наименьший радиус r
воздушного шарика, наполненного водородом, способного поднять груз
массой mгр= 25 г? Масса оболочки шарика mоб= 4 г/моль, давление
внутри шарика равно внешнему, воздух и водород находятся при нормальных условиях. Молярные массы воздуха и водорода равны µ
28.98 г/моль, µ
= 2 г/моль соответственно. Ответ: r = 17.9 см.
вдр
воз
=
Задача 7.2 Часть газа из сосуда была выпущена наружу
Тренировочный вариант. Идеальный газ частично выпустили из сосуда
объёмом V = 30 л в ходе изотермического процесса. Это привело к снижению давления на ∆p = 0.78 атм. Чему равна масса выпущенного газа?
Температура газа равна t = 0◦C, его плотность при нормальных условиях
ρ0= 1.3 г/л. Ответ: ∆m = 30 г.
Решение (законспектировать). В задаче идёт речь об идеальном газе. Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева—Клапейрона:
pV = (m/µ)RT .
В задаче идёт речь о двух ситуациях: сосуд с газом закрыт, и часть газа выпустили. Из параметров, входящих в уравнение Менделеева—Клапейрона,
изменяются давление газа p и масса газа m. Температура T и объём V не
меняются.
Запишем уравнения Менделеева—Клапейрона для двух случаев: до выпуска
газа и после,
m
p1V =
1
RT,
µ
m
p2V =
2
RT.
µ
Изменение объёма известно, ∆p = p2−p1, и нужно найти изменение массы
∆m = m2− m1. Вычтем второе уравнение из первого и выразим ∆m:
,
86
,
.
∆m = .
В этой формуле нам пока не известна молярная масса µ. Однако мы знаем
плотность газа при нормальных условиях. Запишем уравнение Менделеева—Клапейрона для нормальных условий, выразив массу через плотность и
объём:
p0V = .
Отсюда можно найти молярную массу газа:
,
µ = .
Теперь подставим значение молярной массы в формулу для ∆m и получим
итоговое выражение:
,
∆m = .
Чтобы найти ответ, предварительно переведём все числовые значения в СИ:
V = 30 л = ,
T = t + = ,
∆p = 0.78 атм = ,
ρ0= 1.3 г/л = .
Теперь вычислим ответ:
∆m = .
87
Задача 7.2а (решить самостоятельно). В баллон, в котором содержался
идеальный газ при температуре t = 20◦C, закачали ∆m = 45 г такого же
газа. Температура при этом не изменилась. Как изменилось давление?
Известно, что при нормальных условиях плотность газа ρ0= 1.41 г/л, а
объём баллона V = 45 л. Ответ: ∆p = 76 атм.
Задача 7.2б (решить самостоятельно). Из сосуда с идеальным газом
выпустили часть газа и при этом уменьшили объём на ∆V = 0.5 л, так
что давление не изменилось. Найдите количество выпущенного газа, если процесс протекал без изменения температуры. Начальный объём сосуда V1= 20 л, масса m1= 200 г. Ответ: ∆m = 5 г.
Задача 7.3 Горлышко колбы погрузили в воду на незначительную
глубину
Тренировочный вариант. Герметичная ёмкость содержит разрежённый воз-
дух объёмом V = 300 см3. Её горловина, заткнутая пробкой, опущена неглубоко в воду. После того, как пробку убрали, в ёмкость поднялся столб воды,
масса которого составила m = 292 г. Найти давление p воздуха в ёмкости
до открытия пробки. Давлением столба воды, поднявшейся в колбу, пренебречь. Атмосферное давление p0= 100 кПа. Ответ: p = 2.67 кПа.
Решение (законспектировать). Большинство газов в условиях, близких к
нормальным, ведут себя как идеальные. Поэтому будем использовать уравнение состояния идеального газа — уравнение Менделеева—Клапейрона pV =
(mµ)RT .
В задаче рассматривают две ситуации: колба закупорена и колбу опустили
в воду. Из параметров, входящих в уравнение Менделеева—Клапейрона, изменяется давление p и объем V (т. к. часть колбы заполняется водой). При
этом очевидно, что масса воздуха в колбе не меняется. Не успевает измениться и температура. Таким образом, две ситуации следует описать двумя
уравнениями:
p1V1=
p2V2=
Так как правые части уравнений совпадают, то и левые можно приравнять:
m
RT,
µ
m
RT.
µ
p1V1= p2V2.
88
Отсюда можно выразить искомое давление p1:
V
p1= p
2
.
2
V
1
Так как давлением столба вошедшей в колбу жидкости можно пренебречь,
то давление в колбе следует положить равным атмосферному, p2= p0.
Найдём V2. Для этого из объёма колбы V1нужно вычесть объём вошедшей
туда воды:
V2= V1− .
Теперь подставим значения p2и V2в полученную выше формулу для p1:
p1= .
Подставим числа и получим ответ:
p1= .
Задача 7.3а (решить самостоятельно). Первоначально колба ёмкостью
V = 330 см3была перевёрнута горлышком вниз и опущена в воду. При
этом в колбе находился столб жидкости массой m, а давление воздуха
внутри было равно p1= 90 кПа. Колбу быстро подняли, и когда вся вода
вылилась, горлышко плотно заткнули. При этом внутри колбы установилось давление p2= 4 кПа. Найти массу m воды, находившейся в колбе.
Ответ: m = 315 г.
Задача 7.3б (решить самостоятельно). Шприц без иглы опущен открытым концом в воду. Объём воздуха в шприце равен V = 8 см3, а его
давление составляет p1= 110 кПа. Поршень шприца быстро поднимают
вверх на ∆l = 10 мм, и после того, как в шприц входит вода массой
∆m = 2 г, открытый конец затыкают. Найти давление воздуха в шприце,
пренебрегая давлением столба вошедшей в шприц воды. Радиус поршня
равен r = 1 см. Ответ: p2= 96 кПа.
89
Задача 7.4 Стеклянная трубка погружена в ртуть, трубку заткнули и
p
1
p
2
p
рт
вынули
Тренировочный вариант. Стеклянная трубка длиной ` = 10 см погружена
в ртуть, так что длина погруженной части равна h1= 4 см. Открытую часть
трубки заткнули, и трубку вынули. Часть ртути вылилась. Найти высоту
оставшегося в трубке столбика ртути. Атмосферное давление равно H =
772 мм. рт. ст.. Ответ: h2= 3.7 см.
Решение (законспектировать). В задаче есть две ситуации. Первая — воздух в трубке после того, как её заткнули, но до того, как начали поднимать,
имеет давление p1и объём V1; вторая — воздух в трубке после того, как её
подняли из ртути, характеризуется давлением и объёмом p2и V2соответственно.
Из уравнения Менделеева—Клапейрона получим:
p1V1= p2V2.
Выразим объём трубки через высоту и площадь сечения:
p1×
= p2× .
Давление p1равно атмосферному давлению. Давление воздуха в трубке после того, как её подняли, найдём из условия равновесия для
столбика ртути: давление на нижнем срезе столбика должно быть равно нулю. Снизу вверх давит атмосфера, p1, а сверху вниз — воздух в
трубке, p2и ртуть, pрт= ρgh2, т. е.
p1= p2+ .
Выразим отсюда p2и подставим в уравнение состояния идеального газа.
Чтобы найти атмосферное давление, выразим p1через высоту столба рту-
ти H. В итоге получится квадратное уравнение относительно неизвестной
высоты h2:
(` −h1)g × =
= (` − h2)g × .
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]