Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Читай и работай. Самоучитель по физике для студентов вузов. Механика, молекулярная физика, термодинамика. Учебное пособие
.pdf
Шаг 3. Для каждого динамического объекта запишем уравнение динамики в
векторной форме. Для поступательного движения, как в нашем случае, это
второй закон Ньютона.
#»
m
a1= + ,
1
#»
m
a2= + ,
2
m#»a = + + + .
Шаг 4. Спроецируем уравнения на оси координат.
OX:
ma = + .
OY :
0 = + ,
m1a1= + ,
−m2a2= + .
Шаг 5. Выявим соотношения между величинами, фигурирующими в уравнениях: (а) считаем шнуры нерастяжимыми, тогда ускорения всех трёх объектов будут равны по модулю: a = a1= a2; (б) блоки не двигаются, значит,
натяжения шнуров не создают вращающие моменты, т. е. T1= T
0
, T2= T
1
0
.
2
Шаг 6. Перепишем уравнения с учётом найденных соотношений. Подсчитаем число неизвестных величин. Оно должно быть равно числу уравнений.
21
Шаг 7. Решим уравнения
= ,
ma = + ,
m1a = + ,
−m2a = + .
,
,
,
,
,
.
Задача 2.1а (решить самостоятельно). Два одинаковых бруска массой
m1= m2= 1 кг, лежащие на горизонтальном столе, связаны шнуром.
Ещё один шнур от второго бруска перекинут через неподвижный блок,
установленный на краю стола. На конце этого шнура висит гиря массой
m3= 0.5 кг. Бруски могут скользить по столу, испытывая силу трения
с коэффициентами k1= 0.1 и k2= 0.15. По блоку шнур скользит без
трения. Найти ускорение, с которым движутся бруски, натяжение шнура
между брусками и натяжение шнура, на котором висит гиря. Ответ: a =
0.98 м/c2, T12= 2 Н, T3= 4.4 Н.
22
Задача 2.1б (решить самостоятельно). Доска расположена под углом
α
# »
mg
#»
N
#»
F
тр
#»
a = 0
X
Y
α
30◦к горизонту. На её верхнем конце установлен невесомый блок. Два
груза соединены шнуром, который перекинут через блок таким образом, что один груз находится на доске, а второй висит. Найти ускорение грузов a и силу натяжения шнура T , считая их массы одинаковыми, m1= m2= 1 кг. Коэффициент трения груза о доску k = 0.1. Ответ: a = 2.02 м/c2, T = 7.77 Н.
Задача 2.2 Брусок поместили на доску и начали медленно поднимать
конец доски
Тренировочный вариант. Брусок поместили на горизонтальную доску и
начали медленно поднимать один конец доски. Определить коэффициент
трения между бруском и доской, если известно, что брусок начал соскальзывать при угле наклона доски α = 11◦. Ответ: k = 0.19.
Решение (законспектировать). Шаг 1. Определим динамические объекты.
В данном случае это только брусок, так как он принимает участие в движении и имеет массу.
Шаг 2. Нарисуем схему. Ось X направим вдоль доски,
а ось Y — вверх.
Шаг 3. Запишем уравнение динамики в векторной
форме (второй закон Ньютона). Существенный момент: брусок уже готов соскользнуть, но пока не начал движение.
# »
=
mg +#»Fтр+#»N.
Шаг 4. Спроецируем уравнение на оси координат.
OX:
= −Fтр+ mg .
OY :
= N − mg .
Шаг 5. Выявим соотношения между величинами в уравнениях: известно,
что модули силы трения и нормальной реакции опоры связаны соотношением Fтр= kN .
23
Шаг 6. Перепишем уравнения с учётом выявленных соотношений. Хотя
масса бруска нам неизвестна, она сократится в ходе вычислений.
= − + mg ,
= N − mg .
Шаг 7. Решим уравнения
,
,
,
,
,
.
Задача 2.2а (решить самостоятельно). К бруску массой m = 300 г, ле-
жащему на горизонтальной доске, прикреплена пружина с жёсткостью
µ = 15.3, другой конец которой тянут в горизонтальном направлении.
Определить коэффициент трения бруска о стол, если он приходит в движение, когда пружина растянута на ∆x = 12 см. Ответ: k = 0.62.
Задача 2.2б (решить самостоятельно). Брусок массой m = 200 г ле-
жит на плоскости, наклонённой под углом α = 16◦к горизонту. На его
боковой грани, обращённой к нижней части наклонной плоскости, закреплена пружина с жёсткостью µ = 11.2, которая удерживает его от
соскальзывания. Противоположный конец пружины начинают медленно
перемещать вдоль наклонной плоскости до момента, когда брусок начинает двигаться вверх. Сжатие пружины при этом составляет ∆x = 5 см.
Найти коэффициент трения бруска о плоскость. Ответ: k = 0.75.
24
Задача 2.3 Два соприкасающихся бруска толкают с некоторой силой
X
Y
#»
F
0
1
2
#»
F
21
#»
F
12
#»
a
2
#»
a
1
Тренировочный вариант. Два соприкасающихся бруска лежат на горизонтальном столе, по которому они могут скользить без трения. Масса первого
бруска m1= 2 кг, масса второго бруска m2= 3 кг. Один из брусков толкают с силой F0= 13 Н. Найти силу, с которой бруски давят друг на друга
в случае, если сила приложена (а) к бруску 1, (б) — к бруску 2. Ответ: (а)
F12= 7.8 Н, (б) F12= 5.2 Н.
Решение (законспектировать). Шаг 1. Определим динамические объекты.
В данном случае это два бруска.
Шаг 2. Нарисуем схему. Так как в вертикальном направлении движения нет, то
силы тяжести и нормальные реакции опоры можно проигнорировать.
Шаг 3. Уравнения динамики в векторной
форме:
#»
m
a1= + ,
1
#»
m
a2= .
2
Шаг 4. Проекция на OX:
m1a1= + ,
m2a2= .
Шаг 5. Дополнительные соотношения: так как бруски всегда соприкасаются
в процессе движения, то#»a1=#»a2; по третьему закону Ньютона#»F12=
−#»F21.
Шаг 6. Перепишем уравнения с учётом этих соотношений:
m1a = + ,
m2a = .
25
Шаг 7. Решим уравнения
,
,
,
,
,
.
Чтобы решить задачу для случая (б), достаточно в итоговой формуле поменять местами значения масс: m1→ m2и m2→ m1.
Задача 2.3а (решить самостоятельно). Два соприкасающихся бруска
скользят по наклонной доске. Масса первого бруска m1= 2 кг, масса
второго m2= 3 кг. Коэффициент трения между бруском и доской равен
k1= 0.1 для бруска 1 и k2= 0.2 для бруска 2. Угол наклона доски α =
45◦. Определить ускорение a, с которым движутся бруски, и силу F12, с
которой бруски давят друг на друга. Ответ: a = 5.8 м/с2, F12= 0.83 Н.
Задача 2.3б (решить самостоятельно). На гладком горизонтальном столе лежат один за другим 6 одинаковых кубиков. Грани соседних кубиков
соприкасаются. Первый кубик толкают в горизонтальном направлении с
постоянной силой F = 3 Н. Найти результирующую силу F
, действу-
рез
ющую на каждый кубик, и силу, с которой кубик под номером четыре
действует на кубик под номером пять. Ответ: F
= 0.5 Н, F45= 1 Н.
рез
Задача 2.4 Воздушный шар опускается с постоянной скоростью
Тренировочный вариант. После того, как воздушный шар m = 500 кг на-
чал опускаться с некоторой постоянной скоростью, с него сбросили балласт. В результате шар начал подниматься с вдвое большей скоростью. Найти массу сброшенного балласта ∆m. Подъёмная сила шара равна F
арх
=
4.8 кН. Ответ: ∆m = 30.6 кг.
26
Решение (законспектировать). Направим ось Y вертикально вверх и на-
# »
m1g
#»
F
арх
#»
F
вяз1
# »
m2g
#»
F
арх
#»
F
вяз2
Y
#»
v
1
#»
v
2
рисуем схему.
На шар действует сила Архимеда, сила тяжести и
сила вязкого трения. Благодаря тому, что сила вязкого трения растёт с ростом скорости и при этом направлена против направления движения, она уравновешивает две другие силы, и шар начинает двигаться с некоторой постоянной скоростью. Величина скорости, при которой происходит стабилизация
движения, зависит от величины действующих на
шар сил.
Запишем второй закон Ньютона для случая, когда шар движется вниз:
= + +
и вверх:
= + + .
В проекции на ось Y :
+ + = ,
+ + = .
Учтём, что m1= m, m2= m −∆m и v2= 2v1. Сила вязкого трения зависит
от скорости: F
= ηv. Значит:
вяз
F
= F
вяз2
вяз1
.
С учётом этих соотношений уравнения будут иметь вид:
+ + = ,
+ + = .
27
Решим уравнения
,
,
,
,
,
.
Задача 2.4а (решить самостоятельно). После того, как воздушный шар
массы m = 620 кг начал опускаться с постоянной скоростью, с него
сбросили балласт ∆m = 10 кг. С какой скоростью и в каком направлении начал двигаться шар после этого, если подъёмная сила шара равна
F
= 5.978 кН? Ответ: v2= 0.
арх
Задача 2.4б (решить самостоятельно). Воздушный шар массой m =
550 кг, поднимающийся с постоянной скоростью, берёт на борт метео-
зонд массой ∆m = 50 кг. После этого шар начинает снижаться с прежней по модулю скоростью. Вычислить подъёмную сила шара F
вет: F
= 5.635 кН.
арх
арх
. От-
Задача 2.5 Импульс силы при упругом ударе
Тренировочный вариант. О стенку сосуда упруго ударяется молекула. Угол
падения составляет α = 60◦к нормали. Скорость молекулы до удара v =
600 м/с, и после удара потери скорости не происходит. Масса молекулы рав-
Н.
−26
кг. Время удара ∆t = 3.5 × 10−4с. Найти (а) импульс
−23
Н с,
на m = 4.65 × 10
силы ∆p, полученный стенкой; (б) силу удара. Ответ: ∆p = 2.8×10
F = 8 × 10
−20
Решение (законспектировать). Нарисуем схему. Направим ось X перпен-
дикулярно стенке сосуда, а ось Y — вдоль неё.
28
X
α
#»
p
1
#»
p
2
Y
Согласно второму закону Ньютона, d#»p /dt =#»F . Выразим отсюда d#»p :
d#»p = × dt.
Пусть взаимодействие происходило за время от t1до t2. Проинтегрируем предыдущую формулу на этом интервале времени:
t
2
Z
t
1
#»
F dt.
∆#»p =#»p2−#»p1=
Выражение справа от знака равенства называется импульсом силы. Импульс
силы равен изменению импульса тела за время взаимодействия.
Если время взаимодействия мало, а сила взаимодействия велика (что типично для упругих ударов), то можно считать, что сила не зависит от времени в
процессе взаимодействия. Тогда её можно вынести из-под знака интеграла
как константу. В результате интеграл легко вычисляется:
∆#»p =#»p2−#»p1=#»F × .
Так как удар происходит без потери скорости, то для модулей импульса до
и после удара можно записать:
p1= p2= .
Вычислим проекцию импульса силы на ось Y :
∆py= p2sin α − p1× = .
Теперь найдём проекцию импульса силы на ось X:
∆px= p2cos α − =
= .
Найдём численное значение:
∆px= .
29
Зная импульс силы и время соударения, можно найти силу удара:
Y
X
#»
p
п
ℓ
# »
mg
#»
N
#»
p
с
α
F = ∆px/ =
= .
Задача 2.5а (решить самостоятельно). Частица массой m = 5.12 ×
−22
10
кг, летящая со скоростью v = 525 м/с, ударяется о стенку сосуда
под некоторым углом к нормали и отскакивает от неё под тем же углом
без потери скорости. Удар происходит за время ∆t = 1.5 × 10−5с. Сила
удара равна F = 2.8 ×10
Ответ: ∆p = 4.2 × 10
−14
Н. Найти (а) импульс силы; (б) угол падения.
−19
Н с, α = 39◦.
Задача 2.5б (решить самостоятельно). Частица массой m = 2.34 ×
−27
10
кг, летящая со скоростью v1= 350 м/с, ударяется о стенку сосуда
под углом α1= 45◦к нормали и отскакивает от неё под углом α2со скоростью v2= 340 м/с. Удар происходит за время ∆t = 1.5 ×10−5с. Найти
(а) импульс силы ∆p, полученный стенкой, если известно, что он направлен по нормали к стенке; (б) силу удара. Ответ: ∆p = 1.12 ×10
F = 7.50 × 10
−20
Н.
−24
Н·с,
Задача 2.6 Продолжительность выстрела пушки, соскальзывающей по
наклонной плоскости
Тренировочный вариант. На наклонной плоскости закреплена пушка мас-
сой M = 410 кг. Угол наклона плоскости к горизонту равен α = 30◦. После
того, как крепление убирают, пушка соскальзывает без трения вниз по плоскости и, пройдя путь ` = 15 м, стреляет. Снаряд вылетает в горизонтальном
направлении, имея импульс#»pс= 6000 кг·м/с. Пушка при этом останавливается. Найти продолжительность выстрела. Массой снаряда пренебречь.
Ответ: t
выст
= 0.11 с.
Решение (законспектировать). Изобразим рисунок.
Найдём импульс пушки перед выстрелом. Пушка
движется по наклонной плоскости с ускорением,
которое возникает благодаря действию силы тяжести. Его компонента вдоль оси X равна
ax= .
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]